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高中数学课件 两条直线的交点坐标、两点间的距离


3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 2.探求并掌握两点间的距离公式.

1.几何元素及代数表示
几何元素及关系 代数表示

点P
直线l

坐标P(x,y)

>方程Ax+By+C=0 坐标(x0,y0)满足方程 Ax0+By0+C=0 即___________ 坐标(x0,y0)满足方程组
?A1x 0 ? B1y0 ? C1 ? 0, ? 即__________________ ? A 2 x 0 ? B2 y 0 ? C 2 ? 0

点P(x0,y0)在直线l上

点P(x0,y0)是l1,l2的交点

2.两条直线的交点问题

方程组 ?

?A1x ? B1y ? C1 ? 0, 的解 ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

一组

无数组

无解 _____

两条直线l1,l2的公共点 直线l1,l2的位置关系

一个 相交 _____

无数个 重合 _____

零个 平行 _____

3.两点间的距离公式 (1)条件:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(x 2 ? x1 ) ? (y2 ? y1 ) (2)结论:|P1P2|=___________________.
2 2

x 2 ? y2 (3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=________.

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标就是方程 组? ?
A1x ? B1y ? C1 ? 0, ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 (2)若方程组 ?A1x ? B1y ? C1 ? 0, 无解,则两直线没有交点,两 ? ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

的实数解.(

)

直线平行.(

)

(3)直线x=2与y=3没有交点.(

)

(4)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公

式.(

)

提示:(1)正确.根据直线交点坐标的含义.故此说法是正确的.
(2)正确.方程组无解,两直线没有交点,两直线平行.故这种 说法是正确的. (3)错误.直线x=2与y=3交点为(2,3).故这种说法是错误的. (4)正确.两点间的距离公式适用于平面内的任意两点求距离. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线

上).
(1)直线x-y=0与直线x+y+2=0的交点坐标是 .

(2)直线y=x+2与直线y=-x+2a的交点在x轴上,则a=
(3)A(a,2a),B(1,2)两点的距离为 5 ,则a= .

.

【解析】(1)解方程组 ? x ? y ? 0, 得 ? x ? ?1, ? ?
? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? ?1.

所以交点坐标为(-1,-1). 答案:(-1,-1) (2)解方程组 ? ?
? x ? a ? 1, 得? ? y ? ? x ? 2a, ? y ? a ? 1. y ? x ? 2,

由题意得a+1=0,所以a=-1. 答案:-1

(3)由 (a ? 1)2 ? (2a ? 2) 2 ? 5,得a=0或a=2.
答案:0或2

一、两条直线的交点坐标
探究:根据方程组 ? ?
A1x ? B1y ? C1 ? 0, ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

的解与两条直线交点的

关系,思考下列问题.

(1)思考如何解这个方程组?
?A1x ? B1y ? C1 ? 0, ① 提示:采用消元的方法来解方程组 ? ?A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0, ②

①×B2-②×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1,
当A1B2-A2B1≠0时,方程组有唯一解
B C ? B2 C1 ? x? 1 2 , ? A1B2 ? A 2 B1 ? ? ? y ? C1A 2 ? C2 A1 . ? A1B2 ? A 2 B1 ?

当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0,方程组无解;
当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0,方程组有无数多解.

(2)为什么说求两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公
共解?

提示:两条直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点
坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解;反之,如果这两

个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为
坐标的点,必是直线l1和l2的交点.因此求这两条直线的交点, 就是求这两个直线方程的公共解.

【探究提升】1.对求两条直线交点坐标的两点说明 (1)求解直线的交点坐标时,要注意无解和有无数多解的特殊 情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系. (2)若探讨直线的位置关系,最后要把解的情况还原为几何问 题即直线的位置关系.

2.方程组的解与两条直线的位置关系的联系 (1)若已知两条直线的方程,可通过解方程组利用方程组解 的个数研究两条直线的位置关系. (2)若方程组有唯一解,两直线相交;方程组有无穷多解,两 直线重合;方程组无解,两直线平行.

二、两点间的距离公式 探究1:在直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),结合 图形探究下列问题:

(1)过P1,P2分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M1(x1,0), M2(x2,0),N1(0,y1),N2(0,y2),直线P1N1与P2M2相交于点Q,|P1Q|, |QP2|分别是多少? 提示:因为|P1Q|=|M1M2|,|QP2|=|N1N2|, 所以|P1Q|=|x2-x1|,|QP2|=|y2-y1|.

