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广东省广州市第二中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学理试卷


广州市第二中学 2015-2016 学年高二上学期第一次月考试题

数 学(理 科)

2015.10

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。请把答案填在答卷的相应位置。 1. 已知集合 A ? {x | A. (??,1] 2.函数 y

? 2 sin(

x ? 0, x ? R} , B ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? R} ,则 CR ( A ? B) ? ( x ?1
B. (??,1) C. (0,1] D. [0,1]

)

?
2

? 2 x) 是(

) B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2
)

3. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的为 ( (A)若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ∥ ? (C)若 m ∥? , n ∥? ,则 m ∥ n (B)若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n (D)若 m ∥? , m ∥ ? , 则 ? ∥ ?

4. 已知各项均为正数的等比数列 {a n } 中, 3a1 , A.

a ? a13 1 ?( a 3 , 2a 2 成等差数列,则 11 a8 ? a10 2
D. 27

)

?1

B.

3

C. ?1 或 3

5. 如图所示的程序框图的运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是(

)

A. k ? 5

B. k ? 6

C. k ? 7

D. k ? 7 )

6. 已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?2) , c ? (0, 2) ,若 a ? ? b ? c ? ,则实数 x 的值为( A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

7. 函数 f ? x ? ?

sin x 的图象大致为( x2 ? 1



8. 将一个长方体截掉一个小长方体,所得几何体的 俯视图与侧视图如右图所示,则该几何体的正视 图为 ( )

A.

B.

C.

D.

9. 某工厂对一批新产品的长度(单位: mm )进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图, 据此估计这批产品的中位数为( )

20 (A)

25 (B)

22.5 (C)

22.75 (D)

10. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(其中 | ? |? 只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点( )

?
2

) 的图象如图所示, 为了得到 y ? sin ? x 的图象,

? 个单位长度 6 ? (B)向右平移 个单位长度 12 ? (C)向左平移 个单位长度 12 ? (D)向右平移 个单位长度 6
(A)向左平移 11. 若点 A(1, 0) 和点 B(4, 0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

12. 已知函数 f ( x) ? ? A.3

?| lg x | ?1 ? x
2

x?0 x?0

,则方程 f (2 x ? x) ? a (a ? 0) 的根的个数不可能为
2

B.4

C.5

D.6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。请把答案填在答题卷的相应位置。 13. 已知平面向量 a, b 的夹角为

? ?

? ? ? 2? ? , a ? 2, b ? 1 ,则 a ? b ? 3

14. 为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数 分别为 6、12、18。若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数 为

? x ? 0, ? y ? 0, ? 15. 若 x , y 满足约束条件 ? 则 x ? y 的最大值为_______. ? y ? x ? ?1, ? ?3 x ? 4 y ? 12,
16. 在三棱锥 A ? BCD 中,底面 BCD 为边长为 2 的正三角形,顶点 A 在底面 BCD 上的射 影为 ?BCD 的中心, 若 E 为 BC 的中点,且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值为

2 2 ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表面积为 ________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本题满分 10 分) 某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零 件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均 数都为 10 . (1)分别求出 m , n 的值;
2 2 (2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 s甲 和 s乙 ,并由此分析两

组技工的加工水平;
2 2 2 2 注:方差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ] (其中 x 为数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数.)

1 n

18.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 3 , x ? R . (Ⅰ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)已知函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 有交点,求相邻两个交点间的最短距离.

π 3

π 2

19.(本题满分 12 分) 在四棱锥 E ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O, EC ? 底面 ABCD ,F 为 BE 的中点. (1)求证: DE / / 平面 ACF ; (2)若 AB ? 2CE ,在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ? 平面 BDE ?若存在,求出 值;若不存在,请说明理由.

EG 的 EO

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

21.(本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 0 , Sn ? n ? an?1 , n ? N* . (Ⅰ) 求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ ) 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 1 ,点 (Tn?1 ,Tn ) 在直线

x y 1 ? ? 上,若不等式 n ?1 n 2

b b1 b 9 ? 2 ?? ? n ? m ? 对于 n ? N* 恒成立,求实数 m 的最大值. a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 2 ? 2an
22. (本题满分 12 分) 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 x, y ? R 都 满 足 :

f ( x y)? x f( ? y )

y( f. ) x

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并写出证明过程;
n (Ⅱ) 已知 f (2) ? 2 ,设 an = f (2 ) (n∈N*) ,求数列{ an }的通项公式.;

(Ⅲ) 若 bn ?

n?2 1 ? ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .求证: S n ? 1. n ? 1 an

2015-2016 学年高二上学期第一次月考(理科数学)参考答案
一、 选择题. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 A 8 C 9 C 10 D 11 C 12 A

7.A? 函数 f ? x ? 定义域为 R , 又? f ? ? x ? ?

sin ? ? x ?

