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全国高中数学联赛模拟试07


全国高中数学联赛模拟试题(七)
(选题人:李潜) 第一试 一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)

1、a、b 是异面直线,直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角,则这样的直线 c 有
(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条

2、已知 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f(x)?g(x)=x2+2x+3,则
f(x)+g(x)= 2 (A)?x +2x?3
(B)x +2x?3
2

(C)?x ?2x+3
2

(D)x ?2x+3
2

3、已知△ABC,O 为△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=
m(AO+BO+CO)
成立的 m 的最大值是 (A)2 (B)

2? ,则使 AB+BC+CA≥ 3

5 3

( C) 3

(D)

3 2

4、设 x=0.820.5,y=sin1,z=log3 7 则 x、y、z 的大小关系是
(A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x

? 10 1995 ? 5、整数 ? 95 ? 的末尾两位数字是 ?10 ? 3 ?
(A)10 (A)1 (B)01 (B)2 (C)00 (C)1 或 2 (D)20 (D)可能大于 2

6、设(a,b)表示两自然数 a、b 的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)

1、若 f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+1,则 f( 2 ?1)=
分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程是 . .



2、设 F1、F2 是双曲线 x2?y2=4 的两个焦点,P 是双曲线上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 平
3xn ? 1 3 ? xn

3、给定数列{xn},x1=1,且 x n ?1 ?

,则 x1999?x601=

4、 正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 CD 中点,F 是 BB1 中点,则四面体 AD1EF 的
体积是 . .

? ?y ? ? x ?1 5、在坐标平面上,由条件 ? 所限定的平面区域的面积是 y ? ? 2 x ? 3 ? ?
要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要 三、 (20 分)

6、12 个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组 4 人,不同组坐不同的桌子.若
周.

已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 过定点 A(1,0),且焦点在 x 轴上,椭圆与曲线|y|=x 的 a2 b2
2 ? e 2 ? 1 ,求实数 m 的取值范围. 3

交点为 B、C.现有以 A 为焦点,过 B、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标

M(m,0).当椭圆的离心率 e 满足

四、 (20 分)

a、b、c 均为实数,a≠b,b≠c,c≠a.
证明:

a ? b ? 2c ? b ? c ? 2a ? c ? a ? 2b 3 ≤ <2. 2 a ?b ? b?c ? c?a

五、 (20 分) 已知 f(x)=ax +bx +cx +dx,满足 (i)a、b、c、d 均大于 0; (ii)对于任一个 x∈{?2, ?1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数 x,f(x)是否为整数.
4 3 2

第二试 一、 (50 分) 设 K 为△ABC 的内心,点 C1、B1 分别为边 AB、AC 的中点,直线 AC 与 C1K 交于 点 B2,直线 AB 于 B1K 交于点 C2.若△AB2C2 于△ABC 的面积相等,试求∠CAB.

二、 (50 分) 设 w ? cos

?
5

? i sin

?
5

,f(x)=(x?w)(x?w )(x?w )(x?w ).
3 7 9

求证:f(x)为一整系数多项式,且 f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数 多项式之积.

三、 (50 分) 在圆上有 21 个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过 120°的 弧的条数的最小值.

参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、4; 3、0; 5、16; 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 C

2、x +y =4; 4、

2

2

5 ; 24

6、5.

三、 ?1,

? 3? 2 ? ?. ? ? 4 ? ?

四、证略. 五、是. 第二试 一、60°; 二、证略. 三、100.


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