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辽宁省大连二十中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(文科)


辽宁省大连二十中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷 (文 科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 sinα>0,cosα<0,则角 α 的终边落在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2.已知向量 =(1,2) , =(﹣2,1) ,则 +2 =()

A.(0,5) B.(5,﹣1) C.(﹣1,3) D.(﹣3,4)

3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3 和 a4 成等比数列,则 a1 可以等于() A.﹣4 B.﹣6 C.﹣8 D.﹣10 4.已知 sinα= ,则 cos(α+ A. B. ﹣ )=() C. D.﹣

5.tan75°=() A.2+ B.1+ C. D.2﹣

6.若等比数列前 n 项和为 Sn,且满足 S3=S2+S1,则公比 q 等于() A.1 B.﹣1 C.±1 D.不存在 7.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= ,A=30° 则角 B 等 于() A.60°或 120° B.30°或 150° C.60° D.120° 8.已知点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,则实数 a 的取值范围为 () A.(﹣24,7) B.(﹣∞,﹣24)∪(7,+∞) C. (﹣7,24) D. (﹣∞,﹣7)∪(24,+∞) 9.在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a9+a10+a11+a12 的值为() A.3 B. 5 C. 7 D.9 10.在△ ABC 中,∠A、B、C 对边分别为 a、b、c,A=60°,b=1,这个三角形的面积为 则 a=() A.2 B. C. 2 D. ,

11.设 a>0,b>0 且 a+b=1 则 A.2
2

的最小值是() C. D.6

B. 4

12.关于 x 的方程 x +(a+2b)x+3a+b+1=0 的两个实根分别在区间(﹣1,0)和(0,1) 上,则 a+b 的取值范围为() A.(﹣ , ) B.(﹣ , ) C.(﹣ ,﹣ ) D.(﹣ , )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |,则< , >=. 14.在△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,若 a:b:c=7:8:13,则 C=. 15.已知等比数列{an}前 n 项的和为 2 ﹣1(n∈N ) ,则数列{a n}前 n 项的和为. 16.已知数列{an}满足 a1=32,an+1﹣an=n(n∈N ) ,则
+ n + 2

取最小值时 n=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (Ⅰ)关于 x 的不等式 mx ﹣(m+3)x﹣1<0 的解集为 R,求实数 m 的取值范围; 2 (Ⅱ)关于 x 的不等式 x +ax+b>0 的解集为{x|x>2 或 x<1},求 a,b 的值. 18.已知 α∈( ,π) ,sinα+cosα= .
2

(Ⅰ) 求 sinα﹣cosα 的值; (Ⅱ) 求 sin(α+ )的值.

19.某厂生产甲产品每吨需用原料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 3 吨,生产乙产品每吨需用原 料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 1 吨.甲、乙产品每吨可获利润分别为 3 千元和 2 千元.现有 12 吨原料 A,8 吨原料 B.问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大. 20.已知△ ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,交 BC 于 D,BD=2DC. (Ⅰ)求 AB:AC 的值; (Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠C.

21.已知数列{an}满足 an+1=2an﹣1(n∈N ) ,a1=2. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; + (Ⅱ)求数列{nan}的前 n 项和 Sn(n∈N ) .

+

22.已知向量 , 满足 =(﹣2sinx, (x)= ? (x∈R) . (Ⅰ)求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)已知数列 an=n f(
2

(cosx+sinx) ) , =(cosx,cosx﹣sinx) ,函数 f



) (n∈N ) ,求{an}的前 2n 项和 S2n.

+

辽宁省大连二十中 2014-2015 学年高一下学期期末数学 试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 sinα>0,cosα<0,则角 α 的终边落在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据 sinα 和 cosα 的符号即可判断出 α 所在的象限. 解答: 解:∵sinα>0, ∴α 为一、二象限角或 α 在 y 轴正半轴上, ∵cosα<0, ∴α 为二、三象限角 α 在 x 轴负半轴上, ∴α 为第二象限角, 故选:B. 点评: 本题主要考查了三角函数数值的符号的判定. 对于象限角的符号可以采用口诀的方 法记忆:一全二正弦、三切四余弦.

