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河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析


河南省郑州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)抛物线 x =2y 的焦点坐标是() A. B. C. (1,0) D. (0,1)

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线的定义可得,x =2py(p>0)的焦点坐标(0, )可直接求解 解答: 解:根据抛物线的定义可得,x =2y 的焦点坐标(0, ) 故选 B. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单的性质,属于基础试题. 2. (5 分)设 a,b∈R,则 a>b 是(a﹣b)b >0 的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 结合不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 2 解答: 解:当 a>b,b=0 时,不等式(a﹣b)b >0 不成立. 2 若(a﹣b)b >0,则 b≠0,且 a﹣b>0, ∴a>b 成立. 2 即 a>b 是(a﹣b)b >0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 3. (5 分)不等式 x +2014x﹣2015>0 的解集为() A. {x|﹣2015<x<1} B. {x|x>1 或 x<﹣2015} C. {x|﹣1<x<2015} D. {x|x<﹣1 或 x>2015} 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把不等式化为(x+2015) (x﹣1)>0,求出解集即可. 2 解答: 解:不等式 x +2014x﹣2015>0 可化为 (x+2015) (x﹣1)>0, 解得 x<﹣2015 或 x>1; ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<﹣2015}. 故选:B.
2 2 2 2

-1-

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 4. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=0,则公差 d 等于() A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. ﹣2 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意结合等差数列的性质和求和公式可得 a2 的值,进而可得公差 d. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=0, ∴S3=a1+a2+a3=3a2=6,∴a2=2, ∴公差 d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2 故选:D 点评: 本题考查等差数列的求和公式和通项公式,属基础题. 5. (5 分)如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定

A,B 间距离的是() A. α ,a,b B. α ,β ,a C. a,b,γ D. α ,β ,b

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 给定 α ,a,b,由正弦定理,β 不唯一确定,故不能确定 A,B 间距离. 解答: 解:给定 α ,a,b,由正弦定理,β 不唯一确定,故不能确定 A,B 间距离. 故选:A. 点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查学生的计算能力,比较基础. 6. (5 分)下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是()

A. an=n ﹣n+1

2

B. an=

C. an=

D. an=

考点: 数列递推式. 专题: 规律型.

-2-

分析: 由图中所给的星星个数:1,1+2,1+2+3,?,1+2+3+?+n;得出数列第 n 项,即通 项公式. 解答: 解析:从图中可观察星星的构成规律, n=1 时,有 1 个;n=2 时,有 3 个; n=3 时,有 6 个;n=4 时,有 10 个; ∴an=1+2+3+4+?+n= .

答案:C 点评: 这是一个简单的自然数求和公式,由观察得出猜想,一般不需要证明.考查学生的 观察猜想能力.

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=2x+3y 的最小值为()

A. 6

B. 7

C. 8

D. 23

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

.画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最小值.

解答: 解:画出不等式

.表示的可行域,如图,

让目标函数表示直线

在可行域上平移,

知在点 B 自目标函数取到最小值, 解方程组 所以 zmin=4+3=7, 故选 B. 得(2,1) ,

-3-

点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到 目标函数的最优解.

8. (5 分)已知 a>0,b>0,且 2 是 2a 与 b 的等差中项,则 A. B. C. 2

的最小值为() D. 4

考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式;等差数列. 不等式的解法及应用. 利用等差中项及基本不等式的性质即可求出答案. 解:∵2 是 2a 与 b 的等差中项,∴2a+b=4, = ,当且仅当 2a=b=2,即 a=1,b=2 时取等

又∵a>0,b>0,∴ 号, ∴ .

故选 B. 点评: 充分理解基本不等式及其变形是解题的关键. 9. (5 分)已知点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A. ﹣4<a<9 B. ﹣9<a<4 C. a<﹣4 或 a>9 D. a<﹣9 或 a>4 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,把两点的坐标代入 3x﹣2y+a 所得的值异号,由此列不等式求得 a 的范围. 解答: 解:∵点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧, ∴(3×2﹣2×1+a) (﹣1×3﹣2×3+a)<0, 即(a+4) (a﹣9)<0. 解得﹣4<a<9. 故选:A.

-4-

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了二元一次不等式所表示的平面区域,是基础题. 10. (5 分)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 ,则 2a7+a11 的最小值 为() A. 16 B. 8 C. D. 4 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 ,知 a4?a14=(2 故 a7?a11=8,利用均值不等式能够求出 2a7+a11 的最小值. 解答: 解:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 , 2 ∴a4?a14=(2 ) =8, ∴a7?a11=8, ∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2 =2 =8.

