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2012-2013学年广州市铁一中学高二文科数学期中考试题(必修1-5+选修1-1第一章、第二章)


广州市铁一中学 2012 学年第一学期期中高二数学(文科)试题 第 I 卷(共 50 分)
参考公式:球体的表面积公式 S ? 4? r ,其中 r 为球体的半径
2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1 已知 A ? {1,2,4,6}, B ? {3

,4,5}, U ? {1,2,3,4,5,6} 求 Cu A ? B ? (

)

A {1,2,3,4,5,6}

B {1,2,4,6}

C、 {2,4,5}


D、 {3,4,5}

2. 函数 y ? 2sin(2 x ?

?
2

)是 (

A.周期 ? 的奇函数 B.周期 ? 的偶函数

C.周期 2? 的奇函数
?

D.周期 2? 的偶函数

3.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? A . ?? B. ?? C.1 D.3 )

4.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率为(

1 C .-4 D.-14 4 ? ? ? ? 5.已知向量 a ? ( x,1) , b ? (3,6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为( ) 1 1 A. B. ? 2 C. 2 D. ? 2 2
A.4 B. 6.已知 p : 直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行, q : a ? ?1 ,则 p 是 q 的 A.充要条件 C.必要不充分条件 7. 已知 F1、F2 是椭圆 等于( A. 16 ) B. 11 C. 8 D. 3
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B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1| 16 9

[来源:Z§xx§k.Com]

8. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ) A. 32? C. 12? B. 16? D. 8?
俯视图

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

9.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a 与 b 的“向量积” a ? b 是一个向量,它的模 a ? b ? a ? b ? sin ? , :
第 1 页(共 9 页)

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

若 a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3 ,则 a ? b ? ( ) A. 3 B.2 C. 2 3 D.4

?

?

?

?

?

?

? ?

10.已知函数: f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f (x) 满足条件: ? 事件为 A,则事件 A 发生的概率为( A. ) C.

? f (2) ? 12 为 ? f (?2) ? 4

1 4

B.

5 8

3 8

D.

1 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11. 命 题 “ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ” 的 否
[来源:学科网 ZXXK]

定 是
频率 组距 0.0005

_________________ 12.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万人,并根据所得数据 画出了样本频率分布直方图(如图) .为了深入调查,要从 这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽出 100 人, 则月收入
3000)(元)段应抽出 在[2500,
0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

人.

13.函数 f ( x) ? lg x ? 4 ? x 的定义域为
2
0

1000

1500

2000 2500 3000 3500 4000

月收入(元)

? D ? 14. ABC 中,AB ? 2 2 , BC ? 5 ,A ? 45 , B 为 ?ABC 中最大角, 为 AC 上一点,AD ?
则 BD ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)

1 DC , 2

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
已知函数

?
6

) ?1


(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期: 16. (本小题满分 12 分)

? ? ?? ?? , ? (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。

某校高三级要从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表参加学校的演讲比赛. (1)求男生 a 被选中的概率; (2)求男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的概率.

17. (本小题满分14分) 如图 5,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,
第 2 页(共 9 页)

B

E A

C

D

△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; 18. (本小题满分 14 分)

学科网

如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的两部 分,D 在 AB 上,E 在 AC 上.
学科网

(1)设 AD= x ,DE= y ,求 y 关于 x 的函数关系式;

A
学科网 学科网 学科网

(2)如果 DE 是灌溉水管,我们希望它最短,DE 的位置应在哪 里?请予证明. 19. (本小题满分14分)

x D B y

E

1 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an ?1 ? 2 ? , n ? 1,2,3,4,? . an
(1)求证:数列 ?
n

C

? 1 ? ? 为等差数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ? 1 ?
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(3)令 Tn ?

?
i ?1

3 ai ?1 ,证明: Tn ? n ? . 4 ai

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 M :( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? r 2 及定点 N (1, 0) ,点 P 是圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP =2 NQ ,

??? ?

????

