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(高三含详案)等差数列前n项和练综合练习


等差数列前 n 项和专练
一、选择题 1.等差数列{an}中, 5=15,则 a2+a4+a6+a8 的值为 a ( ) A.30 B.45 C.60 D.120 1 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an-1,则 a2 等于 ( ) 5 5 5 5 25 A.B. C. D. 4 4 16 16 3.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, n=2

n-49,则 Sn 达到最小值时, 的值为 a n ( ) A.12 B.13 C.24 D.25 An 7n+45 an 4.已知两个等差数列{an}和 {bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, B = 且 , 则使得b 为 n+3 n n 整数的正整数 n 的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 ? 1 ? 5.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若 ? ( ) ? 为等差数列,则 a11= ? an ? 1 ?
1 2 A.0 B. C. D.2 2 3 6. 在等差数列{an}中,Sn 为前 n 项的和,且 a1>0,3a2=5a4,则 Sn 中最大的是( A.S6 B.S10 C.S6 或 S7 D.S12 7.数列 a1+2,…,ak+2k,…,a10+20 共有 10 项, 且其和为 240, a1+…+ak+…+a10 为 ( 则 A.31 B.120 C.130 D.185

13. (2010· 滨州质检) 数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n, 1|+|a2|+…+|a10|= 则|a 14.已知整数对排列如: ?1,1? , ?1,2? , ? 2,1? , ?1,3?? 2,2? , ?3,1? , ?1,4? , ? 2,3? ,

.

?3, 2? , ? 4,1? , ?1,5? , ? 2,4? ,?,则第 60 个整数对是_______________.
15.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+(n+1)(n∈N*),则{an}的通项 an= . 16.将全体正整数排成一个如下的三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 根据以上排列规律,数阵的第 n(n≥3)行中从左到右的第 3 个数是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤) 17.(2010·山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn=
1 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a ?1
2 n

) )

8.数列{an}中,n= a

2009 1 ,若{an}的前 n 项和为 ,则项数 n 为 2010 n(n ? 1)

(

)

A.2 008 B.2 009 C.2 010 D.2 011 9. 一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的 和为 234,则它的第 7 项 a7 等于 A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 ) ) ) ( )

10.数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则数列{an}的前 30 项的绝对值之和为 ( A.120 B.495 C.765 D.3 105 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=8,S8=20,则 a9+a10+a11+a12 为 ( A.32 B.16 C.18 D.30 12. 设等差数列{an}共有 12 项,奇数项的和为 90,偶数项的和为 72,则首项 a1=( A.-3 B.6 C.29 D.30 二、填空题

18、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(n∈N*),且 S1=3,S2=7,S3=13. (1)求数列{an}的通项公式; ? ? ? 1 ? (2)求数列?a a ?的前 n 项和 Tn. ? n n+1? ? ?

? S ? 20.(2011 届·龙岩质检)(14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 ? n, n ? 在直线 ? n?
1 11 x ? 上.数列{bn}满足 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且 b3=11,前 9 项和为 153. 2 2 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; y?

(2)设 c n ?

k 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn> 对一切 n 57 (2an - 11)(2b - 1) n

∈N*都成立的最大正整数 k 的值.

19、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? 2S n ? S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ?
?1 ? (1)求证: ? ? 是等差数列; (2)求 ?an ? 的表达式. ?S n ?

1 , 2

8 21. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=3- n,设 bn=2n·n. a 2 (1)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)求数列{an·n}中的最大项. b

等差数列前 n 项和专练答案
一、选择题 1. C 解析:a2+a4+a6+a8=4a5=60. 2. D 解析: a2=

7. C 解析:a1+…+ak+…+a10=240-(2+…+2k+…+20)=240-

? 2 ? 20? ?10
2

=240-110=130.