(2)如何推导出公式|P1P2|= (x 2 ? x1 )2 ? (y2 ? y1 )2 的? 提示:在构造的直角△P1QP2中,利用勾股定理,得到

|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,由此得到两点间的距离公式
|P1P2|= (x 2 ? x1 )2 ? (y2 ? y1 )2 .

探究2:观察两点间的距离公式|P1P2|= (x 2 ? x1 )2 ? (y2 ? y1 )2 (其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)),并思考下列问题: (1)公式中x1与x2,y1与y2的顺序是否可以互换? 提示:因为公式中含有的是(x2-x1)2与(y2-y1)2的和,故可以交

换顺序.

(2)式子 x 2 ? y 2 的几何意义是什么? 提示: x 2 ? y2 ? (x ? 0)2 ? (y ? 0) 2 式子=表示平面上的点(x,y)

到原点的距离.
(3)当P1P2垂直于坐标轴时,公式的形式是怎样的?

提示:当P1P2垂直于y轴时,|P1P2|=|x1-x2|;当P1P2垂直于x轴
时,|P1P2|=|y1-y2|.

【拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值 域 对平面上两点间距离公式的直接运用,要注意公式的形式,关

于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题,如果直接代入两
点间距离公式,由于有两个根式,所以求解非常烦琐,故经常采

用对称方法转化后,再由两点间距离求解.
例如:求函数 y ? x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域.

【解析】原式可变形为
1 3 1 3 y ? (x ? ) 2 ? ? (x ? ) 2 ? 2 4 2 4 1 3 2 1 3 2 ? (x ? ) 2 ? (0 ? ) ? (x ? ) 2 ? (0 ? ) . 2 2 2 2

它表示动点P(x,0)到 A( 1 , 3 )和B(? 1 , 3 ) 的距离之差,
2 2 2 2

如图所示:

即y=PA-PB,由于|PA-PB|<AB=1, 所以|y|<1,即-1<y<1,所以函数的值域为(-1,1).

【探究提升】对两点间距离公式的两点说明 (1)求两点间的距离时,可直接把坐标代入相应公式,需注意公 式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和,切不可 把横纵坐标混用. (2)两点间的距离公式除求距离外,还可以求参数的值,求解时 直接利用题设建立参数的方程,然后求解得参数值便可.

类型 一

求两条直线的交点坐标

通过解答下列与求两条直线交点问题有关的题目,试总结 求两条直线的交点坐标问题的策略及注意事项. 1.(2013·烟台高一检测)在平面直角坐标系xOy中,若三条直

线2x+y-5=0,x-y-1=0和ax+y-3=0相交于一点,则实数a的值
为 .

2.已知直线l1:nx-y=n-1,l2:ny-x=2n.判断两条直线的位置
关系;如果相交,求出交点坐标.

【解题指南】1.可先求直线2x+y-5=0与x-y-1=0的交点坐标,

然后将该交点坐标代入直线方程ax+y-3=0即可求出a的值.
2.对方程组进行消元,根据情况分类讨论.

【解析】1.解方程组 ?2x ? y ? 5 ? 0, 得 ? x ? 2, ? ?
?x ? y ? 1 ? 0 ? y ? 1.

将x=2,y=1代入ax+y-3=0,得2a+1-3=0,解得a=1.
答案:1

2.解方程组 ?nx ? y ? n ? 1, 消去y得(n2-1)x=n2+n. ?
?ny ? x ? 2n,

当n=1时,方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. 当n=-1时,方程组有无数解,所以两直线有无数个公共点,l1与 l2重合.当n≠1且n≠-1时,方程组有唯一解,得到 x ?
y? 2n ? 1 , l1与l2相交.所以当n=1时,l1∥l2;当n=-1时,l1与l2重合; n ?1 n 2n ? 1 当n≠1且n≠-1时,l1与l2相交,交点是 ( , ). n ?1 n ?1 n , n ?1

【技法点拨】求两直线的交点坐标问题的策略及注意事项 (1)策略:①解方程的重要思想就是消元,先消去一个变量,代 入任意一个方程能解出另一个变量的值. ②最后把方程解的情况还原为直线的位置关系. (2)注意事项:解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.

