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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第5讲 椭圆习题


2017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 5 讲 椭圆习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.“2<m<6”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 若 + =1 表示椭圆. m-2 6-m + =1 表示椭圆”的 导学号 25402001 ( m-2 6-m B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2

r />
y2

)

x2

y2

m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ? ?m-2≠6-m,
故“2<m<6”是“
2 2

∴2<m<6 且 m≠4.

x2

m-2 6-m



y2

=1 表示椭圆”的必要不充分条件.

2 .若椭圆 x + my = 1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的两倍.则 m 的值为 导学号 25402002 ( A. 1 4 ) 1 B. 2 D.4

C.2 [答案] A [解析] 将原方程变形为 x + =1. 1
2

y2 m

1 2 2 由题意知 a = ,b =1,∴a=

1

m

m

,b=1.



1 1 =2,∴m= . m 4

3.(2015?黑龙江大庆二模)如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b >0),其中左焦点为 F(-2 5,0),P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|, 且|PF|=4,则椭圆 C 的方程为 导学号 25402003 ( A. + =1 25 5 )

x2 y2 a b

x2

y2

B. + =1 36 16

x2

y2

1

C.

+ =1 30 10

x2

y2

D. + =1 45 25

x2

y2

[答案] B [解析] 设椭圆的焦距为 2c,右焦点为 F1,连接 PF1,如图所示.

由 F(-2 5,0),得 c=2 5. 由|OP|=|OF|=|OF1|,知 PF1⊥PF. 在 Rt△PF1F 中,由勾股定理,得 |PF1|= |F1F| -|PF| = ?4 5? -4 =8. 由椭圆定义,得|PF1|+|PF|=2a=4+8=12,从而 a=6,得 a =36,于是 b =a -c = 36-(2 5) =16, 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 36 16 4.(2015?浙江杭州二中第二次月考)如图,已知 F1、F2 分 别是椭圆的左、 右焦点, 现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中 心并且交椭圆于点 M、N,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则 椭圆的离心率为 导学号 25402004 ( A. 3-1 C. 2 2 ) B.2- 3 D. 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

[答案] A [解析] 因为过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,所以可得∠F1MF2=90°,|MF2|=c.因为 |F1F2|=2c,所以可得|MF1|= 3c.由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a,可得离心率

c 2 e= = = 3-1. a 1+ 3
5.(2015?河北邯郸一模)椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF2 12 3 的中点在 y 轴上,那么|PF2|是|PF1|的 导学号 25402005 ( A.7 倍 C.4 倍 [答案] A
2

x2

y2

)

B.5 倍 D.3 倍

[解析] 设线段 PF2 的中点为 D, 1 则|OD|= |PF1|,OD∥PF1,OD⊥x 轴, 2 ∴PF1⊥x 轴.∴|PF1|= =

b2 3 3 = . a 2 3 2
3 7 3 = . 2 2

又∵|PF1|+|PF2|=4 3,∴|PF2|=4 3- ∴|PF2|是|PF1|的 7 倍.

6.(2015?广州二模)设 F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上, 若线段 PF1 的中点在 y 轴上, ∠PF1F2=30°, 则椭圆的离心率为 导学号 25402006 ( ) A. C. 3 3 1 3 B. 3 6

x2 y2 a b

1 D. 6

[答案] A [解析] 如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2. 因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为△PF1F2 的中位线. 所以 OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°. 因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|= |PF1| -|PF2| = 3|PF2|, 3|PF2| 由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|? a= ,2c=|F1F2|= 3|PF2|? c= 2 3|PF2| , 2 则 e= = 二、填空题
2 2

c a

3|PF2| 2 3 ? = .故选 A. 2 3|PF2| 3

x y sinA+sinC 7.已知△ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 + =1 上,则 = 25 9 sinB
_________. 导学号 25402007 [答案] 5 4

2

2

sinA+sinC |BC|+|AB| [解析] 由题意知,A,C 为椭圆的两焦点,由正弦定理,得 = = sinB |AC|
3

2a a 5 = = . 2c c 4 8.已知两圆 C1:(x-4) +y =169,C2:(x+4) +y =9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相 切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. 导学号 25402008 [答案] + =1 64 48
2 2 2 2

x2

y2

[解析] 设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为 + = 64 48 1. 9.(2015~2016 学年河北省正定中学第四次月考试题)已知 AB 是圆心 C:(x+2) +(y 5 2 2 2 2 - 1) = 的一条直径,若椭圆 x + 4y = 4b (b ∈ R) 经过 A 、 B 两点,则该椭圆的方程是 2 ___________. 导学号 25402009 [答案]
2

x2

y2

x2
12

+ =1 3
2 2 2

y2

[解析] 解法一:由已知,椭圆的方程为 x +4y =4b .(1) 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 不与 x 轴垂直,设其 直线方程为 y=k(x+2)+1,代入(1)得 (1+4k )x +8k(2k+1)x+4(2k+1) -4b =0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 8k?2k+1? 4?2k+1? -4b x1+x2=- ,x1?x2= , 2 2 1+4k 1+4k 8k?2k+1? 1 由 x1+x2=-4,得- =-4,解得 k= . 2 1+4k 2 从而 x1x2=8-2b . 于是|AB|= 1 2 5 2 2 1+? ? |x1-x2|= ?x1+x2? -4x1x2= 10?b -2?. 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