8. B 解析:an= 9. D 解析:

1 5 5 Sn=an-1,取 n=1,得 S1=5a1-5,即 a1= .取 n=2,得 a1+a2=5a2-5, +a2=5a2-5,所以 5 4 4

1 2009 1 1 1 ? ,所以 Sn=1,n=2 009. ? ? n ? 1 2010 n(n ? 1) n n ? 1

∵a1+a2+a3+a4+a5=34,

25 . 16

3. C 解析:Sn=

n ? a1 ? an ? 2 2 =(n-24) -24 ,所以 n=24,Sn 达到最小值. 2
n?a1+an? 得 2

an-4+an-3+an-2+an-1+an=146, 又∵a1+an=a2+an-1=…=a5+an-4,∴5(a1+an)=180,∴a1+an=36. n?a1+an? n×36 ∴Sn=234= = ,∴n=13.∴a1+a13=2a7=36,故 a7=18. 2 2 10. C 解析:an=-60+3(n-1)=3n-63,Sn= (-33)-2×

4. D 解析:由等差数列的前 n 项和公式 An= A2n-1=

1 1 n(3n-123),所以所求绝对值之和为 T30=S30-2S20= ×30× 2 2

?2n-1??a1+a2n-1? ?2n-1?· n 2a = =(2n-1)an. 2 2 同理,B2n-1=(2n-1)bn. A2n-1 ?2n-1?an an 所以 = = . B2n-1 ?2n-1?bn bn A2n-1 7?2n-1?+45 14n+38 7n+19 又因为 = = = , B2n-1 ?2n-1?+3 2n+2 n+1 an 7n+19 7?n+1?+12 12 所以b = = =7+ . n+1 n+1 n+1 n an 12 要使b 为整数,则 必为整数,即 n+1 为 12 的约数. n+1 n 因为 12 的约数有 1,2,3,4,6,12,所以 n 为 0,1,2,3,5,11. 因为 n 为正整数,所以 n 取 1,2,3,5,11,共 5 个数,选 D. 5.B

1 ×20×(-63)=765. 2

11. B 解析:因为 a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,所以 a9+a10+a11+a12=2(S8-S4)-S4=16. 12. D 解析: ?

? S奇 ? S偶 ? 162, ?12a1 ? 66d ? 162, ? ?? ? a1=30,d=-3. ? S偶 ? S奇 ? ?18 ?6d ? ?18 ?

二、填空题 2 13. 68 解析:由 Sn=n -4n,可得 an=2n-5,则 a1=-3,a2=-1,当 n≥3 时,an≥0.所以|a1| 2 +|a2|+|a3|+…+|a10|=-a1-a2+a3+…+a10=S10-2(a1+a2)=10 -4×10+8=68. 14.第 60 个整数对为

?5,7?

解析:观察整数对的特点,整数对和为 2 的 1 个,和为 3 的 2 个,和为 4 的 3 个,和为 5 的 4 个, 和 n 为的 n-1 个,于是,借助 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?n ? 1? 估算,取 n=10,则第 55 个整数对为 ?11,1? ,
2

注意横坐标递增,纵坐标递减的特点,第 60 个整数对为 ?5,7? 15. 解析:an-an-1=n, an-1-an-2=n-1,……a2-a1=2,

6. C 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则据题意得 3a2=5a4,所以 3(a1+d)= 5(a1+3d),即 a1+6d=0,所以 a7=0,故 S6 或 S7 为前 n 项和的最大值.

16.

解析:由题意知该数阵的第 1 行有 1 个数,第 2 行有 2 个数,……,第 n 行有 n

个数,则第 n-1 行的最后一个数为(

所以第 n 行的第 3 个数为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17.解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 因为 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 因为 an=a1+(n-1)d,Sn=

? ?3, n=1; 所以 an=? ? ?2n,n≥2. 1 1 1 (2)令 bn= ,则 b1= = . a1a2 12 an·n+1 a 1 1 1 1 当 n≥2 时,bn= = ?n-n+1?. ? 2n· 2?n+1? 4? 1 1 1 1 1 1 n-1 1 所以 b2+…+bn= ?2-3+3-4+…+n-n+1?= 4? ? 8?n+1?.

