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湖北省武汉市华师一附中2015届高三5月适应性考试理科数学试卷及答案


华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(理)试题

华中师大一附中高三年级数学(理)答案

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中师大一附中高三年级数学(理)答案

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华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(理)试题
华中师大一附中高三年级数学组提供

答案及评分标准
2015.5

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 B 10 C

二、填空题: (本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. ?

1 2

12.

1 2

13.[?1,5]

14. an ? an?1 ? an?2 ;89

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15. 2 3

16. 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分)
17.解: (Ⅰ )由题设得 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ?

? g ( x) ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 1 ? m ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4 4 4 ? ? 3? ? 因为当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , ], 4 4 4 4
所以由已知得 2 x ? 所以 m ? 1 ;

?

?

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4

?

?

4

?

?

2

,即 x ?

?

8

时, g ( x)max ? 2 ? m ?1 ? 2 , ???6 分

3 3? 3 3 ? (Ⅱ)由已知 g ( B) ? 2 sin( B ? ) ? 1 ,因为三角形中 0 ? B ? , 2 2 4 2 4 ? 3 ? 7? 3 ? 3? ? 所以 ? B ? ? ,所以 B ? ? ,即 B ? , 3 4 2 4 4 2 4 4 又因为 a ? c ? 2 ,由余弦定理得:

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c)2 ? 3ac ? (a ? c)2 ?
当且仅当 a ? c ? 1 时等号成立, 又

3(a ? c)2 ? 1, 4

b ? a ? c ? 2 ,?1 ? b ? 2 ,所以 ?ABC 的周长 l ? a ? b ? c ?[3, 4) ,
???12 分

故△ABC 的周长 l 的取值范围是[3, 4) .

18.解:由题意知,这 4 个人中每个人选择 A 题目的概率为 ,选择 B 题目的概率为 记“这 4 个人中恰有 i 人选择 A 题目”为事件 Ai ( i ? 0,1, 2,3, 4 ) ,

1 3

2 , 3

2 i 1 i ? P( Ai ) ? C4 ( ) ? ( ) 4 ?i , 3 3
(Ⅰ )这 4 人中恰有一人选择 B 题目的概率为 P( A3 ) ? C4 ( ) ? ( ) ?
3 3

1 3

2 3

8 81

???4 分

(Ⅱ ) ? 的所有可能取值为 0,3,4,且

16 1 17 0 2 4 4 1 4 P(? ? 0) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ? ? , 3 3 81 81 81 2 2 32 8 40 1 1 3 1 3 P(? ? 3) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? C4 ( ) ? ( ) 3 ? C4 ( ) ?( ) ? ? ? , 3 3 3 3 81 81 81 2 24 2 1 2 P(? ? 4) ? P( A2 ) ? C4 ( ) ? ( )2 ? , 3 3 81
? ? 的分布列是

?

0

3
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4
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华中师大一附中高三年级数学(理)答案

P
所以 E (? ) ? 0 ?

17 81

40 81

24 81
???12 分

17 40 24 8 ? 3? ? 4 ? ? 81 81 81 3 19.解: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 H ,连结 DH 、 HF , 因为在等腰 Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , D、E 分别是边 AB 、 BC 的中点,所以 AD ? BD ? 1 ,
又因为翻折后 AB ? 2 ,所以翻折后 AD ? BD ,且 ?ADB 为等腰直角三角形,所以 DH ? AB , 因为翻折后 DE ? AD , DE ? BD ,且 AD

z
B H y F

???5 分 (Ⅱ)以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系 D ? xyz .则 A(0, 1, 0) , B(0, 0, 1) , E (1, 0, 0) , C (2, 1, 0) ,

BD ? D , A Q ? DE ? 平面 ADB ,因为 DE // AC ,? AC ? 平面 ADB , D ? AC ? DH ,又 AB AC ? A ,? DH ? 平面 ABC , 1 又 HF // AC , DE // AC ,且 HF ? AC ? DE , 2 ? DEFH 是平行四边形,? EF // DH ,? EF ? 平面 ABC ;
1 1 , , ) ,设 Q(0, t , 0) ( 0 ? t ? 1 ) 2 2

C
E

x

F (1,

1 1 则 BQ ? (0, t , ? 1) , EQ ? (?1, t , 0) , AF ? (1, ? , ) , 2 2
? yt ? z ? 0 设平面 BQE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则由 n ? BQ ? 0 ,且 n ? EQ ? 0 ,得 ? , ? ? x ? ty ? 0

取 y ? 1,则 n ? (t ,1, t ) ,

1 1 1 1 要使 AF // 平面 BEQ ,则须 n ? AF ? (t ,1, t ) ? (1, ? , ) ? t ? ? t ? 0 , 2 2 2 2
所以 t ?

