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高中数学奥林匹克训练题及答案


高中数学奥林匹克训练题
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知函数 y ? ? (A) 2

x?a 的反函数的图象关于点 (?1,3) 成中心对称图形,则实数 a 等于(A). x ? a ?1
(B)3 (C)-2 (D)-4

2. 我们把离心率等于黄金比

x2 y2 5 ?1 的椭圆称之为“优美椭圆” .设 2 ? 2 ? 1(a >b>0)为优美椭 2 a b

圆, F , A 分别是它的左焦点和右端点, B 是它的短轴的一个端点,则 ? ABF 等于(C). (A) 60
o

(B) 75

o

(C) 90

o

(D) 120

o

3. 已知 ?ABC 三边的长分别是 a, b, c ,复数 z1 , z2 满足 z1 ? a, z2 ? b, z1 ? z2 ? c ,那么复数 定是(C). (A)是实数

z1 一 z2

(B)是虚数

(C)不是实数

(D)不是纯虚数

x 1 ? (?1)1?C2 x ? Px5? 2 4. 函数 f ( x) ? 6 2 的最大值是(D). 2 2 1 ? C3 ? C4 ? ? Cx ?1

(A) 20

(B) 10

(C) ?10

(D) ?20

5 . 以 O 为球心, 4 为半径的球与三条相互平行的直线分别切于 A, B, C 三点.已知 S ?BOC ? 4 ,

S?ABC ? 16 ,则 ?ABC 等于(B).
(A)

? 12

(B)

5? 12

(C)

7? 12

(D)

11? 12

6. 在集合 M ? {1, 2,3,?,10} 的所有子集中,有这样一族不同的子集,它们两两的交集都不是空集, 那么这族子集最多有(B). (A) 2 个
10

(B) 2 个

9

(C) 10 个

2

(D) 9 个

2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.在直角坐标系中,一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴,且两直角边上的中线所在直线 方程分别是 y ? 3x ? 1 和 y ? mx ? 2 ,则实数 m 的值是

3 或12 4



2.

设 f ( x) ?

ax (a ? 0, a ? 1) , [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数 1? ax
{?1, 0}


1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域是 2 2

3 . 设 a, b, c 是 直 角 三 角 形 的 三 条 边 长 , c 为 斜 边 长 , 那 么 使 不 等 式

a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a) ? c 2 (a ? b) ? kabc 对 所 有 直 角 三 角 形 都 成 立 的 k 的 最 大 值 是
2?3 2
. A1 D C B C1 B1

4. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都是 1, 截面 BCD1 在棱 AA1 上 的交点为 D ,设这个截面与底面 ABC 和三个侧面 ABB1 A 1 , BCC1B 1 , CAAC 1 1

所成的二面角依次为 ?1 ,? 2 ,?3 ,? 4 ,若 cos?1 ? cos?2 ? cos?3 ? cos?4 ,则 A 截面的面积等于

3 3 8



5 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 域 在 实 数 集 的 函 数 , 且 f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x).若f (1) ? 2 ? 3 , 则

f (1 9 4 9的值是 )

3?2


2 2

6. 设 x1 是方程 3 sin x ? 3 cos x ? 2a ? 1 的最大负根,x2 是方程 2cos x ? 2sin x ? a 的最小正根, 那么,使不等式 x1 ? x2 成立的实数 a 的取值范围是

1 ? 3?a??1 或a ? 2 2



第二试
一、 (本题满分 25 分)某眼镜车间接到一任务,需要加工 6000 个 A 型零件和 2000 个 B 型零件,这个 车间有 214 名工人,他们每一个人加工 5 个 A 型零件的时间可加工 3 个 B 型零件.将这些人分 成两组同时工作,每组加工同一型号的零件,为了在最短的时间完成,应怎样分组?77

二、 (本题满分 25 分)已知一个四边形的各边长都是整数,并且任意一边的长都能整除其余三边之 和.求证:这个四边形必有两边相等.

三、 (本题满分 35 分)实数数列 a1 , a2 , a3 ,?, a1997 满足: a1 ? a2 ? a2 ? a3 ??? a1996 ? a1997 ? 1997 .若数列

?bn ? 满足: bk ?
大可能值.

a1 ? a2 ? ? ak (k ? 1, 2?1997) .求 b1 ? b2 ? b 2 ?b3 ? ? ? b1996 ? b1997 的最 k

四、 (本题满分 35 分)给定两个七棱锥,它们有公共的底面 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7 ,顶点 P 1, P 2 在底面的两 侧. 现将下述线段中的每一条染红, 蓝两色之一: 底面上的所有的对角线和所有的侧棱. 求 P 1, P 2, 证:图中心存在一个同色三角形.



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