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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第九章 9.8


§ 9.8

曲线与方程

1. 曲线与方程 一般地, 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫 作方程的曲线. 2. 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y). (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y 的方程式, 并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3. 两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解,即两个 曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点; 方程组无解,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的 交点问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件. (2)方程 x2+xy=x 的曲线是一个点和一条直线. (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x =y . (4)方程 y= x与 x=y2 表示同一曲线. 2. 方程(x2+y2-4) x+y+1=0 的曲线形状是
2 2

( √ ( × ( × ( × ( )

) ) ) )

答案 C 解析
2 2 ? ?x +y -4=0, 由题意可得 x+y+1=0 或? ?x+y+1≥0, ?

它表示直线 x+y+1=0 和圆 x2+y2-4=0 在直线 x+y+1=0 右上方的部分. 3. 已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的 一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是 A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 答案 D 解析 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 2x-y+5=0. →→ 4. 已知点 A(-2,0)、 B(3,0), 动点 P(x, y)满足PA· PB=x2-6, 则点 P 的轨迹方程是__________. 答案 y2=x → → 解析 PB=(3-x,-y),PA=(-2-x,-y), →→ ∴PA· PB=(3-x)(-2-x)+y2=x2-x-6+y2=x2-6,∴y2=x. 5. 已知两定点 A(-2,0)、B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形 的面积为________. 答案 4π 解析 设 P(x,y),由|PA|=2|PB|, 得 ?x+2?2+y2=2 ?x-1?2+y2, ∴3x2+3y2-12x=0,即 x2+y2-4x=0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆. 即轨迹所包围的面积等于 4π. B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0 ( )

题型一 定义法求轨迹方程 例1 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切, 又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲 线. 思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点 M 满足的几何条件,结合双曲线的定义 求解. 解 如图所示,以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x

轴建立平面直角坐标系. 由|O1O2|=4,得 O1(-2,0)、O2(2,0).设动圆 M 的半径为 r,则 由动圆 M 与圆 O1 内切,有|MO1|=r-1; 由动圆 M 与圆 O2 外切,有|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=3. ∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点,实轴长为 3 的双曲线的左支. 3 7 ∴a= ,c=2,∴b2=c2-a2= . 2 4 4x2 4y2 3 ∴点 M 的轨迹方程为 - =1 (x≤- ). 9 7 2 思维升华 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再 用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量. 1 ? 1 已知点 F? ?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴 的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 C.圆 答案 D 解析 由已知得,|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的 抛物线. 题型二 相关点法求轨迹方程 例2 设直线 x-y=4a 与抛物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 为定值), C 为抛物线上任意一点, 求△ABC 的重心的轨迹方程. 思维启迪 设△ABC 的重心坐标为 G(x,y),利用重心坐标公式建立 x,y 与△ABC 的顶 点 C 的关系,再将点 C 的坐标(用 x,y 表示)代入抛物线方程即得所求. B.椭圆 D.抛物线 ( )



设△ABC 的重心为 G(x,y),

点 C 的坐标为 C(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).
?x-y=4a, ? 由方程组:? 2 ?y =4ax ?

消去 y 并整理得: x2-12ax+16a2=0. ∴x1+x2=12a, y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a. 由于 G(x,y)为△ABC 的重心, 12a , ?x=x +x3 +x =x + 3 ∴? y +y +y y +4a ?y= 3 = 3 ,
0 1 2 0 0 1 2 0

? ?x0=3x-12a, ∴? ?y0=3y-4a. ?

又点 C(x0,y0)在抛物线上, ∴将点 C 的坐标代入抛物线的方程得: (3y-4a)2=4a(3x-12a), 4a 4a 即(y- )2= (x-4a). 3 3 又点 C 与 A,B 不重合,∴x≠(6± 2 5)a, ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 4a 4a (y- )2= (x-4a)(x≠(6± 2 5)a). 3 3 思维升华 “相关点法”的基本步骤: (1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1); (2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
? ?x1=f?x,y?, ? ?y1=g?x,y?; ?