??x?

2

?1

??

sin x ? ? f ? x ? , ? 函数 f ? x ? 为 x2 ? 1

奇函数.其图像关于原点对称.故排除 C、D,又当 0 ? x ? π 时, sin x ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 可排 除 B,故 A 正确. 10.D 由图可知 可知 ? ?

T 7? ? 2? ? ? ? ? ? T ? ? 则? ? ? 2 ,又 sin(2 ? ? ? ) ? 0 ,结合 | ? |? 4 12 3 ? 3 2

?

3

2x ? , 即 f ( x )? s i( n

?

3

), 为 了 得 到 y ? sin 2 x 的 图 象 , 只 需 把

y ? f ( x )? s i nx (? 2
二、填空题. 题号 答案 13

?

? ? ? ? ?? ? ) n ?2 s? i x ? ?? 的图象上所有点向右平移 个单位长度. 6 3 6 ?? ? ?

14 4

15

16

3

25 7

6?

三、解答题. 17. (本小题满分 10 分) 解析: (1)根据题意可得: x甲 ?

1 (7 ? 8 ? 10 ? 12 ? 10 ? m) ? 10 ,∴ m ? 3 , 5

1 x乙 ? (9 ? n ? 10 ? 11 ? 12) ? 10 ,∴ n ? 8 ; 5
(2)根据题意可得:

1 2 s甲 ? [(7 ? 10)2 ? (8 ? 10) 2 ? (10 ? 10) 2 ? (12 ? 10) 2 ? (13 ? 10) 2 ] ? 5.2 , 5 1 2 s乙 ? [(8 ? 10)2 ? (9 ? 10)2 ? (10 ? 10)2 ? (11 ? 10)2 ? (12 ? 10)2 ] ? 2 , 5
∵ x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,∴甲乙两组的整体水平相当,乙组更稳定一些; 18. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 4cos x( sin x ?
2 2

1 2

3 cos x) ? 3 2

? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ?

3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

π ) 3

因为 0≤x≤ 其中当 x ?

π π π 2π 3 π , 所以 ? ≤2 x ? ≤ . 所以 ? ≤ sin(2 x ? )≤1 , 即 ? 3≤f ( x)≤2 , 2 3 3 3 2 3

5π 时, f ( x) 取到最大值 2;当 x ? 0 时, f ( x) 取到最小值 ? 3 , 12

所以函数 f ( x) 的值域为 [? 3, 2] .

π π 1 ) ? 1, sin(2 x ? ) ? , 3 3 2 π π π 5π π 7π ? 2kπ , 所以 x ? ? kπ 或 x ? ? kπ (k ? Z) , 所以 2 x ? ? ? 2kπ 或 2 x ? ? 3 6 3 6 4 12 π 所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 的两个相邻交点间的最短距离为 . 3
(Ⅱ)依题意,得 2 sin(2 x ? 19. (本小题满分 12 分) 解析: (1)证明:连接 OF 由四边形 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 的中点 又 F 为 BE 的中点,所以 OF / / DE 又 OF ? 平面 ACF , DE ? 平面 ACF .所以 DE / / 平面 ACF (2)解法一:若 CG ? 平面 BDE ,则必有 CG ? OE 于是作 CG ? OE 于点 G 由 EC ? 底面 ABCD ,所以 BD ? EC ,又底面 ABCD 是正方形 所以 BD ? AC ,又 EC ? AC ? C ,所以 BD ? 平面 ACE 而 CG ? 平面 ACE ,所以 CG ? BD ,又 OE ? BD ? O ,所以 CG ? 平面 BDE 又 AB ? 2CE ,所以 CO ?
2 EG 1 AB ? CE .所以 G 为 EO 的中点,所以 ? 2 EO 2

解法二:取 EO 的中点 G ,连接 CG ,在四棱锥 E ? ABCD 中
AB ? 2CE , CO ?

