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2011-2012学年度第二学期高一级数学科期中考试试卷


本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密 封线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能

答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指 定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. sin 240 ?
?

第一部分选择题(共

(A)

3 2

(B) ?

3 2

(C)

1 2
象限

(D) ?

1 2

2.已知 tan ? ? 0 , cos ? ? 0 ,则角 ? 的终边在第 (A) 一 3.已知 a ? (A) 150
?

(B) 二

(C) 三

(D) 四

3 , b ? 2 , a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角是
(B) 120
?

(C) 60

?

(D) 30

?

4. sin165

?

? cos75 ? ? cos15 ?? sin 75 ? ?
(B)

(A) 0

1 2

(C)

3 2

(D) 1

5.为了得到函数 y ? 2 sin( x ? (A) 向右平移

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? 2 sin x 的图象

? 6

(B) 向右平移

? 12

(C) 向左平移

? 6

(D) 向左平移 )

? 12

6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( (A) y ? ? x
3

(B) y ? sin x

(C) y ? ? tan x

(D) y ? ( 1 ) x
2

7. 下列函数中,周期为 ? 的函数是

(A) y ? sin

1 x 2

(B) y ? sin x

(C) y ? sin x ? sin x

(D) y ? sin x ?

1 2

8. 已知 tan( (A) ?

?
4

??) ?

1 sin 2? ? cos2 ? ,则 的值为 2 1 ? cos 2?
(B) ?

[来源:学科网]

5 3

5 6

(C) ?

1 6

(D) ?

3 2

9.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 → → (A) AO = OD → → (B) AO = 2OD → → (C) AO = 3OD → → (D) 2AO = OD

10.设 f ( x) ? sin( x ?

?
4

) ,若在 x ? [0,2? ) 上关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不等的实根

x1 , x 2 ,则 x1 ? x2 的值为
(A)

? 5? 或 2 2

(B)

3? ? 3? 或 (C) 2 2 2 第二部分非选择题 (共 100 分)

(D)

? 2

二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 11.若点 P(1,?2) 为角 ? 终边上一点,则 tan ? = 12.已知向量 a ? (1, 2 ) , b ? (?2,0) ,则 a ? b = 13 .一个圆锥的侧面展开图是半径为 3 ,圆心角为 120 的扇形,则圆锥的底面圆半径是 14.函数 f ( x) ?
2 2
?

3 sin x ? sin(
2

?

2

? x) 的最大值是

15.圆 x ? y ? r 与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 相交于 P, Q 两点, 若 OP ? OQ ? 0 ( O 为原点),则 圆的半径 r 值的为 ;

16.下列关于向量的命题中: ① (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ③ (a ? b) ? a ? 2 a ? b ? b
2 2 2

② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④

a ?a

2

2

⑤ a ?b

? ?

2

? a ?b

2

2

其中正确的是_

(请把所有正确 的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时 (1) k a ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) k a ? b 与 a ? 3b 平行?

18. (本题满分 10 分) 如图,货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水

平角)为 155o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125o.半 小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80o.求此时货轮与灯塔之间的距 离(得数保留最简根号).
B 北
155o 125o


80 o

A

C 19.(本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA ? 底面 ABC , AB ? BC , 1

D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2.
(1)求证: AB1 // 平面 BC1D ;

zxxk

(2)过点 B 作 BE ? AC 于点 E ,求证:直线 BE ? 平面 AA C1C 1 (3)若四棱锥 B ? AA C1D 的体积为 3,求 BC 的长度 1

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin(

?
4

? x) ? cos(

?
4

? x)
, ] 上的值域; 12 2

(1) 求函数 f (x) 的最小正周期;

(2) 求函数 f (x) 在区间 [?

? ?

(3) 借 助 ” 五 点 作 图 法 ” 画 出 函 数 f (x) 在 ?0, 上 的 简 图 , 并 且 依 图 写 出 函 数 f (x) 在 ? 8 ? ?

? 7? ?

? 7? ? ?0, 8 ? 上的递增区间. ? ?

21. (本题满分 12 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C 经 过 点 A( 2,0) 和 点 B(3,1) , 且 圆 心 C 在 直 线

x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P(0,1) 且斜率为 k 的直线与圆 C 相交于不同的两点 M , N .
(1)求圆 C 的方程, 同时求出 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k ,使得向量 OM ? ON 与 PC 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由.

22. (本题满分 12 分) 已知奇函数 f (x) 在 (??,0) ? (0,??) 上有意义,且在 (0,??) 上是增函数, f (1) ? 0 (1)求满足不等式 f ( x ) ? 0 的实数 x 的取值范围; (2) 设 函 数 g (? ) ? sin
2

? ? m ? cos? ? 2m , 若 集 合 M ? ?m g (? ) ? 0? , 集 合

N ? ?m f [ g(? )] ? 0?,求 M ? N

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2010-2011 学年度第二学期

高一级数学科期中试题答案
一、选择题:BCADC ABBAA 二、填空题:11. ? 2 ; 12. 3 .13.1 14.2 15.