2.已知向量 =(1,2) , =(﹣2,1) ,则 +2 =()

A.(0,5)

B.(5,﹣1)

C.(﹣1,3)

D.(﹣3,4)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 =(1,2) , =(﹣2,1) , 则 +2 =(1,2)+2(﹣2,1)=(﹣3,4) . 故选:D. 点评: 本题考查向量的坐标运算,考查计算能力,会考常考题型. 3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3 和 a4 成等比数列,则 a1 可以等于() A.﹣4 B.﹣6 C.﹣8 D.﹣10 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 依题意, (a1+2d) =a1?(a1+3d) ,可求得 a1. 解答: 解:∵等差数列{an}的公差 d=2,a1,a3 和 a4 成等比数列, 2 ∴(a1+2d) =a1?(a1+3d) , 2 ∴a1d+4d =0,∴a1=﹣8, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质的简单应用,属于基础题.
2

4.已知 sinα= ,则 cos(α+ A. B. ﹣

)=() C. D.﹣

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解:∵sinα= ,则 cos(α+ )=sinα= ,

故选:C. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,属于基础题. 5.tan75°=() A.2+ B.1+ C. D.2﹣

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用两角和的正切函数,通过特殊角的三角函数值求解即可.

解答: 解:tan75°=tan(45°+30°)=

=

=2+



故选:A. 点评: 本题考查两角和的正切函数,特殊角的三角函数值的求法,考查计算能力. 6.若等比数列前 n 项和为 Sn,且满足 S3=S2+S1,则公比 q 等于() A.1 B.﹣1 C.±1 D.不存在 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 化简条件 S3=S2+S1,得 a3=a1,然后根据等比数列的通项公式进行求解即可. 解答: 解:∵S3=S2+S1, ∴a1+a2+a3=a1+a2+a1, 即 a3=a1, 即 ,

则 q=±1, 故选:C 点评: 本题主要考查等比数列公比的求解, 根据条件进行化简, 结合等比数列的通项公式 是解决本题的关键. 7.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= ,A=30° 则角 B 等 于() A.60°或 120° B.30°或 150° C.60° D.120° 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,把 a,b,sinA 的值代入求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:∵△ABC 中,a=1,b= ,A=30°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = = ,

∵a<b,∴A<B, 则 B=60°或 120°, 故选:A. 点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 8.已知点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,则实数 a 的取值范围为 ()

A.(﹣24,7) B.(﹣∞,﹣24)∪(7,+∞) (﹣∞,﹣7)∪(24,+∞)

C. (﹣7,24)

D.

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 根据点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,可得(﹣9+2﹣a) (12+12﹣a)<0,解出即可. 解答: 解:∵点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧, ∴(﹣9+2﹣a) (12+12﹣a)<0, 化为(a+7) (a﹣24)<0, 解得﹣7<a<24. 故选:C. 点评: 本题考查了线性规划的有关问题、一元二次不等式的解法,属于基础题. 9.在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a9+a10+a11+a12 的值为() A.3 B. 5 C. 7 D.9 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由已知利用等差数列的求和公式可求 a1,d,然后把所求的式子利用基本量表示即 可求解 解答: 解:由等差的求和公式可得,

∴a1=

,d= )=5

∴a9+a10+a11+a12=2(a9+a12)=2(2a1+19d)=2×(

故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式的简单应用,属于基础试题 10.在△ ABC 中,∠A、B、C 对边分别为 a、b、c,A=60°,b=1,这个三角形的面积为 则 a=() A.2 B. C. 2 D. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中,由,∠A=60°,b=1,其面积为 ﹣2b?c?cosA 可以求得 a. 解答: 解:在△ ABC 中,∵∠A=60°,b=1, S△ ABC= ∴c=4, = , ,

,可求得 c,利用余弦定理 a =b +c

2

2

2

∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2b?c?cosA=17﹣2×4×1× =13, 解得 a= ; 故选:D 点评: 本题考查正弦定理的应用,重点考查正弦定理及余弦定理的应用,属于中档题.