2 AB ? CE ,所以 CG ? EO 2

又由 EC ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD ,所以 EC ? BD 由四边形 ABCD 是正方形可知, AC ? BD 又 AC ? EC ? C .所以 BD ? 平面 ACE , 而 BD ? 平面 BDE 所以,平面 ACE ? 平面 BDE ,且平面 ACE ? 平面 BDE ? EO 因为 CG ? EO , CG ? 平面 ACE ,所以 CG ? 平面 BDE 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面 BDE .由 G 为 EO 的中点,得

EG 1 ? EO 2

20. (本小题满分 12 分)

解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准方程为 (x+2)2+(y-6)2=16, ∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6). 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-5=kx,即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: |-2k-6+5| 3 2 2 =2,得 k=4. k +?-1?

故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), 则 CD⊥PD,即· =0, ∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0,化简得轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.
21. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由 Sn ? n ? an?1 , 得 Sn?1 ? n ? 1 ? an (n ? 2) , 两式相减得 an?1 ? 2an ? 1 , 所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? 2 ), 因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1 ? 1, a2 ? a1 ? 1 ? 1 , a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) 所以 {an ? 1} 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2n?1 ?1 ,因为点 (Tn?1 , Tn ) 在直线

T T x y 1 1 ? ? 上,所以 n ?1 ? n ? , n ?1 n 2 n ?1 n 2

Tn T 1 } 是以 1 ? 1 为首项, 为公差的等差数列, 1 2 n T 1 n( n ? 1) 则 n ? 1 ? ( n ? 1) ,所以 Tn ? , n 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ? ?n, 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2 2
故{ 因为 b1 ? 1 满足该式,所以 bn ? n

所以不等式

b b1 b 9 , ? 2 ??? n ? m ? a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 2 ? 2an

2 3 n 9 ? 2 ? ? n ?1 ? m ? n , 2 2 2 2 2 3 n 1 1 2 3 n 令 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ,则 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? n , 2 2 2 2 2 2 2 2
即为 1 ? 两式相减得

1 1 1 1 1 n n?2 (1 ? ) Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Rn ? 4 ? n ?1 2 9 2n ? 5 ? m 恒成立, 由 Rn ? m ? n 恒成立,即 4 ? 2 2n 2n ? 3 2n ? 5 2n ? 7 ) ? n ?1 , 又 (4 ? n ?1 ) ? (4 ? n 2 2 2 2n ? 5 2 ? 3 ? 5 31 } 单调递减;当 n ? 3 时, 4 ? ? ; 故当 n ? 3 时, {4 ? n 2 23 8 2n ? 5 2 ? 4 ? 5 61 } 单调递增;当 n ? 4 时, 4 ? ? ; 当 n ? 4 时, {4 ? n 2 24 16 2n ? 5 61 61 则4? 的最小值为 ,所以实数 m 的最大值是 16 16 2n
22. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)f(x)是奇函数, 证明如下:? f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1) ,得 f(1)=0. 2 因为 f(1)=f[ (-1) ]=-f(-1)-f(-1)=0 所以 f(-1)=0 ? f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).因此,f(x)为奇函数 ……4 分 (Ⅱ) ? a1 ? f (2) ? 2, 且 f ( xy) ? xf ( y) ? yf ( x) 令 x ? 2, y ? 2
n ?1

? f (2n ) ? f (2 ? 2n?1 ) ? 2 f (2n?1 ) ? 2n?1 f (2) ? 2 f (2n?1 ) ? 2n
即 an ? 2an?1 ? 2n (n ? 2), ?

an an ?1 ?a ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ? n ?1 ? 1? ? n n n ? 2 2 ?2 ?
……8 分 ……10 分

?

an ? 1 ? (n ? 1) ? n ,即 an ? n ? 2n 2n

(Ⅲ)因为 bn ?

n?2 1 n?2 1 1 ? ? ? 2[ n ? ], n n ? 1 an n(n ?1)2 n2 (n ?1)2 n ?1

所以

1 1 Sn ? 2 [ ( 1 ? ? ) 2 1? 2 2 ? 2

1 1 1 1 ( 2? ? ) ?. . . n( ? )] 3 ?2 2 ? 3 2 n? 2n ? (? n ?1 )1 2
…………12 分

1 1 ? 2[ ? ] ?1 2 (n ? 1) ? 2n?1


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