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圆锥曲线方程及性质考点讲解和习题训练


普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案(讲座 33)—圆锥曲线方程及性质
一.课标要求:
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质; 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。

二.命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中 一般有 2~3 道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概 念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题 中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥 曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方 法。 对于本讲内容来讲,预测 07 年: (1)1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题; (2) 可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用, 结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三.要点精讲
1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这 两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF1 | ? | MF2 |? 2a 。 椭圆的标准方程为:

(a ? b ? 0) (焦点在 y 轴上) 。

x2 y 2 y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) (焦点在 x 轴上)或 2 ? 2 ? 1 a2 b a b
2 2 2

注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c ? a ? b ;

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位 ②在 2 a b a b x2 y 2 2 2 ? ? 1( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 置,只要看 x 和 y 的分母的大小。例如椭圆 m n m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程

y ? ?b 所围成的矩形里;

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a , | y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , a 2 b2

②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时, 点 ( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线 关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对 称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两 个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由 椭 圆 的 对 称 性 知 : 椭 圆 的 短 轴 端 点 到 焦 点 的 距 离 为 a ; 在 Rt ?OB2 F2 中 ,

| OB2 |? b , | OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c 2 ; c ④离心率: 椭圆的焦距与长轴的比 e ? 叫椭圆的离心率。 a ? c ? 0 , 0 ? e ? 1 , ∵ ∴ a 且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 , 2 2 2 两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 ( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F F2 | 条件下; | PF | ? | PF2 |? 2a 1 1 时为双曲线的一支(含 F2 的一支) | PF2 | ? | PF |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F 的一 ; 1 1 支) ;②当 2a ?| F F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 表示两条射线;③当 2a ?| F F2 | 时, 1 1

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, | F1F2 | 叫做
焦距。 椭圆和双曲线比较: 椭 定义 方程
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2


x2 y 2 ? ?1 b2 a 2


x2 y 2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
F (?c, 0) F (0, ?c)

F (?c, 0) F (0, ?c) 焦点 注意:如何有方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质
①范围:从标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 a2 b2 x ? ? a 的外侧。即 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。

x2 y2 ? ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是 a2 b2 x2 y2 双曲线的对称轴, 原点是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心, 双曲线的对称中心叫做双曲线 a b
②对称性:双曲线 的中心。

x2 y2 ? ? 1 的方程里, a2 b2 对 称 轴 是 x, y 轴 , 所 以 令 y ? 0 得 x ? ? a , 因 此 双 曲 线 和 x 轴 有 两 个 交 点
③顶点: 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。 在双曲线

A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线

令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线 的顶点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。 虚轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称

x2 y2 ? ? 1 的顶点。 a2 b2

x2 y2 为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线 2 ? 2 ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐 a b
渐接近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲 线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3) 注意到等轴双曲线的特征 a ? b , 则等轴双曲线可以设为:x ? y ? ? (? ? 0) , 当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。
2 2

⑥注意

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相 16 9 9 16

同,还有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定 直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y ? 2 px
2

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。
p ,0) ,它的准线 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 方程是 x ? ?

p ; 2

(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以 抛物线的标准方程还有其他几种形式: y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛 物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y l

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0) y
F

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l

图形

o F
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0

x

F o

x

l

o
p (0, ) 2 p y?? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

x
p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

焦点坐标 准线方程 范围 对称性

(?

p , 0) 2 p x? 2 x?0

顶点 e ?1 e ?1 离心率 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几 何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐 近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

x轴 (0, 0)

x轴 (0, 0)

四.典例解析
题型 1:椭圆的概念及标准方程 例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是 (?4, 0) 、 (4, 0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于

10 ;
(2)两个焦点的坐标分别是 (0, ?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 ( ? (3)焦点在 x 轴上, a : b ? 2 :1 , c ? b ; (4)焦点在 y 轴上, a ? b ? 5 ,且过点 (? 2,0) ; (5)焦距为 b , a ? b ? 1 ;
2 2

3 5 , ); 2 2

(6)椭圆经过两点 ( ?

3 5 , ) , ( 3, 5) 。 2 2

解析: ∵椭圆的焦点在 x 轴上, (1) 故设椭圆的标准方程为 ∵ 2a ? 10 , c ? 4 ,∴ b ? a ? c ? 9 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 a ? b ? 0 ) ( , a 2 b2

所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 25 9

(2)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为 (3)∵ c ?

