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江苏省2015年高考文科数学复习 压轴大题突破练 立体几何


中档大题规范练——立体几何 1.如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中 点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积. (1)证明 由已知,得 MD 是△ABP 的中位线, 所以 MD∥AP. 又 MD?平面 APC,AP?平面 APC, 故 MD∥平面 APC. (2)证明 因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. 因为 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥AC,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. 因为 BC?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. (3)解 由(2)知,可知 MD⊥平面 PBC, 所以 MD 是三棱锥 D-BCM 的一条高, 又 AB=20,BC=4,△PMB 为正三角形, M,D 分别为 AB,PB 的中点, 经计算可得 MD=5 3,DC=5, 1 S△BCD= ×BC×BD×sin∠CBD 2 1 21 = ×5×4× =2 21. 2 5 1 所以 VD-BCM=VM-DBC= ×S△BCD×MD 3 1 = ×2 21×5 3=10 7. 3 2.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F, 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . (1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱锥 P—EFCB 的体积. (1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE,又 PB?平面 PBE, ∴EF⊥PB. (2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 ∴S△PEB= BE· PE· sin∠PEB 2 1 1 x+y?2 = xy≤ ? =1. 4 4? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O,则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin 30° =2× =1. 2 1 S 梯形 EFCB= ×(2+4)×2=6. 2 1 ∴VP—BCFE= ×6×1=2. 3 3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P、Q 分别是线段 AB、CD 的中点,EP⊥平面 ABCD. (1)求证:DP⊥平面 EPC; FP (2)问在 EP 上是否存在点 F,使平面 AFD⊥平面 BFC?若存在,求出 的值;若不存在,请 AP 说明理由. (1)证明 ∵EP⊥平面 ABCD, ∴EP⊥DP. 又 ABCD 为矩形,AB=2BC,P、Q 分别为 AB、CD 的中点,连结 PQ, 1 则 PQ⊥DC 且 PQ= DC. 2 ∴DP⊥PC. ∵EP∩PC=P,∴DP⊥平面 EPC. (2)解 假设存在 F 使平面 AFD⊥平面 BFC, ∵AD∥BC,BC?平面 BFC,AD?平面 BFC, ∴AD∥平面 BFC. ∴AD

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