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[文数一轮复习章节学案]1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


学案 3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

导学目标: 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

自主梳理 1.逻辑联结词 命题中的或,且,非叫做逻辑联结词.“p 且 q”记作 p∧q,“p 或 q”记作 p∨q,“非 p”记作綈 p

. 2.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

3.全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.含 有全称量词的命题, 叫做全称命题, 可用符号简记为?x∈M, p(x), 它的否定?x∈M, 綈 p(x). (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表 示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,可用符号简记为?x∈M,p(x),它的否定?x∈M, 綈 p(x). 自我检测 1.命题“?x∈R,x2-2x+1<0”的否定是( ) A.?x∈R,x2-2x+1≥0B.?x∈R,x2-2x+1>0 C.?x∈R,x2-2x+1≥0D.?x∈R,x2-2x+1<0 答案 C 解析 因要否定的命题是特称命题,而特称命题的否定为全称命题.对 x2-2x+1<0 的 否定为 x2-2x+1≥0,故选 C. 2.若命题 p:x∈A∩B,则綈 p 是( ) A.x∈A 且 x ? BB.x ? A 或 x ? B C.x ? A 且 x ? BD.x∈A∪B 答案 B 解析 ∵“x∈A∩B”?“x∈A 且 x∈B”, ∴綈 p:x ? A 或 x ? B. 3.(2011· 大连调研)若 p、q 是两个简单命题,且“p∨q”的否定是真命题,则必有( A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 答案 B 解析 ∵“p∨q”的否定是真命题, ∴“p∨q”是假命题,∴p,q 都假. 4.(2010· 湖南)下列命题中的假命题是( ) - A.?x∈R,2x 1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x∈R,lgx<1 )

D.?x∈R,tanx=2 答案 B 解析 对于 B 选项 x=1 时,(x-1)2=0. 5.(2009· 辽宁)下列 4 个命题: 1 1 p1:?x∈(0,+∞),( )x<( )x; 2 3 1 1 p2:?x∈(0,1),log x>log x; 2 3 1x 1 p3:?x∈(0,+∞),( ) >log x; 2 2 1 1x 1 p4:?x∈(0, ),( ) <log x. 3 2 3 其中的真命题是( ) A.p1,p3B.p1,p4 C.p2,p3D.p2,p4 答案 D 1 1 1 解析 取 x= ,则 log x=1,log x=log32<1, 2 2 3 p2 正确. 1 1 1 当 x∈(0, )时,( )x<1,而 log x>1,p4 正确. 3 2 3

探究点一

判断含有逻辑联结词的命题的真假

例 1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式的复合命题,并 判断真假. (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值 相等. 解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键,应根据 组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为:① 确定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真 假. 解 (1)p∨q:1 是素数或是方程 x2+2x-3=0 的根.真命题. p∧q:1 既是素数又是方程 x2+2x-3=0 的根.假命题. 綈 p:1 不是素数.真命题. (2)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q:平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)p∨q:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. 綈 p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号不相同.真命题. 变式迁移 1 (2011· 厦门月考)已知命题 p:?x∈R,使 tanx=1,命题 q:x2-3x+2<0 的 解集是{x|1<x<2},给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题;③命题“綈 p∨q”是真命题; ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题,其中正确的是( )

A.②③B.①②④ C.①③④D.①②③④ 答案 D 解析 命题 p:?x∈R,使 tanx=1 是真命题,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2} 也是真命题, ∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题;④命题“綈 p∨綈 q”是假命题.

探究点二
例2

全(特)称命题及真假判断

判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2-x+1> . 2 (2)?α,β 使 cos(α-β)=cosα-cosβ. (3)?x,y∈N,都有 x-y∈N. (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3. 解题导引 判定一个全(特)称命题的真假的方法: (1)全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题,举反例即 可. (2)特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使得命题成立. 解 (1)真命题, 1 3 3 1 因为 x2-x+1=(x- )2+ ≥ > . 2 4 4 2 π π (2)真命题,如 α= ,β= ,符合题意. 4 2 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4 ? N. (4)真命题,例如 x0=0,y0=3 符合题意. 变式迁移 2 (2011· 日照月考)下列四个命题中,其中为真命题的是( ) A.?x∈R,x2+3<0 B.?x∈N,x2≥1 C.?x∈Z,使 x5<1 D.?x∈Q,x2=3 答案 C 解析 由于?x∈R 都有 x2≥0,因而有 x2+3≥3,所以命题“?x∈R,x2+3<0”为假命 题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x2≥1 不成立,所以命题“?x∈N,x2≥1”为假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x5<1,所以命题“?x∈Z,使 x5<1”为真命题; 由于使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平 方能等于 3,所以命题“?x∈Q,x2=3”为假命题.