1 1 ,即线段 AD 上存在一点 Q (0, , 0) ,使得 AF // 平面 BEQ , ???9 分 3 3

?? y ? z ? 0 设平面 BAE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则由 n1 ? AB ? 0 ,且 n1 ? AE ? 0 ,得 ? 1 1 , ? x1 ? y1 ? 0

1 1 ?1? 3 ? 5 ? 5 33 , 取 y1 ? 1 ,则 n1 ? (1,1,1) ,? cos ? n, n1 ?? 3 33 11 33 ? 3 9
因为二面角 Q ? BE ? A 为锐二面角,所以其余弦值为

5 33 , 33

即线段 AD 上存在一点 Q (点 Q 是线段 AD 上的靠近点 D 的一个三等分点) ,使得 AF // 平面 BEQ ,此时二面 角 Q ? BE ? A 的余弦值为

5 33 33

????12 分
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华中师大一附中高三年级数学(理)答案

20.解: (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 ,所以 3a7 ? ?6 , 即 a7 ? ?2 ,又因为公差 d ? ?1 ,所以 an ? a7 ? (n ? 7)d ? ?2 ? n ? 7 ? 5 ? n ,

Sn ?

n(a1 ? an ) n(4 ? 5 ? n) 9n n2 ? ? ? ; 2 2 2 2

???5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 {an } 的前 4 项为 4,3,2,1,所以等比数列{bn } 的前 3 项为 4,2,1,

1 1 ? bn ? 4 ? ( ) n ?1 ,? anbn ? 4(5 ? n) ? ( ) n ?1 , 2 2 1 1 1 1 ?Tn ? 4[4 ? ( )0 ? 3 ? ( ) ? ? (6 ? n) ? ( ) n ?2 ? (5 ? n) ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 ? Tn ? 4[4 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? (6 ? n) ? ( ) ? (5 ? n) ? ( ) n ] , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? 4[4 ? [( ) ? ( ) 2 ? ? ( ) n ?1 ] ? 4(5 ? n) ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 2[1 ? ( )n ?1 ] 1 1 2 ? 16 ? ? 4(5 ? n) ? ( )n ? 12 ? (2n ? 6) ? ( ) n ?1 1 2 2 1? 2 1 ?Tn ? 24 ? (4n ? 12) ? ( ) n ?1 , 2 4n ? 12 4(n ? 1) ? 12 20 ? 4n ?Tn ? Tn ?1 ? ? ? , 2n ?1 2n ? 2 2n ?1

???8 分

?T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? T5 ,且 T5 ? T6 ?
* 所以 n ? N 时, (Tn ) max ? T4 ? T5 ?

, ???10 分

49 , 2

9n n 2 ? ,所以 n ? N * 时, (Sn )max ? S4 ? S5 ? 10 , 又因为 Sn ? 2 2
因为存在 m ? N ,使得对任意 n ? N ,总有 Sn ? Tm ? ? 成立,
* *

所以 (Sn )max ? (Tm )max ? ? ,所以 10 ? 所以实数 ? 的取值范围为 ( ?

49 ?? , 2
???12 分

29 , ?? ) 2

21.解(Ⅰ)由题意,点 F 1 为 ( ?1, 0) ,设 P(t , t ) ,则 k PF1 ?

t , t ?1

又 k PF1 ? ( x )? |x ?t ? (

1 2 x

) | x ?t ?

1 2 t

,所以

t 1 ,解得 t ? 1 ,即 P(1,1) , ? t ?1 2 t
5 ?1 , 2

设椭圆 M 的右焦点为 F2 (1, 0) ,则 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 |? 5 ? 1 ,即 a ?