y 2 x2 ? ? 1。 10 6

6 ,∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ,①
2 2

又由 a : b ? 2 :1 代入①得 4b ? b ? 6 , ∴ b ? 2 ,∴ a ? 8 ,又∵焦点在 x 轴上,
2

2

x2 y 2 ? ? 1。 8 2 y 2 x2 (4)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 ∴ 2 ? 1 ,∴ b ? 2 , b 2 2 2 又∵ a ? b ? 5 ,∴ a ? 3 , y 2 x2 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 3 2 (5)∵焦距为 6 ,∴ c ? 3 , 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 9 ,又∵ a ? b ? 1 ,∴ a ? 5 , b ? 4 , x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 或 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 25 16 25 16 2 2 x y ? ? 1 ( m, n ? 0 ) (6)设椭圆方程为 , m n 5 ? 3 2 (? ) ( ) 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 由? m 得 m ? 6, n ? 10 , n ?3 5 ? ? ?1 ?m n
所以,椭圆的标准方程为 所以,椭圆方程为

y 2 x2 ? ? ?1. 10 6

点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方 程间的关系。 例 2. (06 山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) (1) ,且长轴长 是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 。 (2) (06 天津理,8)椭圆的中心为点 E (?1 0) ,它的一个焦点为 F (?3 0) ,相应于 , , 焦点 F 的准线方程为 x ? ?

7 ,则这个椭圆的方程是( 2
B.



A.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 C. 5

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 D. 5

?b 2 ? 4 ? ?a ? 2b, c ? 2 3 ? 2 2 y2 ? ? ?a ?16 ? x ? ?1 为所求; 解析: (1)已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?F (?2 3,0) ? (2)椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), 7 ∴ 半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? . 2 2 2 a 5 ( x ? 1) ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y 2 ? 1 ,选 D。 ∴ c 2 5
点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型 2:椭圆的性质 例 3. (06 山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点 (1) 到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为( (A) 2 (B) )

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

x2 y2 (2) (1999 全国,15)设椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1, a b
若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 。

x2 y 2 2b2 a2 ? 2且 ? c ? 1 , 解析: (1)不妨设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a?b?0) ,则有 a c a b

据此求出 e=

2 ,选 B。 2

(2)

1 2b 2 ;解析:由题意知过 F1 且垂直于 x 轴的弦长为 , 2 a



2 1 c 1 2b 2 a 2 1 ? ? c ,∴ ? ,∴ ? ,即 e= 。 2 a c a 2 a c

点评:本题重点考查了椭圆的基本性质。 例 4. (2000 京皖春,9)椭圆短轴长是 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆中心到其 (1) 准线距离是( ) A.

3 4

B.

4 5 5

C.

8 3 5

D.

4 3 3

(2) (1998 全国理,2)椭圆

x2 y2 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线 ? 12 3
D.3 倍

段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍

a2 解析: (1)D;由题意知 a=2,b=1,c= 3 ,准线方程为 x=± , c
∴椭圆中心到准线距离为

4 3 . 3
3 3 ) ,即|PF2|= , 2 2

(2)A;不妨设 F1(-3,0) 2(3,0)由条件得 P(3,± ,F

|PF1|=

147 ,因此|PF1|=7|PF2|,故选 A。 2

点评:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题 的方向。 题型 3:双曲线的方程 例 5. (1)已知焦点 F (5,0), F2 (?5,0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对 1 值等于 6 ,求双曲线的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; (2)求与椭圆 25 5
( 3 ) 已 知 双 曲 线 的 焦 点 在 y 轴 上 , 并 且 双 曲 线 上 两 点 P , P2 坐 标 分 别 为 1

9 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程。 4
解析: 1)因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 (

x y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2 2 2 2 ∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b ? 5 ? 3 ? 16 。
所以所求双曲线的方程为

2

x2 y 2 ? ?1; 9 16

x2 y 2 ? ? 1 的 焦 点 为 (2 5 , 0),? 2 5 , 0) 可 以 设 双 曲 线 的 方 程 为 (2)椭圆 , ( 25 5 x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 20 。 a 2 b2 18 2 又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 2 ? 2 ? 1 。 a b x2 y2 2 2 综上得, a ? 20 ? 2 10, b ? 2 10 ,所以 ? ?1。 20 ? 2 10 2 10 点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量 a, b, c 之间的关系。 (3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a 2 b2 ∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1

? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? a 2 ? 16 1 1 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , a b ?1 ?1 ? b2 9 ? 2 ? a ? 16 y 2 x2 ? ? ?1。 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 16 9 ?b ? 9 ?

点评:本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在求解 的过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。 例 6.(06 上海卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长 之比为 5 : 4 ,则双曲线的标准方程是____________________. 解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距 与 虚 轴 长 之 比 为 5 : 4 , 即 c : b ? 5 : 4, 解 得 c ? 5,b ? 4 , 则 双 曲 线 的 标 准 方 程 是

x2 y 2 ? ?1; 9 16
点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖 掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。 题型 4:双曲线的性质

x2 y2 例 7. (06 福建卷)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F (1) a b
且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此双曲线离心率的取值范围 是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) (2) (06 湖南卷)过双曲线 M: x ?
2

y2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双 b2
)

曲线 M 的两条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C.