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程. → → → → 设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN=2MP,PM⊥PF,当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程. 解 设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), → → → → ∵PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0), ∴(x0,-y0)· (1,-y0)=0,

∴x0+y2 0=0. → → 由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0),

? ?x-x0=-2x0 ?0 ? ∴? ,即? 1 ? ?y=2y0 ?y0= y ?
2 y2 ∴-x+ =0,即 y2=4x. 4

x =-x .

故所求的点 N 的轨迹方程是 y2=4x. 题型三 直接法求轨迹方程 例3 (2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是 ∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. 思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程,但要注意结合图形寻求等量关系;

(2)设出直线方程,结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解, 要特别注意判别式与位置关系的联系. (1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,

当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中 点, ∴|O1M|= x2+42, 又|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= , k2 b2 x1x2= 2, k ① ②

因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, y1 y2 所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程, 要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步 骤,但最后的证明可以省略.如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的 方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A,l2 交 y 轴于 B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 解 设点 M 的坐标为(x,y), ③

∵M 是线段 AB 的中点, ∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y). → → ∴PA=(2x-2,-4),PB=(-2,2y-4). →→ 由已知PA· PB=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即 x+2y-5=0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0.

分类讨论思想在曲线与方程中的应用 x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右焦点恰为抛物线 a b 1 的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点,Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, =λ(λ≠0), |OQ| 试求 Q 的轨迹. 思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下,分类标准

的确立有两点: 一是二次项系数分别为 0 时的参数值, 二是二次项系数相等时的参数值, 然后确定分类标准进行讨论,讨论时注意表述准确. 规范解答 解 (1)因为抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2), [2 分]

所以(-2 2)2=4p,解得 p=2. 所以抛物线的方程为 y2=4x,其焦点为 F(1,0), 即椭圆的右焦点为 F(1,0),得 c=1. 1 又椭圆的离心率为 ,所以 a=2,可得 b2=4-1=3, 2 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设 Q(x,y),其中 x∈[-2,2], 设 P(x,y0), x2 y2 0 因为 P 为椭圆上一点,所以 + =1, 4 3 3 2 解得 y2 0=3- x . 4 由 |OP| |OP|2 2 =λ 可得 =λ , |OQ| |OQ|2

[6 分]

3 x2+3- x2 4 故 2 2 =λ2. x +y 1 得(λ2- )x2+λ2y2=3,x∈[-2,2]. 4 1 1 当 λ2= ,即 λ= 时, 4 2 得 y2=12,点 Q 的轨迹方程为 y=± 2 3,x∈[-2,2], 此轨迹是两条平行于 x 轴的线段; 1 1 y2 当 λ2< ,即 0<λ< 时,得到 + =1, 4 2 1 3 λ2- 4 λ2 此轨迹表示实轴在 y 轴上的双曲线满足 x∈[-2,2]的部分; 1 1 y2 当 λ2> ,即 λ> 时,得到 + =1, 4 2 1 3 λ2- 4 λ2 此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x∈[-2,2]的部分. [12 分] x 3
2

[9 分]

x2 3

[11 分]

温馨提醒 此题求轨迹既有直接法,又有相关点法.求出轨迹方程后,容易忽略 x 的范围, 导致轨迹图形出错.

备考建议:(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题. (2)对常见的曲线特征要熟悉掌握. (3)除此之外,正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.

方法与技巧 求轨迹的常用方法 (1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系,或 这些几何条件简单明了且易于表达, 我们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线 的轨迹方程. (2)待定系数法: 已知所求曲线的类型, 求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数. (3)定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义,则可根据定义 采用设方程,求方程系数得到动点的轨迹方程. (4)代入法(相关点法): 当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之为相关点)而运动.如果相关点 P 所满足某一曲线 方程,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,再把相关点代入曲线方程,就把相关 点所满足的方程转化为动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法. 失误与防范 1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进 行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实际意义. 2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨 迹的形状、位置、大小等.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题中正确 的是 A.满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上 B.方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 ( )