? ???? ??? NP GQ · = 0 . (1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程;
(2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r ,使得直线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. 附加题 (八班学生做, 本小题满分 20 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f (x) , 若同时满足下列条件: f (x) ① 在 D 内单调递增或单调递减;②存在区间[ a, b ] ? D ,使 f (x) 在[ a, b ]上的值域为[ a, b ];那么把

y ? f (x) ( x ? D )叫闭函数。
(Ⅰ)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间[ a, b ];
3

(Ⅱ)判断函数 f ( x) ? 数,求实数 k 的取值范围。

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由(Ⅲ)若 y ? k ? x ? 2 是闭函 4 x
广州市铁一中学 2012 学年高二期中考 数学试题(文科)答案
第 3 页(共 9 页)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题号 答案 题目要求的。 ) 2 3 B A

1 D

4 A

5 B

6 A

7 B

8 C

9 B

10 D

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 12、 25 13、 (0,2 ] ;14、

5 ;

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 12 分)

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
解: (Ⅰ)因为

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f (x) 的最小正周期为 ?

?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

2x ?
于是,当

?
6

?

?
2

, 即x ?

?
6 时, f (x) 取得最大值 2;

2x ?


?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.

?

16. (本题满分 12 分) 解:从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表的可能选法是: a, b, c ; a, b, d ; a, b, e ;

a, c, d ; a , c , e ; a, d , e ; b, c, e ; b, c, d ; b, d , e ; c, d , e 共10种.
(1)男生 a 被选中的的情况共有6种,于是男生 a 被选中的概率为

6 3 ? . 10 5 9 . 10

(2) 男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的情况共有9种, 故男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的概率为 17. (本题满分 14 分)
第 4 页(共 9 页)

证明:(1) 证:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中 点, ∴ GF // DE 且 GF ?

1 DE . 2

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE ,∴ GF ? AB . 2

???? 4 分

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , ???? 9 分 ???? 7 分

AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF .
又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE .???? 11 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . 18. (本题满分 14 分)
2 2 2 2 2 2 解: (1)在△ADE 中, y = x +AE -2 x ·AE·cos60° ? y = x +AE - x ·AE,①

????14 分

3 2 1 a = x ·AE·sin60° ? x ·AE=2.② 2 2 2 2 4 2 2 2 ②代入①得 y = x + ( ) -2( y >0), ∴ y = x ? 2 ? 2 x x 2 又 x ≤2,若 x ? 1 , AE ? ? 2 ,矛盾,所以 x ≥ 1 x 4 2 ∴ y = x ? 2 ? 2 (1≤ x ≤2). x 4 2 (2)如果 DE 是水管 y = x ? 2 ? 2 ≥ 2 ? 2 ? 2 ? 2 , x 4 2 当且仅当 x = 2 ,即 x = 2 时“=”成立, x 故 DE∥ BC,且 DE= 2 .
又 S△ADE= S△ABC=
第 5 页(共 9 页)

1 2

19. (本题满分 14 分) 证明:? an ?1 ? 2 ?

1 , an

?

1 an ?1 ? 1

?

1 1 1 ? = 1 an ? 1 2 ? ? 1 an ? 1 an

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=

an a ?1 1 ? ?1. = n an ? 1 an ? 1 an ? 1

??????3 分

数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列. ? an ? 1 ?

??????4 分

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: 由(1)得, ? 首项为 ?

? 1 ? ? 为等差数列,公差为 1, ? an ? 1 ?
??????6 分

1 ? 1. 2 ?1

1 ? 1 ? (n ? 1) ? n . an ? 1
1 n ?1 ? .???9 分 n n

??????8 分

? an ? 1 ?

(3)令 Tn ?

?
i ?1

n

3 ai ?1 ,证明: Tn ? n ? . 4 ai

? an ?1 ?

n?2 , ???10 分 n ?1
???11 分

?

an ?1 n(n ? 2) 1 ? ? 1? . 2 (n ? 1)2 an (n ? 1)

1 1 1 1 ???12 分 ? 2 ? 2 ? ...... ? ]. 2 2 3 4 (n ? 1)2 1 1 1 1 3 1 3 当 n ? 2 时, Tn ? n ? [ 2 ? ? ? ...... ? ]?n? ? ?n? . 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 4 n ?1 4 ?Tn ? n ? [
????13 分 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? 综上所述: Tn ? n ?