由|AB|= 10,得 10?b -2?= 10,解得 b =3. 故椭圆的方程为 + =1. 12 3 解法二:由已知,椭圆的方程为 x +4y =4b .(2) 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+4y1=4b ,x2+4y2=4b , 两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

4

易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1≠x2,所以 AB 的斜率 kAB=

y1-y2 1 = . x1-x2 2

1 2 2 因此 AB 直线方程为 y= (x+2)+1,代入(2)得 x +4x+8-2b =0.所以 x1+x2=-4, 2

x1x2=8-2b2.
于是|AB|= 1 2 5 2 2 1+? ? |x1-x2|= ?x1+x2? -4x1x2= 10?b -2?. 2 2
2 2

由|AB|= 10,得 10?b -2?= 10,解得 b =3. 故椭圆的方程为 + =1. 12 3 10.(2015?浙江)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是____________________. 导学号 25402010 [答案] 2 2

x2

y2

x2 y2 a b

b c

[解析] 设左焦点为 F1,由 F 关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,得|OQ|=|OF|,又 |OF1|=|OF|,所以 F1Q⊥QF,不妨设|QF1|=ck,则|QF|=bk,|F1F|=ak,因此 2c=ak.又 2a =ck+bk,由以上二式可得 三、解答题 11.(2015?新课标全国Ⅱ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 在 C 上. 导学号 25402011 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A、B,线段 AB 的中点为 M. 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. [答案] (1) + =1 (2)略 8 4 [解析] (1)由题意有
2 2

b c

2c

a

=k=

2a c a 2 2 2 ,即 = ,即 a =c +bc,所以 b=c,e= . b+c a b+c 2

x2 y 2 a b

2 ,点(2, 2) 2

x2 y2

a2-b2 2 4 2 = , 2+ 2=1, a 2 a b x2 y2

解得 a =8,b =4.所以 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 + =1 得 8 4

x2 y2

5

(2k +1)x +4kbx+2b -8=0. 故 xM=

2

2

2

x1+x2
2

-2kb b = 2 ,yM=k?xM+b= 2 . 2k +1 2k +1

yM 1 1 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOM?k=- . xM 2k 2
所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 12.(2015?衡水中学二调)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦 3 点分别为 F1 和 F2,且|F1F2|=2,点(1, )在该椭圆上. 导学号 25402012 2 (1)求椭圆 C 的方程; 12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若△AF2B 的面积为 ,求以 F2 为圆心 7 且与直线 l 相切的圆的方程. [答案] (1) + =1 (2)(x-1) +y =2 4 3 [解析] (1)由题意知 c=1,2a= 为 + =1. 4 3 3 3 (2)①当直线 l⊥x 轴时,可取 A(-1,- ),B(-1, ),△AF2B 的面积为 3,不符合题 2 2 意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 代入椭圆方程得(3+4k )x +8k x+4k -12=0, 显然 Δ >0 成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k 4k -12 则 x1+x2=- 2,x1x2= 2 , 3+4k 3+4k 12?k +1? 2|k| 可得|AB|= 1+k ? ?x1+x2? -4x1x2= ,又圆 F2 的半径 r= , 2 2 3+4k 1+k
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

2

2

3 2 ? ?+ 2

3 2 2 ? ? +2 =4,a=2,故椭圆 C 的方程 2

x2 y2

1 12|k| k +1 12 2 ∴△AF2B 的面积为 |AB|?r= = , 2 2 3+4k 7 代简得:17k +k -18=0,得 k=±1, ∴r= 2,圆的方程为(x-1) +y =2. B 组 能力提升 1. (改编题)点 P 在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上, F1、 F2 是椭圆的两个焦点, ∠F1PF2=90°, 且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此椭圆的离心率是 导学号 25402013 ( )
6
2 2 4 2