) =8,

2

故选 B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的应用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答. 11. (5 分)已知 f(x)=x +2xf′(1) ,则 f′(0)等于() A. 0 B. ﹣2 C. ﹣ 4
2

D. 2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 把给出的函数求导得其导函数,在导函数解析式中取 x=1 可求 2f′(1)的值. 2 解答: 解:由 f(x)=x +2xf′(1) , 得:f′(x)=2x+2f′(1) , 取 x=1 得:f′(1)=2×1+2f′(1) , 所以,f′(1)=﹣2. 所以 f′(x)=2x﹣4 故 f′(0)=2f′(1)=﹣4, 故选:C. 点评: 本题考查了导数运算, 解答此题的关键是理解原函数解析式中的 f′ (1) , 在这里 f′ (1)只是一个常数,此题是基础题. =k 在(0,+∞)上有两个不同的解 α ,β (α <β ) ,则下面结

12. (5 分)已知方程 论正确的是() A. sinα =﹣α cosβ

B. sinα =α cosβ

C. cosα =β sinβ

D. sinβ =β sinα

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的综合应用.

-5-

分析: 由题意,方程

=k 可化为|sinx|=kx,作函数 y=|sinx|与 y=kx 的图象,从而 =﹣cosβ ,化简即可.

可求得 y′|x=β =﹣cosβ ,即 k=﹣cosβ ,从而可得 解答: 解:在(0,+∞)上,方程 作函数 y=|sinx|与 y=kx 的图象如下,

=k 可化为|sinx|=kx,

在 x=β 时,

=

=k,

又∵在 x=β 处直线与 y=|sinx|相切, ∴y′|x=β =﹣cosβ , 故 k=﹣cosβ , 则 =﹣cosβ ,

即 sinα =﹣α cosβ ; 故选 A. 点评: 本题考查了导数的几何意义的应用及方程的根与函数图象的关系应用,同时考查了 数形结合的思想应用,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 2 13. (5 分)命题“? x<0,有 x >0”的否定是? x<0,有 x ≤0. 考点: 命题的否定. 分析: 对特称命题的否定是一个全称命题,对一个全称命题的否定是全称命题,即:对命 题“? x∈A,P(X)”的否定是:“? x∈A,?P(X)”;对命题“? x∈A,P(X)”的否定 2 是:“? x∈A,?P(X)”,由此不难得到对命题“? x<0,有 x >0”的否定. 解答: 解:∵对命题“? x∈A,P(X)”的否定是:“? x∈A,?P(X)” 2 2 ∴对命题“? x<0,有 x >0”的否定是“? x<0,有 x ≤0” 2 故答案为:? x<0,有 x ≤0 点评: 对命题“? x∈A,P(X)”的否定是:“? x∈A,?P(X)”; 对命题“? x∈A,P(X)”的否定是:“? x∈A,?P(X)”, 即对特称命题的否定是一个全称命题,对一个全称命题的否定是全称命题

-6-

14. (5 分)若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 c﹣a= .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 2b=2+9,解之可得 b 值,再由等差中项可得 a,c 的值,作差 即可得答案. 解答: 解:由等差数列的性质可得 2b=2+9,解得 b= 又可得 2a=2+b=2+ 同理可得 2c=9+ 故 c﹣a= 故答案为: 点评: 本题考查等差数列的性质和通项公式,属基础题. 15. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinA= 则边 c=2. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 在△ABC 中,由正弦定理求得 a= c,结合余弦定理,即可求出 c 的值 解答: 解:∵在△ABC 中,sinA= sinC ∴a= c 又∵B=30°,由余弦定理,可得:cosB=cos30°= = = sinC,B=30°,b=2, ﹣ = = = = ,解之可得 a= ,解得 c= , , ,

解得 c=2 故答案为:2. 点评: 本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,熟练掌握定理是解题的关键,属于中档 题. 16. (5 分) 现有甲、 乙两人相约到登封爬嵩山, 若甲上山的速度为 v1, 下山的速度为 v( , 2 v1≠v2) 乙上山和下山的速度都是 (甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回) ,则甲、乙两

人上下山所用的时间 t1、t2 的大小关系为 t1>t2. 考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

-7-

分析: 由题意,甲用的时间 t1=

+

=S

;乙用的时间 t2=2×

=

;从

而作差比较大小即可. 解答: 解:由题意知,甲用的时间 t1= + =S? ;

乙用的时间 t2=2×

=



∴t1﹣t2=S



=S(



)=S

>0;

故 t1>t2; 故答案为:t1>t2. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{an}的前 n 项和 Sn 的最大值. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)运用等差数列的通项公式,列出方程,解得首项和公差,即可得到通项公式; (Ⅱ)运用前 n 项和的公式,配方,结合二次函数的最值,即可得到. 解答: 解: (Ⅰ)由 an=a1+(n﹣1)d,及 a3=5,a10=﹣9 得, ,

解得



数列{an}的通项公式为 an=11﹣2n. (Ⅱ)由(1)知 因为 . .

所以 n=5 时,Sn 取得最大值 25. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,考查解方程组和二次函数的 最值的求法,属于基础题. 18. (12 分) 命题 p: 关于 x 的不等式 x +2ax+4>0, 对一切 x∈R 恒成立. 命题 q: 抛物线 y =4ax 的焦点在(1,0)的左侧,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
2 2

-8-

考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 先分别求出 p,q 为真时实数 a 的取值范围,再由 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假,从而解得. 2 解答: 解:设 g(x)=x +2ax+4, 2 由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立, 2 故△=4a ﹣16<0, ∴﹣2<a<2. 2 又∵抛物线 y =4ax 的焦点在(1,0)的左侧, ∴a<1.a≠0. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. (1)若 p 真 q 假,则 ∴1≤a<2;或 a=0.