10 3

D.

5 2

(3) 陕西卷)已知双曲线 (06 率为( A.2 ) B. 3

x2 y2 π =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心 2 - a 2 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

解析: (1) 双曲线

x2 y 2 o ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60 a 2 b2

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的 斜率

b , a

c2 a 2 ? b2 b ≥ 4 ,∴ e≥2,选 C。 ≥ 3 ,离心率 e2= 2 ? a a a2 y2 2 (2)过双曲线 M : x ? 2 ? 1 的左顶点 A (1,0)作斜率为 1 的直线 l :y=x-1, 若 l b y2 2 与双曲线 M 的两条渐近线 x ? 2 ? 0 分别相交于点 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) , 联立方程组 b 2 2 代入消元得 (b ?1) x ? 2 x ?1 ? 0 ,


2 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? b 2 ? ∴ ? ,x1+x2=2x1x2, ? x ?x ? 1 ? 1 2 1 ? b2 ? 1 ? ? x1 ? 4 ? 又 | AB |?| BC | ,则 B 为 AC 中点,2x1=1+x2,代入解得 ? , 1 ?x ? ? ?2 2 ? c ∴ b2=9,双曲线 M 的离心率 e= ? 10 ,选 A。 a 2 2 x y 2 ? 3 π ? 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为3 ,则 ? tan ? (3)双曲线 2 ? ,∴ a 2 a 6 3
2 3 a2=6,双曲线的离心率为 ,选 D。 3 点评:高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现 a, b, c 三元素之间的关系。 例 8. (06 江西卷)P 是双曲线 (1)

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x 9 16


+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( A. 6 B.7 C.8 D.9
2 2

(2) (06 全国卷 I)双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

(3) (06 天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线 方程为 y ?

2 x ,那么它的两条准线间的距离是(



A. 6 3 B. 4 C. 2 D. 1 解析: (1)设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是 两圆的圆心,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,

此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B。 (2)双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,∴ m<0,且双曲线方程为

x2 ? ? y 2 ? 1 ,∴ 4

m= ?

1 ,选 A。 4

( 3 ) 如 果 双 曲 线 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) , 一 条 渐近 线 方 程 为

y ? 2x , ?a 2 ? b 2 ? 9 ?a 2 ? 3 a2 ? ? 2 ,选 C。 ∴ ? b ,解得 ? 2 ,所以它的两条准线间的距离是 2 ? c ? 2 ?b ? 6 ? ? a
点评:关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型 5:抛物线方程 例 9. (1))焦点到准线的距离是 2; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0, ? 2),求它的标准方程。 解析: (1)y =4x,y = ? 4x,x =4y,x = ? 4y;
2 2 2 2

方程是 x = ? 8y。 点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此 只要给出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准 线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给 定,则所求的标准方程就会有多解。 题型 6:抛物线的性质
2

例 10. (06 安徽卷)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 (1) 合,则 p 的值为( A. ?2 ) B. 2
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重 6 2

C. ?4 )

D. 4

(2) (浙江卷)抛物线 y ? 8x 的准线方程是( (A) x ? ?2 (B)

x ? ?4

(C) y ? ?2

(D) y ? ?4

(3) (06 上海春)抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标为( ) (A) ( 0, 1 ) . (B) ( 1, 0 ) . (C) ( 0, 2 ) . 解析: (1)椭圆

(D) ( 2, 0 )

则 p ? 4 ,故选 D; (2)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A;

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0), 6 2

(3) (直接计算法)因为 p=2 ,所以抛物线 y2=4x 的焦点坐标为



应选 B。 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例 11. (全国卷 I)抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值 (1) 是( ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

(2) (2002 全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 。 2 (3) (2001 广东、河南,10)对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满 足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ] C.[0,2] D.(0,2)

能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是
2

. (要求填写合适条件的序号)
2

解析: (1)设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m ),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距 离为

| 4m ? 3m 2 ? 8 | 2 4 ,当 m= 时,取得最小值为 ,选 A; 3 3 5

(2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定 ⑤。 (3)答案:B

y 解析:设点 Q 的坐标为( 0 ,y0) , 4
由 |PQ|≥|a|,得 y02+(

2

y0 -a)2≥a2. 4

2

整理,得:y02(y02+16-8a)≥0, ∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0.

y y 即 a≤2+ 0 恒成立.而 2+ 0 的最小值为 2. 8 8
∴a≤2.选 B。 点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

2

2

五.思维总结

在复习过程中抓住以下几点: (1) 坚持源于课本、 高于课本, 以考纲为纲的原则。 高考命题的依据是 《高考说明》 . 并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题 大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键; (2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、 抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准 线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算; (3)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线 ,F 的焦半径公式分别为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2



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