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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 典型例题正弦、余弦的诱导公式例题讲解素材 北师大版必修4


正弦、余弦的诱导公式例题讲析
例 1.求下列三角函数的值 (1) sin240?; (3) cos(-252?);

5? ; 4 7? (4) sin() 6
(2) cos

解: (1)sin240?=sin(180?+60?)=-sin60?= ?

3 2

(2) co

s

5? ? 2 ?? ? =cos ? ? ? ? = ? cos = ? ; 4 4 2 4? ?

(3) cos(-252?)=cos252?= cos(180?+72?)=-cos72?=-0.3090; (4) sin(-

7? 7? ? 1 ?? ? )=-sin =-sin ? ? ? ? =sin = 6 6 6 2 6? ?

说明:本题是诱导公式二、三的直接应用.通过本题的求解,使学生在利用公式二、三 求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练.本例中的(3)可使用计算器或查三角函数 表.

例 2.求下列三角函数的值 (1)sin(-119?45′); (3)cos(-150?);

5? ; 3 7? (4)sin . 4
(2)cos

解:(1)sin(-119?45′)=-sin119?45′=-sin(180?-60?15′)= -sin60?15′=- 0.8682 (2)cos

5? ? ? 1 =cos( 2? ? )=cos = 3 3 3 2

(3)cos(-150?)=cos150?=cos(180?-30?) =-cos30?= ?

3 ; 2

(4)sin

7? ? ? 2 =sin( 2? ? )=-sin = ? . 4 4 4 2

说明:本题是公式四、五的直接应用,通过本题的求解,使学生在利用公式四、五求三 角函数的值方面得到基本的、初步的训练.本题中的(1)可使用计算器或查三角函数表. 例 3.求值:
1

sin ? ?

11? ?? ? 31 ? 10? ? ? -cos ? ? ? -sin 10 ? 6 ? ? 3 ?

略解:原式=-sin ? 4? ?

? ?

11? 7? ? 4? ? ? ? -cos ? 2? ? ? -sin 10 3 ? 6 ? ?

=-sin ? ? ?

? ?

??

? ?? ? ? -cos ? ? ? ? +sin 10 6? 3? ?

? ? ? +cos +sin 10 6 3 1 1 = + +0.3090 2 2
=sin =1.3090 . 说明:本题考查了诱导公式一、二、三的应用,弧度制与角度制的换算,是一道比例 1 略难的小综合题.利用公式求解时,应注意符号.

例 4.求值: sin(-1200?)·cos1290?+cos(-1020?)·sin(-1050?)+tan855?. 解:原式=-sin(120?+3·360?)cos(210?+3·360?) +cos(300?+2·360?)[-sin(330?+2·360?)]+tan(135?+2·360?) =-sin120?·cos210?-cos300?·sin330?+tan135? =-sin(180?-60?)·cos(180?+30?)- cos(360?- 60?)·sin(360?-30?)+

sin(180? ? 45?) cos(180? ? 45?)

=sin60?·cos30?+cos60?·sin30?-tan45? = =0 说明:本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系.与前 面各例比较,更具有综合性.通过本题的求解训练,可使学生进一步熟练诱导公式在求值中 的应用.值得指出的是教材中的诱导公式未介绍正切,因此,计算 tan135? 的值时应先用商 数关系把 tan135? 改写成

3 3 1 1 · + · -1 2 2 2 2

sin135? ,再将分子分母分别用诱导公式进而求出 tan135? 的值. cos 135?

2

例 5.化简:

sin(3? ? ? ) ? cos(? ? 4? ) . cos(?? ? 5? ) ? sin(?? ? ? )
略解:原式=

cos ? sin(? ? ? ) ? cos? = =1. cos(? ? ? ) ? [? sin(? ? ? )] cos ?

说明:化简三角函数式是诱导公式的又一应用,应当熟悉这种题型.

例 6.化简:

sin? [? ? (2n ? 1)? ] ? 2 sin? [? ? (2n ? 1)? ] (n ? Z ) sin(? ? 2n? ) cos(2n? ? ? )
解:原式=

sin[(? ? ? ) ? 2n? ] ? 2 sin[(? ? ? ) ? 2n? ] sin(? ? 2n? ) cos(2n? ? ? )

sin(? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? = sin ? cos ? 3 =? . cos ?
= 说明:本题可视为例 5 的姐妹题,相比之下,难度略大于例 5.求解时应注意从所涉及 的角中分离出 2 ? 的整数倍才能利用诱导公式一.

例 7.求证:

sin(? ? 3? ) ? cos(? ? 4? ) sin(4? ? ? ) cos(2? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? tan( ? ??) sin(? ? ? )
证明:左边=

sin[(? ? ? ) ? 4? ] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? )

=

sin(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? ? sin ? cos ?