【变式训练】已知直线l1:Ax+3y+C=0,l2:2x-3y+4=0,若l1,l2 的交点在y轴上,则C的值为( A.4 C.4或-4 ) B.-4 D.与A的取值有关

?(4 ? C) ? x? , ?Ax ? 3y ? C ? 0, ? ? A?2 【解析】选B.由 ? 得? ?2x ? 3y ? 4 ? 0, ? y ? ? 2 ?(4 ? C) ? 4 , ? 3 A?2 3 ?

因为直线l1,l2的交点在y轴上,所以 x ? ?(4 ? C) ? 0, 即C=-4.
A?2

类型 二

过定点的直线系方程

尝试完成下列题目,试归纳含有一个参数的直线方程过定 点问题的解法技巧. 1.(2013·重庆高一检测)对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0 必经过的定点是( A.(1,0) ) C.(6,-3) D.( 6 , ? 3 )
1? m m

B.(0,-3)

2.设直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点为P,则过点P和
原点的直线方程为( )

A.19x-9y=0
C.19x-3y=0

B.9x+19y=0
D.3x+19y=0

3.若p,q满足p-2q=1,直线px+3y+q=0必过一个定点,该定点坐
标为 .

【解题指南】1.整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式, 解方程组得定点坐标.

2.利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可.
3.化成关于一个参数的方程,再求定点.

【解析】1.选C.直线方程(m-1)x+2my+6=0可化为: -x+6+m(2y+x)=0.因此,该直线恒过直线-x+6=0与x+2y=0的交 点. 由? ?
? x ? 6, 故选C. 得? ? x ? 2y ? 0, ? y ? ?3, ? x ? 6 ? 0,

2.选D.方法一:求交点 P(? 19 , 3 ), 又O(0,0),
7 7

写出方程为3x+19y=0. 方法二:过两直线l1:x-3y+4=0及l2:2x+y+5=0的交点的直线

系方程可以写为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0(不包括直线l2),把
O(0,0)代入过P点的直线系方程x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,得
4 4 ? ? ? ,故所求直线方程为:x-3y+4- (2x+y+5)=0,即 5 5

3x+19y=0.

3.因为p=2q+1代入整理:(2x+1)q+3y+x=0对q为一切实数恒成

立,即2x+1=0,且3y+x=0,所以x= ? 1 , y ? 1 .
2 6

答案:? 1 , 1 ) (
2 6

【互动探究】本题2条件不变,求过点P和点(1,1)的直线方 程,结果如何? 【解析】设过P点的直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,把 点(1,1)代入,解得 ? ? ? 1 ,故所求方程为:
4 1 即2x-13y+11=0. x ? 3y ? 4 ? (2x ? y ? 5) ? 0, 4

【技法点拨】含有一个参数的直线方程过定点问题的三种解 法 (1)若含有一个参数的二元一次方程能整理为A1x+B1y+C1+ λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,则说明了它表示的直线必过
A x ? B1y ? C1 ? 0, 定点,其定点可由方程组 ? 1 解得. ? ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

(2)若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定 点(x0,y0). (3)因方程对参数的任意取值,所得直线都过定点,所以可取参 数的两个特殊值,解方程组可得定点坐标.

【拓展延伸】常见的直线系 (1)与直线L:Ax+By+C=0平行的直线系方程为:Ax+By+m=0(其 中m≠C,m为待定系数). (2)与直线L:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=0(m 为待定系数). (3)过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.

(4)若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交于 M(x0,y0),则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示过 l1与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2),其中λ为待定系数.

类型 三

两点间的距离公式

试着解答下列与两点间距离有关的题目,并总结两点间距

离的求法.
1.已知A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b的值为( A.-3 B.3 C.-3或5 ) D.-1或-3

2.若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0),底边BC的长为4,BC边的 中点为D(5,4),求等腰△ABC的腰长.

【解题指南】1.直接利用两点间距离公式即可求出b的值.

2.先用两点间距离公式求等腰三角形的高AD,然后借助勾股
定理求腰长.

【解析】1.选C.因为|AB|= (?1 ? 2)2 ? (b ? 1) 2 ? 5, 所以9+(b-1)2=25, 所以b=5或b=-3. 2.因为|AD| ? (5 ? 3)2 ? (4 ? 0)2 ? 2 5. 在Rt△ABD中,由勾股定理得 |AB|= | AD |2 ? | BD |2 ? 20 ? 4 ? 2 6. 所以等腰△ABC的腰长为 2 6 .

