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7.3同角三角函数的基本关系式 (二)


7.3同角三角函数的基本关系式

复习回顾:
1.平方关系: sin ? ? cos α ? 1, sin ? 2.商数关系: tan ? ? cos ?
2 2

y
P(x,y)

r
O

α

任意角三角函数的定义: 任取角α 的终边上一点P(x,y),点P到原点的距离记作r, 那么: sin α ?

x

y r

, cos α ?

x r

, tan α ?
x 2 ? y 2)

y x

(根据勾股定理知:其中 r=|OP| ?

1、证明:
由三角函数的定义,可得 ? sin a ? cos a ? ? ?
2 2

y? ? x? y2 ? x2 ? ?? ? ? r? ?r? r2
2 2 2 2

2

2

因为

r?
2

x ? y ,所以 r ? x ? y
2

所以 sin a ? cos a ? 1,
2

?2、证明:

由三角函数的定义,知 sin a ? cos a
y r x r

y r y ? . ? ? tan a r x x

sin ? 所以 tan ? ? cos ?

同角三角函数关系式的应用: (1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值 时,可以利用这两个三角函数关系式,求出 这个角的其余三角函数值或一些三角式的值。

(例1、例2、例3)

4 例1 已知 sin ? ? ,并且α是第二象限角, 5 求α的余弦值和正切值.
解:∵sin2α+cos2α=1,即cos2α=1-sin2α
4 2 3 ? cos ? ? ± 1 ? sin ? ? ± 1 ? ( ) ? ± , 5 5 又∵α是第二象限角,∴cosα<0
2

3 所以 cos ? ? ? 5

例2.已知 tan ? ? ? 5 ,且α是第四象限角, 求sinα、cosα的值. 解:由题意和三角函数的基本关系式,得
sin 2 ? ? cos2 a ? 1,
sin ? ?? 5 cos ?

?

?

由②得 sin a ? ? 5 cos a,把它代入①整理得 1 2 2 6 cos a ? 1, cos a = 6 因为a是第四象限角,所以

1 6 cos a ? ? 6 6

故 sin a ? ? 5 cosa 6 30 ? ? 5× ?? 6 6

例3. 已知tanα=-3 ,求2sinαcosα的值。 解:由已知可得方程组
sin 2 ? ? cos2 a ? 1,
sin ? ? ?3 cos ?

? ?

由②得 sin a ? ?3 cos a,把它代入①整理得 1 2 2 10 cos a ? 1, cos a = 10 故2 sin a cos a ? 2(?3 cosa) cosa

1 6 3 ? ?6 cos a ? ?6 × ? ? ? ? 10 10 5
2

同角三角函数关系式的应用: (2) 化简三角函数式和证明三角恒等式。

sin ? ? cos ? 例4 化简: tan ? ? 1
sin ? ? cos ? 解:原式= sin ? ?1 cos ? sin ? ? cos ? cos ? ? = ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ?

=cosθ.

注:这儿我们应用的是“切化弦”

例5. 求证:

(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1; (2) tan2α-sin2α=tan2α· sin2α; (3)
cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

证明:(1) 原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) =sin2α-cos2α =sin2α-(1-sin2α) =2sin2α-1=右边. 所以sin4α-cos4α=2sin2α-1

(2) tan2 ? ? sin 2 ? ? tan2 ? ? sin 2 ?

证明:原式右边=tan2α(1-cos2α) =tan2α-tan2αcos2α
sin ? 2 ? tan ? ? ? cos ? 2 cos ? =tan2α-sin2α =左边.
2 2

因此 tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ?
2 2 2 2

cos x 1 ? sin x ( 3) ? 1 ? sin x cos x

cos x ? cos x 证明:(法一) 左边 ? (1 ? sin x)cos x
2

1 ? sin x ? (1 ? sin x) ? cos x
1 ? sin x ? cos x =右边

∴原等式成立.

cos x 1 ? sin x ? (法二) 因为 ? 1 ? sin x cos x 2 2 cos x ? ? 1 ? sin x ? ? ? 1 ? sin x ? cos x cos x ? sin x ? ?0 ? 1 ? sin x ? cos x
2 2

cos x 1 ? sin x 所以 = 1 ? sin x cos x

?

(法三)

? 因为 ?即 ? 所以

(1-sinx)· (1+sinx)=1-sin2x=cos2x cosx· cosx=(1-sinx)· (1+sinx)
cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

练习
? (一)书上24页:4题,5题
? (二)练习册上16页:3题,4题

小结
1、 sin 2 ? ? cos2 a ? 1,
sin ? 2、 tan ? ? cos ? sin ? cos ? ? tan ?

sin ? ? 1 ? cos ?
2 2

cos ? ? 1 ? sin ?
2 2

sin α ? tan α.cos α

技巧

(1) 1换为sin 2 ? ? cos2 ? sin ? (2)切化弦: tan ? ? cos ?

(3)1 ? 2 sin ? cos ? ? (sin ? ? cos ? )

2

(4) (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x

证明等式的常用方法: 1.从等式的一边证得它等于另一边; 2.先证明另外一个等式成立,从而推出需要 证明的等式成立; 3.利用作差(作商)的方法。

作业:
? 书P23

第3题,第4题


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