C.方程 f(x,y)=0 所表示的曲线不一定是 C D.以上说法都正确 答案 C 解析 曲线 C 可能只是方程 f(x,y)=0 所表示的曲线上的某一小段,因此只有 C 正确. 2. 设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为 ( A.抛物线 C.椭圆 答案 A 解析 设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y=0 的距离为 r.由两圆外切可得,圆心 C 到点(0,3)的距离为 r+1,也就是说,圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1, 故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y=-1 的距离相等,符合抛物线的特征,故点 C 的 轨迹为抛物线. 3. 设点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为 ( A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 答案 D 解析 由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 2, ∴P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=2. 4. △ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹 方程是 x2 y2 A. - =1 9 16 x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 C. - =1 (x>3) 9 16 x2 y2 D. - =1 (x>4) 16 9 答案 C 解析 如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. ( ) ) B.双曲线 D.圆 )

x2 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 - 9 y2 =1 (x>3). 16 5. 有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹为 A.直线 答案 D 解析 设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R, 由于△ABP 为正三角形, ∴P 到 y 轴的距离 d= 3 3 R,即|x|= R. 2 2 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 ( )

而 R=|PF|= ?x-a?2+y2, ∴|x|= 3 · ?x-a?2+y2. 2

整理得(x+3a)2-3y2=12a2, 即 ?x+3a?2 y2 - 2=1. 12a2 4a

∴点 P 的轨迹为双曲线. 二、填空题 6. 设 P 是圆 x2+y2=100 上的动点,点 A(8,0),线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M 点, 则点 M 的轨迹为__________. 答案 椭圆 解析 如图,设 M(x,y),由于 l 是 AP 的垂直平分线,于是|AM|= |PM|,又由于 10=|OP|=|OM|+|MP|=|OM|+|MA|,即|OM|+|MA| =10,也就是说,动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0 )的距离之和是 10,故 动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、A(8,0)为焦点,中心在(4,0),长半轴长 是 5 的椭圆. 7. 已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点 A 的轨迹方程为 ________________. 答案 (x-10)2+y2=36(y≠0)

x y 解析 设 A(x,y),则 D( , ), 2 2 ∴|CD|= x y2 ? -5?2+ =3, 2 4

化简得(x-10)2+y2=36, 由于 A、B、C 三点构成三角形,

∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0. x2 y2 → → 8. P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ=PF1+ a b → PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________________. 答案 x2 y2 =1 2+ 4a 4b2

→ → → 解析 由于OQ=PF1+PF2, → → → → → 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, 1→ → 设 Q(x,y),则OP=- OQ 2 x y =(- ,- ), 2 2 x y 即 P 点坐标为(- ,- ), 2 2 x y ?- ?2 ?- ?2 2 2 又 P 在椭圆上,则有 2 + 2 =1 上, a b 即 x2 y2 2+ 2=1. 4a 4b

三、解答题 9. 已知曲线 E:ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点 M( 3 ,0)的直线 l 与曲线 E 交于点 A,B, 3

→ → 且MB=-2MA.若点 B 的坐标为(0,2),求曲线 E 的方程. 解 设 A(x0,y0),∵B(0,2),M( 3 ,0), 3

3 3 → → 故MB=(- ,2),MA=(x0- ,y0). 3 3 3 3 → → 由于MB=-2MA,∴(- ,2)=-2(x0- ,y0). 3 3 ∴x0= 3 3 ,y0=-1,即 A( ,-1). 2 2

∵A,B 都在曲线 E 上, a· 0 +b· 2 =1 ? ? ∴? , 3 a· ? ?2+b· ?-1?2=1 ? ? 2 a=1 ? ? 解得? 1 . ?b=4 ?
2 2

y2 ∴曲线 E 的方程为 x2+ =1. 4 → 10. 已知点 P 是圆 O: x2+y2=9 上的任意一点, 过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D, 动点 Q 满足DQ= 2→ DP. 3 (1)求动点 Q 的轨迹方程; → 1 → (2)已知点 E(1,1),在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点 M、N,使OE= (OM+ 2 → ON)(O 是坐标原点).若存在,求出直线 MN 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 P(x0,y0),Q(x,y),依题意,

则点 D 的坐标为 D(x0,0), → → ∴DQ=(x-x0,y),DP=(0,y0), x-x0=0 ? ? → 2→ 又DQ= DP,∴? 2 3 ?y=3y0 ? x =x ? ?0 ,即? 3 . ?y0=2y ?