2

2

2

11.设 a>0,b>0 且 a+b=1 则 A.2 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 号. ∴ 的最小值是 3+2 . B. 4

的最小值是() C. D.6

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解:∵a>0,b>0 且 a+b=1, =(a+b) =3+ =3+2 ,当且仅当 b= a=2﹣ 取等

故选:C. 点评: 本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题. 12.关于 x 的方程 x +(a+2b)x+3a+b+1=0 的两个实根分别在区间(﹣1,0)和(0,1) 上,则 a+b 的取值范围为() A.(﹣ , ) B.(﹣ , ) C.(﹣ ,﹣ ) D.(﹣ , )
2

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 令 f(x)=x +(a+2b)x+3a+b+1,由题意可得

.画

出不等式组表示的可行域,令目标函数 z=a+b,利用简单的线性规划求得 z 的范围.
2

解答: 解: 令 f(x) =x +(a+2b) x+3a+b+1,由题意可得



画出不等式组表示的可行域,令目标函数 z=a+b,如图所示: 由 由 求得点 A(﹣ , ) , ,求得点 C(﹣ ,﹣ ) .

当直线 z=a+b 经过点 A 时,z=a+b= ;当直线 z=a+b 经过点 C 时,z=a+b=﹣ , 故 z=a+b 的范围为(﹣ , ) , 故选:A.

点评: 本题主要考查二次函数的性质,简单的线性规划,体现了转化、数形结合的数学思 想,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |,则< , >=90°. 考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 为邻边作平行四边形, 由| + |=| ﹣ |, 可得此平行四边形的对角线相等,

此平行四边形为矩形,从而得出结论. 解答: 解: 由两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义可得, | + |=| ﹣ |表示以 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度, 因为| + |=| ﹣ |,所以此平行四边形的对角线相等,此平行四边形为矩形,所以< , > =90°, 故答案为:90°. 点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,属于基础题. 14.在△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,若 a:b:c=7:8:13,则 C=120°. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形.

分析: 根据边长关系设 a=7x,b=8x,c=13x, (x>0) .利用余弦定理求出 cosC 即可. 解答: 解:∵a:b:c=7:8:13, ∴设 a=7x,b=8x,c=13x, (x>0) . 由余弦定理可得:cosC= = = ,

故 C=120°, 故答案为:120° 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,根据比例关系设出边长是解决本题的关键.

15.已知等比数列{an}前 n 项的和为 2 ﹣1(n∈N ) ,则数列{a n}前 n 项的和为

n

+

2



考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先求出数列{an}的首项和公比,进而计算可得结论. n + 解答: 解:∵等比数列{an}前 n 项的和为 2 ﹣1(n∈N ) , 1 ∴a1=2 ﹣1=1 2 a1+a2=2 ﹣1=3, ∴a2=3﹣a1=3﹣1=2, ∴q= =2,
2

从而数列{a n}是以 1 为首项、4 为公比的等比数列, ∴其前 n 项和为: = ,

故答案为:



点评: 本题考查数列的通项,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
+

16.已知数列{an}满足 a1=32,an+1﹣an=n(n∈N ) ,则

取最小值时 n=8.

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过 an+1﹣an=n(n∈N ) ,利用累加法可知 an= n + n+32,进而 利用基本不等式计算即得结论. + 解答: 解:∵an+1﹣an=n(n∈N ) , ∴an﹣an﹣1=n﹣1, an﹣1﹣an﹣2=n﹣2,
+ 2

= n+

+ ,

… a2﹣a1=1, 累加可知:an﹣a1=1+2+…+(n﹣1)= 又∵a1=32, ∴an= +32= n + n+32,
2





= ≥ 2?