探究点三
例3

全称命题与特称命题的否定

写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x,使 x3+1=0. 解题导引 (1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别, 全(特)称命题的否 定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词),并把结论否定;而一般命题 的否定则是直接否定结论即可. (2)要判断“綈 p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断 p 的真假.因为 p 与綈 p 的 真假相反且一定有一个为真,一个为假.

1 (1)綈 p:?x∈R,x2-x+ <0,这是假命题, 4 1 1 因为?x∈R,x2-x+ =(x- )2≥0 恒成立,即 p 真,所以綈 p 假. 4 2 解 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3)綈 r: ?x∈R, x2+2x+2>0, 是真命题, 这是由于?x∈R, x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题,这是由于 x=-1 时,x3+1=0. 变式迁移 3 (2009· 天津)命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( ) A.不存在 x0∈R,2x0>0 B.存在 x0∈R,2x0≥0 C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 答案 D 解析 本题考查全称命题与特称命题的否定. 原命题为特称命题, 其否定应为全称命题, x 而“≤”的否定是“>”,所以其否定为“对任意的 x∈R,2 >0”.

转化与化归思想的应用
例 (12 分)已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R,x2 0+2ax0+2 -a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 【答题模板】 解 由“p 且 q”是真命题, 则 p 为真命题,q 也为真命题.[3 分] 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1.[6 分] 若 q 为真命题, 即 x2+2ax+2-a=0 有实根, Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即 a≥1 或 a≤-2,[10 分] 综上,所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1.[12 分] 【突破思维障碍】 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出参数存在的 条件,命题 p 转化为恒成立问题,命题 q 转化为方程有实根问题,最后再求出含逻辑联结词 的命题成立的条件.若直接求 p 成立的条件困难,可转化成求綈 p 成立的条件,然后取补集. 【易错点剖析】 “p 且 q”为真是全真则真, 要区别“p 或 q”为真是一真则真, 命题 q 就是方程 x2+2ax +2-a=0 有实根,所以 Δ≥0.不是找一个 x0 使方程成立.

1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解. (1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同,日常用语“或”带有“不可兼有” 的意思,如工作或休息,而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思,如 x<6 或 x>9. (2)命题“非 p”就是对命题“p”的否定,即对命题结论的否定;否命题是四种命题中的一 种,是对原命题条件和结论的同时否定. 2. 判断复合命题的真假, 要首先确定复合命题的构成形式, 再指出其中简单命题的真假, 最后根据真值表判断. 3.全称命题“?x∈M,p(x)”的否定是一个特称命题“?x∈M,綈 p(x)”, 特称命题“?x∈M,p(x)”的否定是一个全称命题“?x∈M,綈 p(x)”.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 宣城模拟)已知命题 p:?x∈R,x2-3x+3≤0,则( A.綈 p:?x∈R,x -3x+3>0,且綈 p 为真命题
2

)

B.綈 p:?x∈R,x2-3x+3>0,且綈 p 为假命题 C.綈 p:?x∈R,x2-3x+3>0,且綈 p 为真命题 D.綈 p:?x∈R,x2-3x+3>0,且綈 p 为假命题 答案 C 解析 命题 p 是一个特称命题, 它的否定綈 p: 对所有的 x∈R, 都有 x2-3x+3>0 为真. 故 答案为 C.命题的否定要否定量词,即全称量词的否定为存在量词,存在量词的否定为全称量 词,而且要否定结论. 2.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题綈 p 是真命题,那么实数 a 的取值范 围是( ) 1 1 A.a< B.a≤ 3 3 1 1 C.0<a≤ D.a≥ 3 3 答案 B 解析 ∵命题綈 p 是真命题,∴命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,不等式 ax2
? ?a>0, 1 +2x+3>0 对一切 x∈R 恒成立, 这时应有? 解得 a> .因此当命题 p 是假命题, 3 ?Δ=4-12a<0, ?