所以 Tn=

1 n-1 5n-1 * + = (n∈N ). 12 8?n+1? 24?n+1?

19、解: (1)证明:∵ a n ? S n ? S n?1 (n ? 2) , S n?1 ? S n ? 2S n ? S n?1 , S n ? 0 , ∴

1 1 1 1 ? ? 2(n ? 2) . ? ? 2, S n S n ?1 S1 a1
?1 ? ? 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列. ?S n ?

n(a1 ? an ) , 2

∴?

所以 an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)因为 an=2n+1,所以 a n-1=4n(n+1),
2

(2)由(1)知

1 1 1 , ? ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n,? S n ? S n S1 2n
1 , 2n(n ? 1)
又∵n = 1 时, a1 ?

当( n ? 2 ) an ? S n ? S n ?1 ? ? ,

1 , 2

?1 ? (n ? 1) ∴ a ? ?2 . ? n 1 ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)
20.【解】 (1)由已知得: 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,所以 Sn= n 2 ? n . 2 2 2 2 n

n . 4(n ? 1)

当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=

?a+b+c=3, ? 18、解:(1)由已知有?4a+2b+c=7, ?9a+3b+c=13, ?

?a=1, ? 解得?b=1, ?c=1, ?

1 2 11 1 11 n ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) =n+5, 2 2 2 2

当 n=1 时,a1=S1=6 也符合上式.

所以 Sn=n2+n+1.当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,

所以 an=n+5(n∈N*). 由 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列. 9(b ? b ) 由{bn}的前 9 项和为 153,可得: 1 9 ? 153 , 2

求得 b5=17,又 b3=11, b ?b 所以{bn}的公差 d ? 5 3 ? 3 ,首项 b1=5,所以 bn=3n+2. 2
3 1? 1 1 ? (2) cn ? ? ? ? ?, (2n ? 1)(6n ? 3) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 所以 Tn ? ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?1 ? ?. 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ?

?4n-1?2 2n 得 n+1 · ≤1, 2 ?4n-5?2 1?4n-1?2 ? ≤1, 即 ? 2?4n-5? ∴ 4n-1 4 ≤ 2,即 ≤ 2-1, 4n-5 4n-5

因为 n 增大,Tn 增大,所以{Tn}是递增数列, 1 所以 Tn≥T1= . 3 k 1 k Tn> 对一切 n∈N*都成立,只要 T1= > , 3 57 57 所以 k<19,则 kmax=18. k 即使不等式 Tn> 对一切 n∈N*都成立的最大正整数为 18. 57 21.解 (1)证明:当 n=1 时,2a1=-1, 1 ∴a1=- ,b1=-1, 2 8 ∵an+Sn=3- n,① 2 当 n≥2 时,an-1+Sn-1=3- 8 ①-②得 2an-an-1= n, 2 ∴2nan-2n 1an-1=4,即 bn-bn-1=4(n≥2), ∴数列{bn}是等差数列, ∴bn=4n-5,即 2nan=4n-5,∴an= 4n-5 . 2n


9 ∴4n-5≥4( 2+1),∴n≥ 2+ . 4 ∵n∈N+,∴n≥4,则 a4b4>a5b5>a6b6>…. 1 9 49 121 又 a1b1= ,a2b2= ,a3b3= ,a4b4= , 2 4 8 16 ∴a1b1<a2b2<a3b3<a4b4, ∴当 n=4 时,数列{anbn}有最大项,最大项为 a4b4= 121 . 16

8 ,② 2n-1

4n-5 ?4n-5?2 (2)∵an= n ,bn=4n-5,∴anbn= , 2 2n an+1bn+1 当 n≥2 时,令 a b ≤1, n n


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