= n+

+ ,

∵ n+

=2?4=8, 即 n=8 时取等号,

当且仅当 n=

故答案为:8. 点评: 本题是一道关于数列与不等式的综合题, 考查运算求解能力, 注意解题方法的积累, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17. (Ⅰ)关于 x 的不等式 mx ﹣(m+3)x﹣1<0 的解集为 R,求实数 m 的取值范围; 2 (Ⅱ)关于 x 的不等式 x +ax+b>0 的解集为{x|x>2 或 x<1},求 a,b 的值. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 m=0 时,不等式可化为﹣3x﹣1<0,显然解集不为 R,当 m≠0 时,不等 式 mx ﹣(m+3)x﹣1<0 的解集为 R,则对应的二次函数 y=mx ﹣(m+3)x﹣1 的解集为 R 的图象应开口朝下,且与 x 轴没有交点. (Ⅱ)利用根与系数的关系求 a,b. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=0 时,不等式可化为﹣3x﹣1<0,显然解集不为 R, 2 当 m≠0 时,不等式 mx ﹣(m+3)x﹣1<0 的解集为 R, 2 则对应的二次函数 y=mx ﹣(m+3)x﹣1 的解集为 R 的图象应开口朝下,且与 x 轴没有交 点, 故 ,
2 2

解得﹣9<m<﹣1, 综上所述,实数 m 的取值范围是(﹣9,﹣1) . 2 2 (Ⅱ) :由 x 的不等式 x +ax+b>0 的解集为{x|x>2 或 x<1},得到方程 x +ax+b=0 的两根 为 1,2, ∴1+2=﹣a,1×2=b, 即 a=3,b=2. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与对应的二次函数的关系以及函数的恒成立问 题,体现了分类讨论和转化的数学思想,属于中档题.

18.已知 α∈(

,π) ,sinα+cosα= .

(Ⅰ) 求 sinα﹣cosα 的值; (Ⅱ) 求 sin(α+ )的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数. 专题: 综合题;三角函数的求值. 分析: (Ⅰ) 利用同角三角函数关系,即可求 sinα﹣cosβ 的值; (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,sinα= ,cosα=﹣ ,利用两角和的三角函数关系求 sin(α+ 解答: 解: (Ⅰ)因为 sinα+cosα= ,所以(sinα+cosα) = 由 α∈( ,π) ,所以(sinα﹣cosα) =
2 2

)的值. ,…

,所以 2sinαcosα=﹣

,所以 sinα﹣cosα= .…

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知,sinα= ,cosα=﹣ , 所以 sin(α+ )= sinα+ cosα= ﹣ …

点评: 本题考查同角三角函数关系,两角和的三角函数关系,考查学生的计算能力,比较 基础. 19.某厂生产甲产品每吨需用原料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 3 吨,生产乙产品每吨需用原 料 A 和原料 B 分别为 2 吨和 1 吨.甲、乙产品每吨可获利润分别为 3 千元和 2 千元.现有 12 吨原料 A,8 吨原料 B.问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大. 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 首先由题意利用 x,y 满足的约束条件,以及目标函数,然后画出可行域,找到最 优解求 z 是最值. 解答: 解:计划生产甲产品和乙产品分别为 x,y 吨,则 x,y 满足的约束条件为为

,总利润 z=3x+2y.…

约束条件如图所示,… 恰好在点 A(1,5)处 z 取得最大值,即计划生产甲产品和乙产品分别为 1 吨和 5 吨能使得 总利润最大.…

点评: 本题考查了简单线性规划的应用;根据是明确题意,列出约束条件,根据约束条件 画可行域,求目标函数的最值. 20.已知△ ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,交 BC 于 D,BD=2DC. (Ⅰ)求 AB:AC 的值; (Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠C.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)根据正弦定理建立方程关系即可求 AB:AC 的值; (Ⅱ)根据余弦定理进行求解即可求∠C. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABD 中, 在△ ACD 中, , ,