(2)若 p 假 q 真,则

∴a≤﹣2.

综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1≤a<2,或 a≤﹣2.或 a=0. 点评: 本题考查了复合命题的真假性的应用,属于基础题. 19. (12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 C 的大小; 2 2 (2)若 c =(a﹣b) +6,求△ABC 的面积. b=2csinB

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinC 的值,由 C 为锐角求 出 C 的度数即可; (2)利用余弦定理列出关系式,把 cosC 的值代入并利用完全平方公式变形,结合已知等式求 出 ab 的值,再由 sinC 的值,利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积即可. 解答: 解: (1)由正弦定理 得: sinB=2sinCsinB, , = = ,及 b=2csinB,

∵sinB≠0,∴sinC=

∵C 为锐角, ∴C=60°; 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=(a﹣b) +ab, 2 2 ∵c =(a﹣b) +6, ∴ab=6, 则 S△ABC= absinC= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌 握定理是解本题的关键.

-9-

20. (12 分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.某市的一条道路在 一个限速为 40km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是 相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好 12m,乙车刹车距离略超过 10m.又知甲、乙两 2 种车型的刹车距离 S(m)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x ,S 乙 2 =0.05x+0.005x .问:甲、乙两车有无超速现象? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意列出不等式组,分别求解两种车型的事发前的车速,判断它们是不是超速行 驶,即可得到结论. 2 解答: 解:由题意知,对于甲车,有 0.1x+0.01x =12. 2 即 x +10x﹣1200=0,?(2 分) 解得 x=30 或 x=﹣40(x=﹣40 不符合实际意义,舍去) .?(4 分) 这表明甲车的车速为 30km/h. 甲车车速不会超过限速 40km/h.?(6 分) 2 对于乙车,有 0.05x+0.005x >10, 2 即 x +10x﹣2000>0,?(8 分) 解得 x>40 或 x<﹣50(x<﹣50 不符合实际意义,舍去) .?(10 分) 这表明乙车的车速超过 40km/h,超过规定限速.?(12 分) 点评: 本题的考点是函数模型的选择与应用,考查不等式模型的构建,考查利用数学知识 解决实际问题.解题的关键是利用函数关系式构建不等式. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x(e 为自然对数的底数) (1)求函数 f(x)的单调区间 (2)若存在 使不等式 f(x)<mx 成立,求实数 m 的取值范围.
x

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导数,令 f′(x)=0,解得 x=ln2,从而求出函数的单调区间; (Ⅱ)问题转化为求 的最小值.令 ,通过求导得到函数 g

(x)的最小值,从而求出 m 的范围. x 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=e ﹣2, x 令 f′(x)=0,即 e ﹣2=0,解得 x=ln2, x∈(﹣∞,ln2)时,f′(x)<0,x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,ln2) ,单调递增区间为(ln2,+∞) . (Ⅱ)由题意知 使 f(x)<mx 成立,



使

成立;

- 10 -

所以

的最小值.







所以 g(x)在

上单调递减,在上单调递增,

则 g(x)min=g(1)=e﹣2,所以 m∈(e﹣2,+∞) . 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查了导数的应用,考查转化思想, 是一道中档题.

22. (12 分)已知圆 C:x +y =3 的半径等于椭圆 E:

2

2

+

=1(a>b>0)的短半轴长,椭圆 E

的右焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l:y=x﹣

的距离为



,点 M 是直线 l 与圆 C 的公共

点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设点 F(c,0) (c>0) ,由已知条件得 椭圆 E 的短半轴长,由此能求出椭圆方程. (Ⅱ) 由圆心 O 到直线 l 的距离为 , 得 ,圆 C 的半径等于 ,

由已知条件推导出|AF|+|AM|=2,|BF|+|BM|=2,由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|. 解答: (Ⅰ)解:设点 F(c,0) (c>0) , 则 F 到直线 l 的距离为 ,

即 ,?(2 分) 因为 F 在圆 C 内,所以 ,故 c=1;?(4 分) 2 因为圆 C 的半径等于椭圆 E 的短半轴长,所以 b =3, 椭圆方程为 .?(6 分)

- 11 -

(Ⅱ)证明:因为圆心 O 到直线 l 的距离为 所以直线 l 与圆 C 相切,M 是切点, 故△AOM 为直角三角形, 所以 ,





,得 ,

,?(7 分)



,得

,?(9 分)

所以|AF|+|AM|=2,同理可得|BF|+|BM|=2,?(11 分) 所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|, 即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|.?(12 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两组线段差相等的证明,解题时要认真审题,注意 点到直线的距离公式的合理运用.

- 12 -



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