=

cos? ? sin ? cos2 ? ? sin 2 ? sin ? ? cos?
3

=

(cos? ? sin ? ) ? sin ? cos? ?cos? ? sin ? ??cos? ? sin ? ?

sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 右边= = , ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ?
= 所以,原式成立.

1 ? cos(180? ? ? ) cos(?? ) ? tan3 ? 例 8.求证 1 ? sin(360? ? ? ) sin(540? ? ? )
1 1 ? cos? ? cos? cos? ? cos? 证明:左边= 1 1 ? sin ? ? sin ? sin(180? ? ? ) sin ? 1 ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? = cos? 1 ? sin 2 ? cos? cos2 ? sin ?
=tan α =右边, 所以,原式成立. 说明: 例 7 和例 8 是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一 应用,具有一定的综合性.尽管问题是以证明的形式出现的,但其本质是等号左、右两边三 角式的化简.
3

1 3? , ? ? ? 2? .求: sin(2? ? ? ) 的值. 2 2 1 3? ? ? ? 2? , 解:已知条件即 cos ? ? ,又 2 2
例 9.已知 cos( ? ? ? ) ? ? 所以: sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ? ?(? 1 ? cos2 ? ) = 1 ? ( ) ?
2

1 2

3 2

说明:本题是在约束条件下三角函数式的求值问题.由于给出了角 ? 的范围,因此,? 的三角函数的符号是一定的, 求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号, 又要注意根据 ?

4

的范围确定三角函数的符号.

例 10.已知

1 ? tan( ? ? 720?) ? 3? 2 2 , 1 ? tan( ? ? 360?)
2

求: [cos (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 sin (? ? ? )] ?
2

1 的值. cos (?? ? 2? )
2

解:由

1 ? tan( ? ? 720?) ? 3 ? 2 2 ,得 1 ? tan( ? ? 360?)

(4 ? 2 2 ) tan? ? 2 ? 2 2 ,
所以 tan? ?

2?2 2 4?2 2

?

2 2
2

故 [cos (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 sin (? ? ? )] ?
2

1 cos (?? ? 2? )
2

= [cos ? ? sin ? cos ? ? 2 sin ? ] ?
2 2

1 cos 2 ?

=1+tan ? +2tan ?
2

=1+

2 2 ? 2 ? ( )2 2 2 2 . 2

? 2?

说明:本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题,但比例 9 要复杂一些.它对于学 生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用.提高运算能力等都能起到较好的作用.

例 11.已知 解:因为

?
6

?? ?

2? ? ?? ? ? ? (? ? ) , 3 3 2? ? ? ? ? ) ? cos[ ? ? (? ? )] = ? cos(? ? ) =-m 所以: cos( 3 3 3 ? 2? 2? ? , ?? ? , 由于 ? ? ? 所以 0 ? 6 3 3 2
于是: sin(

2? ? 2? , cos( ? ? ) ? m(m ? 0),求 tan( ? ? ) 的值. 3 3 3

2? 2? ? ? ) ? 1 ? cos2 ( ? ? ) = 1 ? m2 , 3 3
5

2? ??) 1 ? m2 3 =? . 2? m cos( ? ? ) 3 ? 2? 2? ? ? ? 之间的关系式 ? ? = ? -( ? ? ) 说明:通过观察,获得角 ? ? 与角 ,为 3 3 3 3 2? ? ? )的值奠定了基础,这是求解本题的关键,我们应当善于 顺利利用诱导公式求 cos( 3 2? 所以:tan( ( ??) ? 3 sin(
引导学生观察,充分挖掘的隐含条件,努力为解决问题寻找突破口,本题求解中一个鲜明的 特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造 出来, 在思维和技能上显然都有较高的要求, 给我们全新的感觉, 它对于培养学生思维能力、 创新意识,训练学生素质有着很好的作用.

例 12.已知 cos ? ?

2 ,角 ? ? ? 的终边在 y 轴的非负半轴上,求 cos ?2? ? 3? ? 的值. 3

解:因为角 ? ? ? 的终边在 y 轴的非负半轴上, 所以: ? ? ? = 于是 从而 所以

?
2

? 2k? ( k ? Z ) ,

2( ? ? ? )= ? ? 4k? (k ? ? )

2? ? 3? ? ? ? ? ? ? 4k? (k ? Z ), cos(2? ? 3? ) ? cos[( ? ? ? ) ? 4k? ] = cos(? ? ? ) = ? cos ? = ?
2 3

说明:本题求解中,通过对角 ? ? ? 的终边在 y 轴的非负半轴上的分析而得的

??? =

?
2

? 2k? ( k ? Z ) ,还不能马上将未知与已知沟通起来.然而,当我们通过观察,
?
2 ? 2k? 代

分析角 2? ? 3? 的结构特征,并将它表示为 2( ? ? ? ) ? ? 后,再将 ? ? ? =

入,那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁,它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍.通 过本题的求解训练,对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨 益.

6


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