2

x2 y2 a b

A. C.

5 7 4 5

5 B. 6 3 D. 5

[答案] A [解析] 设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|

=2c.因为△F1PF2 的三条边长成等差数列, 所以 2|PF2|=|PF1|+|F1F2|, 即 m+2c=2(2a-m), 1 1 1 1 解得 m= (4a-2c), 即|PF1|= (4a-2c), 所以|PF2|=2a- (4a-2c)= (2a+2c). 又∠F1PF2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 =90°,所以|F1F2| =|PF1| +|PF2| ,即[ (4a-2c)] +[ (2a+2c)] =(2c) ,整理得 5a - 3 3 7 c 5 2 2ac-7c =0,解得 a= c 或 a=-c(舍去).故 e= = . 5 a 7 2. (2015?大庆质检)设 F1、 F2 分别是椭圆 +y =1 的左、 右焦点, 若椭圆上存在一点 P, 4 → → → 使(OP+OF2)?PF2=0(O 为坐标原点),则△F1PF2 的面积是 导学号 25402014 ( A.4 C.2 [答案] D → → → → → → → → [解析] 因为(OP+OF2)?PF2=(OP+F1O)?PF2=F1P?PF2=0,所以 PF1⊥PF2,∠F1PF2= 1 2 2 90°.设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=4,m +n =12,2mn=4,所以 S△F1PF2= mn=1,故 2 选 D. 3.(2015?新课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半 16 4 轴上,则该圆的标准方程为____________________. 导学号 25402015 3 2 25 2 [答案] (x- ) +y = 2 4 [解析] 由题意知,圆过椭圆的三个顶点(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0),其 3 3 2 2 25 2 中 a>0,由 4-a= a +4,解得 a= ,所以该圆的标准方程为(x- ) +y = . 2 2 4 4.已知椭圆 C: +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,O 为坐标原点. 导学号 25402016 2 B.3 D.1 )

x2

2

x2

y2

x2

2

7

(1)如图(1),点 M 为椭圆 C 上的一点,N 是 MF1 的中点,且 NF2⊥MF1,求点 M 到 y 轴的距 离; (2)如图(2),直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R,使 得四边形 OPRQ 为平行四边形,求实数 m 的取值范围. 1 1 [答案] (1)2 2-2 (2)(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 [解析] (1)由题意知,F1(-1,0),F2(1,0). 设 M(x0,y0),因为 N 为 MF1 的中点,所以 N(

x0-1 y0
2

, ), 2

3-x0 y0 → → 所以MF1=(-1-x0,-y0),NF2=( ,- ). 2 2 → → 因为 MF1⊥NF2,所以MF1?NF2=0, 3-x0 y0 即(-1-x0,-y0)?( ,- )=0, 2 2 所以 x0-2x0-3+y0=0.① 又 +y0=1,② 2 所以由①②解得 x0=2-2 2(x0=2+2 2舍去). 所以点 M 到 y 轴的距离为 2 2-2. (2)依题意设 P(x1,y1),Q(x2,y2),R(xR,yR). 因为四边形 OPRQ 为平行四边形,所以 x1+x2=xR,y1+y2=yR. ?x1+x2? 2 因为点 R 在椭圆上,所以 +(y1+y2) =1, 2 即 ?x1+x2? 2 +[k(x1+x2)+2m] =1, 2
2 2 2 2 2 2 2

x2 0

2

化简得(1+2k )(x1+x2) +8km(x1+x2)+8m =2.③

x ? ? +y2=1, 由? 2 ? ?y=kx+m,
2

2

消去 y 得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0.

2

2

2

由 Δ >0,得 2k +1>m ,④

2

8

4km 16?1+2k ?k m 32k m 2 2 2 而 x1+x2=- 代入③, 得 - 化简得 4m =1+2k , 2, 2 2 2+8m =2, 1+2k ?1+2k ? 1+2k 代入④,得 m≠0. 1 1 2 2 又 4m =1+2k ≥1,所以 m≤- 或 m≥ . 2 2 1 1 故实数 m 的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 2 2

2

2 2

2 2

x y 4 5.(原创题)如图所示,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,上顶点为(0,3), a b 5
过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 左顶点为 D, 直线 AD、 BD 分别与直线 m:

2

2

x=-7 相交于 M、N 两点. 导学号 25402017

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求

S△ABD 的最大值. S△MND
2 2

x y 1 [答案] (1) + =1 (2) 25 9 4 c 4 4 2 2 [解析] (1)由题知,椭圆 C 的上顶点为(0,3),故 b=3, = ,即 c= a,所以 a =3 a 5 5
4 2 x y +( a) ,解得 a=5,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 5 25 9 (2)由(1)知椭圆方程为 + =1,故 D(-5,0),F(-4,0),当直线 l 垂直于 x 轴时, 25 9 △ABD 与△MND 相似,所以
2 2

x2

y2

S△ABD |DF| 2 1 =( ) = .当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 S△MND 2 4
25 9

x2 y2 y=k(x+4),设 M(-7,yM),N(-7,yN),A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=k(x+4)代入 + =
-200k 400k -225 1 整理得(9+25k )x +200k x+400k -225=0,故 x1+x2= 2,x1?x2= 2 ,所 9+25k 9+25k
2 2 2 2 2 2

1 ?|AD|?|BD|?sin∠ADB S△ABD 2 |AD| |BD| 5+x1 5+x2 x1x2+5?x1+x2?+25 以 = = ? = ? = = S△MND 1 |MD| |ND| 2 2 4 ?|MD|?|ND|?sin∠MDN 2

9

400k -225 -200k 2 +5? 2+25 2 9+25k 9+25k 25k 25 1 S△ABD 1 = = < .综上所述, 的最大值是 . 2 4 4?9+25k ? 9 4 S△MND 4 4? 2+25?

2

2

k

10


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