因为 AD 是∠BAC 的角平分线, 所以 AB:AC=BD:DC=2:1… (Ⅱ)设 AC=b,则 AB=2b, 2 2 2 2 所以 BC =b +4b ﹣2b , 所以 BC= b, 所以 cos∠C=0.∠C=90°. 点评: 本题主要考查解三角形的应用,利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键. 21.已知数列{an}满足 an+1=2an﹣1(n∈N ) ,a1=2. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; + (Ⅱ)求数列{nan}的前 n 项和 Sn(n∈N ) . 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.
+

分析: (Ⅰ)通过对 an+1=2an﹣1(n∈N )变形可知数列{an﹣1}是首项为 1、公比为 2 的 等比数列,进而可得结论; (Ⅱ)通过 an=2 +1 可知 nan=n?2 +n,利用错位相减法计算即得结论. + 解答: (Ⅰ)证明:∵an+1=2an﹣1(n∈N ) , + ∴an+1﹣1=2(an﹣1) (n∈N ) , 又∵a1﹣1=2﹣1=1, ∴数列{an﹣1}是首项为 1、公比为 2 的等比数列, n﹣1 n﹣1 ∴an﹣1=1?2 =2 , n﹣1 ∴an=2 +1; n﹣1 (Ⅱ)解:∵an=2 +1, n﹣1 ∴nan=n?2 +n, 0 1 2 n﹣1 设 Tn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 , 1 2 3 n﹣1 n ∴2Tn=1?2 +2?2 +3?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 , 1 2 3 n﹣1 n 两式相减得:﹣Tn=(1+2 +2 +2 +…+2 )﹣n?2 = ﹣n?2
n n n﹣1 n﹣1

+

=(1﹣n)?2 ﹣1, n ∴Tn=(n﹣1)?2 +1, ∴Sn=Tn+ =(n﹣1)?2 +1+
n



点评: 本题考查等比数列的判定,考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意 解题方法的积累,属于中档题.

22.已知向量 , 满足 =(﹣2sinx, (x)= ? (x∈R) . (Ⅰ)求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)已知数列 an=n f(
2

(cosx+sinx) ) , =(cosx,cosx﹣sinx) ,函数 f



) (n∈N ) ,求{an}的前 2n 项和 S2n.

+

考点: 平面向量数量积的运算;数列的求和;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 等差数列与等比数列;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ) 进行数量积的坐标运算, 再根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式即 可化简得到 ,从而得到 f(x)= 即可得出 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)根据上面求得的 f(x)可求出 ,这便得出
2 2 2 2

,只需解

,从而得到 [(1 ﹣2 )+(3 ﹣4 )+…+(2n﹣1) ﹣
2

(2n) ],可得到(2n﹣1) ﹣(2n) =﹣4n+1,这样即可利用等差数列的求和公式求出(1 2 2 2 2 2 ﹣2 )+(3 ﹣4 )+…+(2n﹣1) ﹣(2n) ,从而得出 S2n. 解答: 解: (Ⅰ) = ; ∴ 令 ∴f(x)的单调增区间为[ (Ⅱ) ∴ ∴
2 2 2 2

2

2

2

2

=

; ,则:kπ ]; ; ; [1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(2n﹣1) +(2n) ];
2 2 2 2



又(2n﹣1) ﹣(2n) =﹣4n+1; ∴ .

点评: 考查向量数量积的坐标运算,二倍角的正余弦公式,两角差的正弦公式,以及正弦 函数的单调增区间,复合函数的单调区间的求法,等差数列的求和公式.


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2014-2015学年辽宁省大连二十中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析

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辽宁省大连二十中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

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