即命题綈 p 是真命题时, 1 实数 a 的范围是 a≤ . 3 3.(2011· 龙岩月考)已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:x>a,且綈 p 是綈 q 的充分不必要条 件,则 a 的取值范围是( ) A.a≥1B.a≤1 C.a≥-3D.a≤-3 答案 A 解析 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件的等价命题为 q 是 p 的充分不必要条件,即 q?p, 而p q,条件 p 化简为 x>1 或 x<-3,所以当 a≥1 时,q?p. 4.已知命题“?a,b∈R,如果 ab>0,则 a>0”,则它的否命题是( ) A.?a,b∈R,如果 ab<0,则 a<0 B.?a,b∈R,如果 ab≤0,则 a≤0 C.?a,b∈R,如果 ab<0,则 a<0 D.?a,b∈R,如果 ab≤0,则 a≤0 答案 B 解析 ?a,b∈R 是大前堤,在否命题中也不变,又因 ab>0,a>0 的否定分别为 ab≤0, a≤0,故选 B. 5.(2011· 宁波调研)下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1”

B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 安徽)命题“对?x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________. 答案 ?x∈R,|x-2|+|x-4|≤3 7.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R 使 4x-2x 1+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实 数 m 的取值范围为__________. 答案 m≤1


解析 命题綈 p 是假命题,即命题 p 是真命题,也就是关于 x 的方程 4x-2x 1+m=0 有 + + 实数解, 即 m=-(4x-2x 1), 令 f(x)=-(4x-2x 1), 由于 f(x)=-(2x-1)2+1, 所以当 x-Ray 时 f(x)≤1,因此实数 m 的取值范围是 m≤1. 8.(2010· 安徽)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是 ______________________. 答案 对任意 x∈R,都有 x2+2x+5≠0 解析 因特称命题的否定是全称命题,所以得:对任意 x∈R,都有 x2+2x+5≠0. 三、解答题(共 38 分)


9.(12 分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的命题的真假. (1)p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}; (2)p:1 是奇数,q:1 是质数; (3)p:0∈?,q:{x|x2-3x-5<0}?R; (4)p:5≤5,q:27 不是质数. 解 (1)∵p 是假命题,q 是真命题, ∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 綈 p 为真命题.(3 分) (2)∵1 是奇数, ∴p 是真命题. 又∵1 不是质数, ∴q 是假命题. 因此 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,綈 p 为假命题.(6 分) (3)∵0 ? ?,∴p 为假命题. 3- 29 3+ 29 又∵x2-3x-5<0? <x< , 2 2 3- 29 3+ 29 ∴{x|x2-3x-5<0}={x| <x< }?R 成立. 2 2 ∴q 为真命题. ∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,綈 p 为真命题.(9 分) (4)显然 p:5≤5 为真命题,q:27 不是质数为真命题, ∴p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,綈 p 为假命题. (12 分) 10.(12 分)(2011· 锦州月考)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立, x q:函数 f(x)=(3-2a) 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 解 设 g(x)=x2+2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函数 g(x)的图象开口向上 且与 x 轴没有交点, 故 Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2.(4 分) 又∵函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,

∴3-2a>1,∴a<1.(6 分) 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. ? ?-2<a<2, (1)若 p 真 q 假,则? ?a≥1, ? ∴1≤a<2;(8 分) (2)若 p 假 q 真, ?a≤-2,或a≥2, ? 则? ∴a≤-2.(10 分) ?a<1, ? 综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1≤a<2,或 a≤-2.(12 分) 11. (14 分)已知 p: x2+mx+1=0 有两个不等的负根, q: 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根. 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. ?Δ1=m2-4>0 ? 解 p:x2+mx+1=0 有两个不等的负根?? ?m>2.(3 分) ? ?-m<0 q:4x2+4(m-2)x+1=0 无实根. ?Δ2=16(m-2)2-16<0?1<m<3,(6 分) 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 的真值相反. ?m>2 ? ①当 p 真且 q 假时,有? ?m≤1或m≥3 ? ?m≥3;(10 分) ? ?m≤2 ②当 p 假且 q 真时,有? ?1<m≤2.(12 分) ? ?1<m<3 综上可知,m 的取值范围为{m|1<m≤2 或 m≥3}.(14 分)


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