10 ;16. ①④

三、解答题

18. (本题满分 10 分) 解 : 在 △ ABC 中 , ∠ ABC = 155o 30o …………………………………………………………1 分 ∠ BCA = 180o - 155o + 北 B
155o 125o

- 80o

125o

= =


80 o

A

1 05o,

C ……………………………………………………………………3 分 …………4 分

∠BAC=180o-30o-105o=45o, BC=

1 ? 50 ? 25 , …………………6 分 2 AC BC ? 0 sin 30 sin 450
……………7 分

由正弦定理,得



AC



BC ? sin 300 sin 450

=

25 2 2





里) ……………………………………………………………







9

























2 2

5

2 海

里.……………………………………………………………………………10 分 19(本题满分 12 分)

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(2)的解法 2:

? A1 A ? 平面ABC, A1A ? 平面AA1C1C,?平面AA1C1C ? 平面ABC …………5 分 又平面AA1C1C ? 平面ABC ? AC, BE ? AC, BE ? 平面ABC,

?直 线 BE ? 平面 AA1C1C ………………………………………8 分
(3)由(2)知 BE 的长度是四棱锥 B —AA1C1D 的体高 A1 A ? AB ? 2. 设

BC ? x ? 0, Rt ?ABC 中, AC ? BE ? AB ? BC,? BE ? ? S AA 1C1D ?

2x ………………………9 分 AC

1 13 3 ? ?A1C1 ? AD ? ? A1A ? AC ? 2 ? AC, …………………………………… 2 22 2 1 1 3 2x S AA 1C1D ? BE ? ? AC ? ? 3, ……………………………………………… 3 3 2 AC

…………10 分

? VAA1C1D ?

…………11 分

? x ? 3,? BC ? 3 ………………………………………
……………………………………………………12 分 20. (本题满分 14 分)
zxxk

. 解:(1) ∵ f (x) = sin 2x + sin ( = 2 (

?
2

-2x) = sin 2x + cos 2x

2 2 ? ? ? sin 2x + cos 2x) = 2 (sin 2x cos + cos 2x sin )= 2 sin (2x + ) 2 2 4 4 4 2? ∴ 周期 T = = ? ………………………………………………………………………4 2 分

(3)列表

? ? 2x ?
x
y

?
4

0

?
0

?
8

? 2 ? 8
2

?
3? 8 0

3? 2 5? 8

2?

? 2

7? 8 0

……………………………………………………………………………………………………… …………10 分 图 象 略 , 注 意

f (0) ? 1 …………………………………………………………………………………………
12 分 函数在区间 0, ?

? 7? ? ? ? ? ? 5? 7? ? ? 上的单调递增区间是 ?0, 8 ?, ? 8 , 8 ? ………………14 分 ? 8 ? ? ? ? ?

21. (本题满分 12 分)

方法一 由直线 y ? kx ? 1 与圆相交,得圆心 C 到直线的距离小于半径



3k ? 1 1? k2

?1? ?

3 ? k ? 0 ………………………………………… 6 分 4

方法二:联立方程组

6 ? 2k ? ? y ? kx ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 2 ? (1 ? k ) x ? (2k ? 6) x ? 9 ? 0 ? ? 1? k2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ? ?? ? 0 ?
由 ? ? 0 ? ?8k ? 6k ? 0 ? ?
2

[来源:学科网]

3 ? k ? 0 ……………………………… 7 分 4

(Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , PC ? (3,?1) 因为 OM ? ON 与 PC 共线,所以………………………………8 分

3( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ? (3k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 6 ? 0 ? k ? ?
(注意: y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 有”1 分”的过程分)

3 ……………… 11 分 4

0) 由第(2)问可知 k ? (? , ,故没有符合题意的常数 k ,直线不存在.

3 4

22. (本题满分 12 分) 解:依题意,f (-1) = -f (1) = 0,又 f (x) 在 (0,+?) 上是增函数, ∴ f (x) 在 (-?,0) 上也是增函数, ∴ 由 f (x) < 0 得 x < - 1 或 0 < x 1………………………………………………………………… 2 分 ∴ N = {m | f [g(?)] < 0} = {m | g(?) < -1 或 0 < g(?) < 1}, M ∩ N = {m | g(?) < 1}……………………………………………………………………………………3 分 由 g(?) < -1 得 sin 2? + m cos ?-2m < -1 ? cos 2?-m cos ? + 2m-2 > 0 恒成立 2 ? (cos ? - m cos ? + 2m - 2)min 0…………………………………………………………………………4 分 设 t = cos?,h(t) = cos 2?-m cos ? + 2m-2 = t 2-mt + 2m-2 m m2 = (t- ) 2- + 2m-2, ∵ 2 4 m …………………5 分 2 1? 当 m > 1,即 m > 2 时,h(t) 在 [-1,1] 为减函数 2 > 1 ? m

<



>

cos? ∈ [ - 1,1] ? t ∈ [ - 1,1] , h(t) 的 对 称 轴 为 t =

∴ h(t)min = h(1) = m - 1 > 0 ? m 2………………………………………………………………7 分 m 2? 当 -1≤ ≤1,即 -2≤m≤2 时, 2 ∴ h(t)min = h(

>

m m2 )= - + 2m-2 > 0 ? 4-2 2 < m < 4 + 2 2 ? 4-2 2 < m≤2 2 4

………………………………………………………………………………………………………
…………9 分 3? 当 m < -1,即 m < -2 时,h(t) 在 [-1,1] 为增函数 2

∴ h(t)min = h(-1) = 3m-1 > 0 ? m >

1 无解 3

………………………………………………………………………………………………………
…………11 分 综 上 , m > 4 - 2 2 ? M ∩ N = 2 2 }………………………………………………………12 分 {m | m > 4 -

zxxk



……………………………11 分 综 上 , m > 4 - 2 2 ? M ∩ N = 2 2 }………………………………………………………12 分 {m | m > 4 -


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