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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:1-1-2,1-1-3命题及其关系(Word有详解答案)


1.1.2 1.1.3

四种命题

四种命题间的相互关系

双基达标
1. 命题“若 a?A, 则 b∈B”的否命题是 A.若 a?A,则 b?B C.若 b∈B,则 a?A

?限时 20 分钟? ( B.若 a∈A,则 b?B D.若 b?B,则 a?A ).

析 注意“∈”与“?”互为否定形式. 答案 B 2. 命题“若 A∩B=A, 则 A∪B=B”的逆否命题是 A.若 A∪B=B,则 A∩B=A B.若 A∩B≠A,则 A∪B≠B C.若 A∪B≠B,则 A∩B≠A D.若 A∪B≠B,则 A∩B=A 解析 注意“A∩B=A”的否定是“A∩B≠A”. 答案 C 3.命题“对于正数 a,若 a>1,则 lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命 题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 ( ). ( ).

解析 原命题“对于正数 a,若 a>1,则 lg a>0”是真命题;逆命题“对于正数 a,若 lg a>0,则 a>1”是真命题;否命题“对于正数 a,若 a≤1,则 lg a≤0”是真命题;逆 否命题“对于正数 a,若 lg a≤0,则 a≤1.”是真命题. 答案 D 4. “若 x,y 全为零,则 xy=0”的否命题为__________. 解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若 x,y 全为零,则 xy=0”的否 命题为“若 x,y 不全为零,则 xy≠0”. 答案 若 x,y 不全为零,则 xy≠0 5.命题“当 AB=AC 时,△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个 命题中,真命题有______个.

解析 原命题为真命题,逆命题“当△ABC 是等腰三角形时,AB=AC”为假命题,否 命题“当 AB≠AC 时,△ABC 不是等腰三角形”为假命题,逆否命题“当△ABC 不是等 腰三角形时,AB≠AC”为真命题. 答案 2 6.将命题“正数 a 的平方大于零”改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命 题与逆否命题. 解 原命题可以写成:若 a 是正数,则 a 的平方大于零; 逆命题:若 a 的平方大于零,则 a 是正数; 否命题:若 a 不是正数,则 a 的平方不大于零; 逆否命题:若 a 的平方不大于零,则 a 不是正数.

综合提高(限时 25 分钟)
7.命题“若 a>b,则 ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题 的个数为 A.0 B.2 C.3 D.4 ( ).

解析 原命题“若 a>b,则 ac2>bc2(a,b,c∈R)”为假命题,逆命题“若 ac2>bc2,则 a>b(a,b,c∈R)”为真命题,否命题“若 a≤b,则 ac2≤bc2,(a,b,c∈R)”为真命题, 逆否命题“若 ac2≤bc2,则 a≤b(a,b,c∈R)”为假命题. 答案 B 8. 若命题 p 的否命题是 q, 命题 q 的逆命题是 r, 则 r 是 p 的逆命题的 A.原命题 C.否命题 B.逆命题 D.逆否命题 ( ).

解析 设命题 p 为“若 k,则 s”;则其否命题 q 是“若綈 k,则綈 s”;则命题 q 的逆 命题 r 是“若綈 s,则綈 k”,而 p 的逆命题为“若 s,则 k”,故 r 是 p 的逆命题的否命 题. 答案 C 9.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________. 解析 将命题“正数的绝对值等于它本身”改写为“若一个数是正数,则其绝对值等于 它本身”,所以逆命题是“若一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数”,即“绝 对值等于它本身的数是正数”. 答案 绝对值等于它本身的数是正数 10.已知原命题“两个无理数的积仍是无理数” ,则: (1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”; (2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”;

(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”; 其中所有正确叙述的序号是________. 解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确.逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不 都是无理数”. 答案 (1)(2)

11.给出两个命题: 命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?; 命题乙:函数 y=(2a2-a)x 为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙有且只有一个是真命题; 分别求出符合(1)(2)的实数 a 的取值范围. 解 甲为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0, 1 ? ? ? 即 A=?a? ?a>3或a<-1 ;
? ?

1? ? ? 乙为真时,2a2-a>1 即 B=?a? ?a>1或a<-2 ;
? ?

(1) 甲、乙至少有一个真命题时,应取 A ,B 两集合的并集,这时的 a 的取值范围是 1? ? ? 1 ?a a> 或a<- ?. 3 2? ? ? 1 (2)甲、乙有且只有一个真命题时,有两种情况:当甲真乙假时, <a≤1;当甲假乙真时, 3 1 -1≤a<- ,所以甲、乙中有且只有一个真命题时,a 的取值范围为 2 1? ? ?1 ?a <a≤1或-1≤a<- ?. 3 2? ? ? 12.(创新拓展)求证:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(- a)+f(-b),则 a+b≥0. 证明 法一 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R, 若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.若 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 又∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 即原命题的逆否命题为真命题, ∴原命题为真命题. 法二 假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),

∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 这与已知 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾, 因此假设不成立,故 a+b≥0.


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