2 ∵P 在圆 O 上,故 x2 0+y0=9,

x2 y2 ∴ + =1. 9 4 x2 y2 ∴点 Q 的轨迹方程为 + =1. 9 4 x2 y2 → 1 → (2)存在.假设椭圆 + =1 上存在两个不重合的点 M(x1,y1),N(x2,y2)满足OE= (OM 9 4 2 → +ON), 则 E(1,1)是线段 MN 的中点, x =1 ?x + 2 且有? y +y ? 2 =1
1 2 1 2

?x1+x2=2 ? ,即? . ?y1+y2=2 ?

x2 y2 又 M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆 + =1 上, 9 4



? ?x y ? 9 + 4 =1
2 2 2 2

2 x1 y2 1 + =1 9 4

,两式相减,



?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0. 9 4

y1-y2 4 ∴kMN= =- , 9 x1-x2

∴直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0. → 1 → → ∴椭圆上存在点 M、N 满足OE= (OM+ON), 2 此时直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 已知定点 P(x0,y0)不在直线 l:f(x,y)=0 上,则方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示一条( A.过点 P 且平行于 l 的直线 B.过点 P 且垂直于 l 的直线 C.不过点 P 但平行于 l 的直线 D.不过点 P 但垂直于 l 的直线 答案 A 解析 由题意知 f(x0,y0)≠0,又 f(x0,y0)-f(x0,y0)=0, ∴直线 f(x,y)=0 与直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 平行, 且点 P 在直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 上. → → → 2. 平面直角坐标系中, 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原点), 其中 λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是 A.直线 C.圆 答案 A → → → 解析 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3), → → → ∵OC=λ1OA+λ2OB,
? ?x=3λ1-λ2 ∴? , ? ?y=λ1+3λ2

)

(

)

B.椭圆 D.双曲线

又 λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线. 3. 点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M, 则点 M 的轨迹是 A.圆 答案 A 解析 如图,延长 F2M 交 F1P 延长线于 N. ∵|PF2|=|PN|, ∴|F1N|=2a. 连接 OM,则在△NF1F2 中,OM 为中位线, B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( )

1 则|OM|= |F1N|=a. 2 ∴M 的轨迹是圆. 4 . 已知 M(- 2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ______________. 答案 x2+y2=4 (x≠± 2) 解析 设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形, ∴|MP|2+|NP|2=|MN|2, ∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16, 整理得,x2+y2=4. ∵M,N,P 不共线,∴x≠± 2, ∴轨迹方程为 x2+y2=4 (x≠± 2). 5. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 1 AM= AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平 3 方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 在平面直角坐标系 xAy 中, 动点 P 的轨迹方程是____________. 2 1 答案 y2= x- 3 9 解析 过 P 作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H,连接 PH、 PM,可证 PH⊥A1D1,设 P(x,y), 由|PH|2-|PM|2=1,

?x-1?2+y2?=1, 得 x2+1-? ?? 3? ?
2 1 化简得 y2= x- . 3 9 6. 如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0,t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,求 △AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标. 解 (1)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), ①

y 则 x=x0,y=2y0,所以 x0=x,y0= , 2 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,
2 所以 x2 0+y0=1.



y2 将①代入②,得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2+ =1. 4 (2)由题意知,|t|≥1. 当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1, 点 A、B 的坐标分别为(- 3 3 ,1),( ,1), 2 2

此时|AB|= 3,当 t=-1 时,同理可得|AB|= 3; 当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈R, y=kx+t ? ? 由? 2 y2 得(4+k2)x2+2ktx+t2-4=0. ? x + 4 =1 ? 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 则由③得 x1+x2=- t2-4 2kt . 2,x1x2= 4+k 4+k2 |t| =1, k2+1



又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 即 t2=k2+1, 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 =

4?t2-4? 4 3|t| 4k2t2 ?1+k2?[ ]= 2 . 2 2- ?4+k ? 4+k2 t +3 4 3|t| 4 3 = , 3 t2+3 |t|+ |t|

因为|AB|=

且当 t=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2+y2=1 的半径, 1 所以△AOB 面积 S 的最大值为 ×2×1=1, 2 此时 t=± 3,相应的点 T 的坐标为(0,- 3)或(0, 3).


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