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平面向量基本定理及其坐标表示习题(含答案)


平面向量基本定理和坐标表示 【知识清单】
1.两个向量的夹角 (1)已知两个____向量 a,b ,在平面内任 取 一 点 O , 作 OA =

叫做 a 在 y 轴上的坐标. ② OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标

??? ?

??? ?

? x, y ?

??? ?

就 是 ________ 的 坐 标 , 即 若 则 A 点坐标为

??? ? OA ? ? x, y ? ,

??? ?

a

, OB =

b ,则

__________,反之亦成立(O 是坐标原点) . 3.平面向量的坐标运算 向量加法和减法 若 a ? ? x1 , x2 ? , b ? ? x 2 , y2 ? , 则 a ? b ? _____________,

?A O B? ? ? 0 ? ? ? ? ? 叫做向量 a 与 b 的
夹角 (2)向量夹角 ? 的范围是__________,当

? ? ________时,两向量共线,
当 ? ? ____________时,两向量垂直,记作 a⊥b 2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个__________ 向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , __________ 一 对 实 数 ?1 , 实数与向量的乘积 向量的坐标

a ? b ? _____________,
若 a ? ? x, y ? , ? ? R, 则 ?a ? ________ 若起点 A? x1 , y1 ? , 终点 B ? x2 , y2 ? ,

则 AB ? ___________, AB ? ________ 4.平面向量共线的坐标表示 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 其中 b ? 0 ,

??? ?

??? ?

?2 使 a =

______________. 其中, 不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ________. (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 ____________ 的向 量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底, 对于平面内的一个向量 a ,由平面向量基本 定理可知,有且只有一对实数 x , y ,使

a // b ?__________________________.
1. 已知平面向量 ,则 A C. ( B D. ) ,且

2.下列向量组中,能作为平面内所有向量基
底的是( A. B. C. )

a = xi + yj ,这样,平面内的任一向量 a 都
可由 x , y 唯一确定,把有序数对________ 叫做向量 a 的坐标,记作 a =__________, 其中______叫做 a 在 x 轴上的坐标,______

D.

3.已知

,则与

平行的单位向量为 (

).

A.

B.

C.

D. 和 ,记向量 ,向量 ,则

4.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为
的概率是( )

A.

B.

C.

D. ∥ ,则实数

5.平 面 向 量 = ( 2 , -1 ) , = ( 1 , 1 ) , = ( -5 , 1 ) , 若
k 的值为( )

A2

B.

C.

D.

6.已知 A(-3,0)、B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=45°,设
,则 的值为( )

A、

B、

C、

D、 表示出来的是( B . D. , ,则 ,若 ,若向量 ,则 与向量 的取值范围 ;若 ,则 共线,则 . ,使得平面内的任意一个 . )

7.在下列向量组中,可以把向量
A. C.

8.已知直角坐标平面内的两个向量
向量 都可以唯一分解成

9. 10.向量

11.P 是△ABC 内一点, 且满足条件 令 ,用 表示 .

, 设Q为

延长线与 AB 的交点,

12.△ABC 中,BD=DC,AE=2EC,求

.

13.已知 标.

,且

,求 M、N 及

的坐

14.i、j 是两个不共线的向量,已知 共线,试求实数 λ 的值

=3i+2j,

=i+λ j,

=-2i+j,若 A、B、D 三点

15.已知向量 (1)若向量

,向量 与向量

. 垂直,求实数 的值; 与向量 平行?并说明它们是同向还是反向.

(2)当 为何值时,向量

16.在

中,

分别是内角 ,若

的对边,且 .



(1)求 (2)设

的大小; 为 的面积,求 的最大值及此时 的值.

平面向量基本定理及坐标表示答案 BBBABCB



8.

9..



10.2
11



……… ………② 比较①②,由平面向量基 又因为 A, B, Q 三点共线, C, P, Q 三点共线 本定理得:





为不共线向量

解得:



(舍) ,把 得: 故: 13.:

代入

.

12.设





,则

…①

同理可求

,因此
,解得 .

14,
∵ ? ∵A、B、D 三点共线, ∴向量 使得 与 =μ , 共线,因此存在实数 μ , = =(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j?

此时 所以方向相反.



略 16

即 3i+2j=μ [-3i+(1-λ )j] =-3μ i+μ (1-λ )j? ∵i 与 j 是两不共线向量,由基本定理得:?

故当 A、B、D 三点共线时,λ =3.?

15.





, . (1)由向量 得 与向量 垂直,

, 解 .



( 2 )

, 得


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