3 1 3 ? ? 1? . 2 4 2 4

3 . ???14 分 4
第 6 页(共 9 页)

20. (本题满分 14 分)

解: (1)? NP ? 2 NQ,?点 Q 为 PN 的中点, 又? GQ ? NP ? 0 ,

??? ?

????

??? ??? ? ?

? GQ ? PN 或 G 点与 Q 点重合.∴| PG |?| GN | .
又 | GM | ? | GN |?| GM | ? | GP |?| PM |? 4. ∴ G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 点 且 a ? 2, c ? 1, ∴b ?

????2 分

a ?c ?
2 2

3,? G 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1. ????6 分 4 3
??7 分

(2)解:不存在这样一组正实数,下面证明:

由题意,若存在这样的一组正实数,当直线 MN 的斜率存在时, 设之为 k ,故直线 MN 的方程为:

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y ? k ( x ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 D( x0 , y0 ) ,

? x12 y12 ? ?1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4 3 ? ? 0 .????9 分 则? ,两式相减得: 1 2 2 4 3 ? x2 ? y2 ? 1 ? 4 3 ?
注意到

y1 ? y2 1 ?? , x1 ? x2 k

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 ? 且? ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2




3x0 1 ? , 4 y0 k



又点 D 在直线 MN 上,? y0 ? k ( x0 ? 1) , 代入② 式得: x0 ? 4 . 因为弦 AB 的中点 D 在⑴ 所给椭圆 C 内,故 ?2 ? x0 ? 2 ,

第 7 页(共 9 页)

这与 x0 ? 4 矛盾,所以所求这组正实数不存在.

????13 分

当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? 1 , 则此时 y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2 , 代入① 式得 x1 ? x2 ? 0 ,这与 A, B 是不同两点矛盾. 综上,所求的这组正实数不存在. 附加题: 班学生做,满分 20 分) (8 解: (Ⅰ)由题意, y ? ? x 3 在[ a, b ]上递减,
[来源:Z_xx_k.Com]

???14 分

?b ? ?a 3 ? 3 则 ?a ? ?b ?b ? a ?
解得 ?

?a ? ?1 ????3 分 ?b ? 1
?????????4 分

所以,所求的区间为[-1,1] (Ⅱ)判断函数 f ( x) ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x 7 76 ? f ( x2 ) , 解:取 x1 ? 1, x2 ? 10, 则 f ( x1 ) ? ? 4 10
即 f (x) 不是 (0,??) 上的减函数。????6 分

取 x1 ?

1 1 , x2 ? , 10 100 3 3 f ( x1 ) ? ? 10 ? ? 100 ? f ( x 2 ) , 40 400
即 f (x) 不是 (0,??) 上的增函数

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????8 分

所 以 , 函 数 在 定 义 域 内 不 单 调 递 增 或 单 调 递 减 , 从 而 该 函 数 不 是 闭 函 数 。 ---------9 分 (Ⅲ)若 y ? k ? 解:若 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围。 x ? 2 是闭函数,则存在区间[ a, b ],

[来源:Zxxk.Com]

在区间[ a, b ]上,函数 f (x) 的值域为[ a, b ],

第 8 页(共 9 页)

?a ? k ? a ? 2 ? ? 即 ?b ? k ? b ? 2 ,? a, b 为方程 ?

x ? k ? x ? 2 的两个实数根,????10 分
即方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0( x ? ?2, x ? k ) 有两个不等的实根。

? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f ( ?2) ? 0 , ? 2k ? 1 ? ? ?2 ? 2
解得 ?

9 ? k ? ?2 4

????12 分

? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f ( k ) ? 0 ,无解 ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
综上所述, k ? ( ?

??13 分

9 , ?2] 4

-----------14 分

第 9 页(共 9 页)


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