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高中数学1.7.1 定积分在几何中的应用


1.7

定积分的简单应用

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1.7.1

定积分在几何中的应用

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课前预习导学

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学习目标 1.能说出定积分的几何意 义; 2.学会利用定积分求平面图形 的面积; 3.加深定积分基本定理及性质 的应用. 重点难点 重点:利用定积分求简单平面图 形的面积; 难点:利用定积分求较为复杂的图形 的面积.

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预习导引
1.平面图形面积的求法 在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再 借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.

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2.常见的平面图形的计算 (1)求由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成平面 图形的面积 S.

图①中,f(x)>0, 图②中,f(x)<0,



f(x)dx>0,因此面积 S= f(x)dx<0,因此面积 S=

f(x)dx; f(x) x

=-



f(x)dx;

图③中,当 a≤x≤c 时,f(x)<0,c≤x≤b 时,f(x)>0,因此面积 S=


|f(x)|dx=



[-f(x)]dx+



f(x)dx.
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(2)求由两条曲线 f(x)和 g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图 形的面积 S.

图④中,f(x)>g(x)>0,面积 S=



[f(x)-g(x)]dx;


图⑤中,f(x)>0,g(x)<0, 面积 S= f(x)dx+ |g(x)|dx=

[f(x)-g(x)]dx.

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预习交流
思考:利用定积分求平面图形的面积的基本步骤有哪些? 提示:(1)根据已知条件作出区域草图; (2)通过图形判断或联立方程组,求出交点坐标,确定积分的上、 下限; (3)确定被积函数; (4)根据图形写出平面图形面积的定积分表达式; (5)运用微积分基本定理以及定积分性质计算积分,求出面积.

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课堂合作探究

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问题导学
一、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求法 活动与探究 1 已知抛物线 y=4-x2. (1)求该抛物线与 x 轴所围成图形的面积; (2)求该抛物线与直线 x=0,x=3,y=0 所围成图形的面积. 思路分析:画出图形,结合图形分析定积分的积分区间,同时注意 面积与积分的关系.

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解:(1)如图(1),由于抛物线 y=4-x2 与 x 轴相交于(-2,0)和(2,0)点, 故其与 x 轴围成图形的面积为 S=
2 -2

(4-x2)dx= 4x- 3 x 3 |2 = 3 . -2

1

32

(2)如图(2),抛物线 y=4-x2 与直线 x=0,x=3,y=0 所围成的图形在 x 轴上方和下方各一部分,故其面积 S=
2 0

(4-x2)dx+

3 2

|4-x2|dx= |3 = 2

2 0

(4-x2)dx+ =
23 . 3

3 2

(x2-4)d

x= 4x- x 3 |2 + 0

1 3

1 3 x -4x 3

16 7 + 3 3

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迁移与应用 1.阴影部分的面积是( A.2 3 B.-2 3 C. 3
32

)

D. 3

35

解析:

1 -3

(3-x2-2x)dx= 3x- 3 x 3 -x 2 |1 = 3 . -3

1

32

答案:C

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2.曲线 y=cos x 0 ≤ x ≤ 为 .


3 2

与坐标轴所围成的面积

解析:由于当 0≤x≤2时,cos x≥0,
3 <x≤ 时,cos 2 2

x≤0,
3π 2

故图形的面积为 =sin x|0 -sin 答案:3
2

0

|cos x|dx=

0

π 2

cos xdx+

3 x|2 =3. 2

3π 2 π 2

(-cos x)dx

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(1)当 f(x)在[a,b]上有正有负时,则平面图形面积 S=



|f(x)|dx.

(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,此时 曲边梯形的面积等于定积分的相反数.所以在求曲线与直线所围成 图形的面积时应先判断曲线在 x 轴上方还是下方,否则求出的面积 是错误的.

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二、由两条曲线所围成的平面图形的面积的求法 活动与探究 2 (1)求由曲线 y=2x-x2 与曲线 y=2x2-4x 围成图形的面积. (2)求由曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围成图形的面积. (3)求由曲线 y=x2 与直线 x+y=2 围成的图形的面积. (4)求由曲线 y=ex,y=e-x 及 x=1 所围成的图形的面积. 思路分析:作出所求图形的草图,正确划分图形,写出被积函数, 结合定积分求解.

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y = 2x-x 2 , 解:(1)由 得 x1=0,x2=2,由 2 y = 2x -4x, 图可知,所求图形的面积为 S= = =
2 2 (2x-x2)dx+ 0 (2 2 -4x)x 0 2 2 (2x-x2)dx- 0 (2x2-4x)dx 0 1 2 x 2 - x 3 |2 ? x 3 -2x 2 |2 =4. 0 0 3 3

y = x + 3, (2)由 y = x 2 -2x + 3, 解得 x1=0,x2=3. 由图可知,所求图形的面积为 3 3 S= 0 (x+3)dx- 0 (x2-2x+3)dx = = - x 3 + x 2 |3 = . 0
3 0

[x+3-(x2-2x+3)]dx=
1 3 3 2 9 2

3 0

(-x2+3x)dx

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(3)如图,先求出抛物线与直线的交点,解方程组 x = 1, y = x2 , x = -2, 得 或 y = 1, x + y = 2, y = 4, 即两个交点为(1,1),(-2,4).