【技法点拨】
1.两点间距离的求法

(1)当直线和坐标轴垂直时,可以用两点间距离公式的特殊形
式,如A(x,y1),B(x,y2),则|AB|=|y1-y2|. (2)两点间距离公式对任意两点都成立,解题过程中注意恰当 设点,确定两点坐标即可代入公式求距离. 2.利用两点间距离求参数的方法 已知距离求参数是最常见的距离公式的应用,一般是通过距离 公式列出方程,解方程求参数.

【变式训练】已知A(2,2),B(5,-2),点P在x轴上且|PA|=|PB|, 试求|AB|+|PA|的值. 【解析】设P(x,0),依题意有 (x ? 2)2 ? 4 ? (x ? 5) 2 ? 4, 故x= 7 ,所以P( 7 ,0).
2 2

所以|AB|+|PA|=
? 5? 5 ? 7.5. 2

7 (5 ? 2) 2 ? (?2 ? 2) 2 ? ( ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 2

【拓展类型】两点间距离公式在几何证明中的应用 尝试解答下列与两点间距离公式证明几何问题有关的题

目,总结用解析法证明几何问题的三个步骤.
1.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用解析法

证明:AE=CD.
2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

【解题指南】建立适当的平面直角坐标系,写出各个点的坐标, 再利用两点间的距离公式求解即可.

【解析】1.如图所示,以B为坐标原点,取AC所在的直线为x 轴,以垂直于AC且经过B点的直线为y轴,建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c, 则 A(?a,,E( c , 3c ),C(c,,D(? a , 3a ), 0) 0)
2 2 2 2

2 则 AE ? [ c ? (?a)]? ( 3c ? 0) 2

2

2

c 2 3c 2 ? a ? ac ? ? ? a 2 ? ac ? c 2 , 4 4
2

CD ? (?

a 3a ? c) 2 ? ( ? 0) 2 2 2

a2 3a 2 2 ? ? ac ? c ? ? a 2 ? ac ? c 2 , 4 4

所以AE=CD.

2.已知:四边形ABCD为平行四边形.

求证:AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2.
证明:如图,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,垂直 于AB且过A点的直线为y轴,建立平面直角坐标系,有A(0,0).

令B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为
(a+b,c).因为AB2=a2,CD2=a2,AD2=b2+c2,BC2=b2+c2,

AC2=(a+b)2+c2,BD2=(b-a)2+c2,
所以AB2+CD2+AD2+BC2=2(a2+b2+c2), AC2+BD2=2(a2+b2+c2). 所以AB2+CD2+AD2+BC2=AC2+BD2. 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

【技法点拨】用解析法解决几何问题的三个步骤

1.已知A(2,-1),B(3,-1),则|AB|=( A.1 B.2 C.3

) D. 2

【解析】选A.|AB|=|3-2|=1.

2.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点坐标是(

)

A.(-2,1)

B.(-3,2)

C.(2,-1)

D.(3,-2)

【解析】选C.解方程组 ?3x ? 5y ? 1 ? 0, 得 ? x ? 2, 故两直线的交点为(2,-1).

? ? 4x ? 3y ? 5 ? 0, ? y ? ?1 , ?

3.直线2x+λ (3y+2)=0过定点________.
? x ? 0, ?2x ? 0, ? 【解析】由 得? ? 2 3y ? 2 ? 0, ? y ? ? , ? 3 ? 所以该直线过定点(0,- 2 ). 3 答案:(0,- 2 ) 3

4.已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的 坐标为__________________. 【解析】设P(x,0),因为|PA|= (x ? 3) 2 ? (0 ? 6) 2 ? 10. 所以(x-3)2+36=100, 所以x=11或-5. 所以P(11,0)或P(-5,0). 答案:(11,0)或(-5,0)

5.已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短

时,点B的坐标是__________.
【解析】定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最

短时,就是直线AB和直线x+y=0垂直时,此时AB的方程为:
y-1=x,它与x+y=0联立解得 x ? ? , y ? , 所以点B的坐标是
1 1 ( ? , ). 2 2 1 答案: ? 1 , ) ( 2 2 1 2 1 2

6.设三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点,求k的值.
k?6 ? x? , , ? ? x ? 2y ? 1 ? k ? 4 即前两条直线的交点为 【解析】由 ? ?? ?2x ? ky ? 3 ? y ? 1 , ? k?4 ? k?6 1 k?6 1 ( , ) 且在第三条直线上,所以 3k ? ? 4? ? 5, k?4 k?4 k?4 k?4 解得k=1或 k ? ? 16 . 3


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