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又半焦距 c ? 1 ,所以椭圆 M 的离心率为 e ?

c 5 ?1 ; ? a 2

???5 分

(Ⅱ)因为椭圆 M 的半焦距 c ? 1 ,所以 a 2 ? b2 ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? a 2 b 2 消去 x 得: (a2 ? b2 m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 (1 ? a2 ) ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
? y1 ? y2 ? 2b2 m a 2 ? b 2 m2 y1 y2 ? b2 (1 ? a 2 ) b4 , ? ? a 2 ? b 2 m2 a 2 ? b2m2
??? 7 分

连结 OB ,由 | OA |?| OC | 知 S?ABC ? 2S?AOB ,

? S?ABC ?| OF1 | ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?
令 m ?1 ? t ,则 m2 ? t 2 ? 1(t ? 1) ,? S ?ABC ?
2

2ab2 m2 ? 1 a 2 ? b 2 m2

??? 9 分

2ab 2t 2ab 2t 2ab 2 ? ? , a 2 ? b 2 (t 2 ? 1) 1 ? b 2t 2 b 2t ? 1 t

①若

1 1 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 ,则 b 2t ? ? 2b ? 2 a 2 ? 1 ,当且仅当 t ? , b b t
??? 10 分

2 ? a2 2 即m?? 时, S (a ) ? ( S ?ABC ) max ? a a ? 1 ; 2 a ?1
②若 0 ?

1 b 2t 2 ? 1 1 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,设 f (t ) ? b 2t ? ,则 t ? 1 时, f ?(t ) ? b 2 ? 2 ? ?0, b t t t2

所以 f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 [ f (t )]min ? f (1) ? b2 ? 1 ? a2 ,当且仅当 t ? 1 , 即 m ? 0 时, S (a ) ? ( S ?ABC )max

2(a 2 ? 1) ? ; a

??? 12 分

? a a 2 ? 1,1 ? a ? 2 ? 综上可知: S ( a ) ? ? 2( a 2 ? 1) ???13 分 ,a ? 2 ? a ? x x ? ln(1 ? x ) ? ( x ? 0) , 22.解: (Ⅰ)证明:令 h( x) ? f ( x) ? 1? x 1? x
则 x ? 0 时, h?( x) ?

1 1 x ? ? ? 0, 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x)2

所以 h( x) 在 (0, ??) 上是增函数,所以 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,

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所以 x ? 0 时, ln(1 ? x ) ? (Ⅱ)令 g ( x) ?

x x ,即 ? f ( x) ; 1? x 1? x

???4 分

ln(1 ? x ) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) , ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? x x 2 (1 ? x)

由(Ⅰ)知 x ? 0 时, x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 0 , 所以 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,

2014 ? 2013 ,?

ln(1 ? 2014) ln(1 ? 2013) , ? 2014 2013
???9 分

即 2013ln 2015 ? 2014 ln 2014 ,所以 20152013 ? 20142014 ; (Ⅲ)证明:由 x1 ? x2 ?

? xn ? 1 及柯西不等式得:

x12 x2 2 ( ? ? 1 ? x1 1 ? x2 x12 x22 ?( ? ? 1 ? x1 1 ? x2
?(

xn 2 ? )(1 ? n) 1 ? xn xn 2 ? )[(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? 1 ? xn
?

? (1 ? xn )]

x12 x2 2 ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 1 ? x2

xn 2 ? 1 ? xn ) 2 1 ? xn

? ( x1 ? x2 ?
所以

? xn )2 ? 1 ,

x12 x2 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x1 x12 x2 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x1

?

xn 2 1 , ? 1 ? xn 1 ? n xn 2 2015 1 2015 ) ?( ) , 1 ? xn 1? n
ln(1 ? n) ln(1 ? m) ? ,因而 (1 ? n)m ? (1 ? m)n , n m

所以 (

?

又由(Ⅱ)知 n ? m ? 0 时,

所以 n ? 2015 时, (1 ? n)2015 ? (1 ? 2015)n ,即 (1 ? n)2015 ? 2016n , 所以 (

1 2015 1 n ) ?( ) , 1? n 2016

所以 (

x12 x2 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2

?

xn 2 2015 1 n ) ?( ) . 1 ? xn 2016

???14 分

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