则所求面积为 S=
1 -2

[(2-x)-x2]dx= 2x- x 2 - x 3 |1 = . -2
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1 2

1 3

9 2

(4)如图,由

解得交点为(0,1). y = ,
-x

y = x ,

所求面积为 S=
1 0

(ex-e-x)dx=(ex+e-x)|1 =e+-2. 0

1

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迁移与应用 1.曲线 y= 和 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积是 .
1 x

解析:两曲线方程联立得交点(1,1),求得两切线方程为 x+y-2=0,2x-y-1=0. 故所围成图形面积为 S=
3 答案: 4
1 2

1

(2x-1)dx+

2 1

(-x+2)dx=4.

3

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2.试求由抛物线 y=x2+1 与直线 y=-x+7 以及 x 轴、y 轴所围成 图形的面积. 解:画出图形(如图).

y = x 2 + 1, x = 2, x = -3, 解方程组 得 或 (舍去), y = 5, y = 10 y = -x + 7, 即抛物线与直线相交于点(2,5). 于是所求面积为 S=
2 0 7 2

(x +1)dx+

2

14 25 (7-x)dx= + 3 2

=

103 . 6
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(1)在求平面图形的面积时,如果平面图形的曲边部分由两条不 同的曲线构成,则应分两段分别求面积之和相加,这时在相应的两段 积分区间上分别用不同的被积函数. (2)求由两条曲线所围成的平面图形面积时,一定要画出图形,再 求出两曲线的交点坐标,然后结合图形写出面积的积分表达式,再利 用微积分基本定理求出积分值即得面积.

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三、与曲边图形有关的综合问题 活动与探究 3
如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的 两部分,求 k 的值.

思路分析:先求抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形的面积,再求 y=kx 与 y=x-x2 两交点的横坐标.

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解:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1=0,x2=1, ∴ 抛物线与 x 轴所围图形的面积为 S=
1 0

(x-x )dx=

2

x2 x3 2 3

|1 = 2 ? 3 = 6. 0

1

1

1

y = x-x 2 , 又 y = kx, 解得两交点的横坐标分别为 x'1=0,x'2=1-k,
S ∴ 2

= 又

1- 0

(x-x -kx)dx=

2

1-k 2 x3 x -3 2

|1-k = 6(1-k)3. 0

1

1 1 3 1 3 1 S=6,∴ (1-k) =12,∴ (1-k) =2. 6
3

∴ k=1-

1 4 =1- . 2 2
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3

迁移与应用

1.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面 积为 ,则 a 的值为
27 4

.
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解析:f'(x)=3x2+2ax+b, ∵ 直线 y=0 在原点处与函数 f(x)相切, ∴ f'(0)=0.∴ b=0. ∴ f(x)=x3+ax2=x2(x+a),与 x 轴两交点为(0,0),(-a,0). 由图知 a<0. 又 S 阴影=a4 12
- 0

f(x)dx=-

- 0

1 x4 + 1 ax3 |-a = (x +ax )dx=0 4 3
3 2

=

27 (a<0),∴ a=-3. 4

答案:-3

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2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f'(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f'(x)=2ax+b.∵ f'(x)=2x+2,∴ a=1,b=2,∴ f(x)=x2+2x+c.又方程 f(x)=0 有两 个相等实根,即 x2+2x+c=0 有两个相等实根,∴ Δ=4-4c=0,即 c=1,故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意,所求面积 S= =
1 3 x 3
0 -1

(x2+2x+1)dx

+x +x

2

|0 -1

=

1 . 3

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解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题意,先分 清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确 作出图形,确定积分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或 方程,进行求解.

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当堂检测
1.曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成图形的面积等于( 1 1 A. -1 (x-x3)dx B.2 0 (x-x3)dx C.
1 -1

)

(x3-x)dx

D.2

0 -1

(x-x3)dx

解析:如图,x 轴下方与上方的面积相等.

答案:B
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2.由 y= ,x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积为( A.ln 2 B.ln 2-1
2 1 dx=ln 1 x

1 x

)

C.1+ln 2
2 x|1 =ln 2.

D.2ln 2

解析:所求面积为 S= 答案:A

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3.如图,阴影部分的面积为( A.9 B. 6 C.2
9 7 D.3 13

)

y = x-2, 求得两曲线交点为 A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知 2 y = -x 阴影部分的面积为 解析:由 S= 答案:C
1 -2

[-x2-(x-2)]dx=

1 -2

(-x2-x+2)dx= - 3 x 3 - 2 x 2 + 2x |1 = 2. -2

1

1

9

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4.曲线 y=sin x 与直线 x= 2 ,x= 2 以及 x 轴所围成图形的面积等 于
5π 2 3π 2

3

5

.

5π 2

解析:结合图形知所求面积 S= |sin x|dx=
3π 2

(-sin x)dx+



sin xdx

=cos x|2 -cos x|2 =2. 3
2

5 2

答案:2

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5.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个封闭图形(图中的阴影 部分),则该封闭图形的面积是 . 解析:函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1),所以封闭图 形的面积等于 答案:
4 3
2 0

(-x2+2x+1-1)dx=

2 0

(-x2+2x)dx=3.

4

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