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数论01 五上05 整除


五年级上学期

第五讲,数论问题第 01 讲 整 除

【内容概述】 熟练掌握能被 2、3、4、5、8、9、11 整除的性质,并了解这些性质的来源.学会用筛选法找质 数,发现一些和数论有关的问题. 【典型问题】

1.

【50501】 (导引奇数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★)173□是一个四位数.数学

老师说: “我在其中的方框内中先后填入 3 个数字,所得到的 3 个四位数,依次可被 9,11,6 整 除. ”问:数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少?

2.

【50502】 (导引偶数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★)如果六位数 1992□□能被

105 整除,那么它的最后两位数是多少?

3.

【50503】 (导引奇数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)某个七位数 1993□□□能

够同时被 2,3,4,5,6,7,8,9 整除,那么它的最后三位数字依次是多少?

4.

【50504】 (导引偶数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)从 0,1,2,3,4,5,6,

7,8,9 这 10 个数字中选出 5 个不同的数字组成一个五位数,使它能被 3,5,7,13 整除,这个 数最大是多少?

5.

【50505】 (导引奇数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)修改 31743 的某一个数字,

可以得到 823 的倍数.问修改后的这个数是多少?

6.

【50506】 (导引偶数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)在六位数 11□□11 中的

两个方框内各填入一个数字,使此数能被 17 和 19 整除,那么方框中的两位数是多少?

7.

【50507】 (导引奇数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)已知四十一位数 55…5

□99…9(其中 5 和 9 各有 20 个)能被 7 整除,那么中间方格内的数字是多少?

8.

【50508】 (导引偶数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)用数字 6,7,8 各两个,

组成一个六位数,使它能被 168 整除.这个六位数是多少?

9.

【50509】 (导引奇数题, 五上第 5 讲整除, 数论第 1 讲★★★) 将自然数 1, 3, 依 2, …

次写下去组成一个数:12345678910111213….如果写到某个自然数时,所组成的数恰好第一次 能被 72 整除,那么这个自然数是多少?

10. 【50510】 (导引偶数题, 五上第 5 讲整除, 数论第 1 讲★★★50502) 至 9 这 9 个数字, 1
按图 4-1 所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形 成两个九位数(例如,在 1 和 7 之间剪开,得到两个数是 193426857 和 758624391) .如果要求剪 开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
1 7 5 8 6 2 图 4-1 4 9 3

11. 【50511】 (导引奇数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)有 15 位同学,每位
同学都有编号,他们是 1 号到 15 号.1 号同学写了一个自然数,2 号说: “这个数能被 2 整除” , 3 号说: “这个数能被 3 整除” ,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除.l 号作了一一验证:只有编号连续的两位同学说得不对,其余同学都对.问: (1) 说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数? (2) 如果告诉你,1 号写的数是五位数,请求出这个数.

12. 【50512】 (导引偶数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)找出 4 个不同的正整
数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除.如果要求这 4 个数中最大的数 与最小的数的和尽可能的小,那么这 4 个数里中间两个数的和是多少?

13. 【50513】 (导引奇数题, 五上第 5 讲整除, 数论第 1 讲★★) 把若干个自然数 1, 3, 2, …
乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最后出现的自然数最小应该是多 少?

14. 【50514】 (导引偶数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)975×935×972×□,要使这
个连乘积的最后 4 个数字都是 0,那么在方框内最小应填什么数?

15. 【50515】 (导引奇数题,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)如图 4-2,依次排列的
5 个数是 13,12,15,25,20.它们每相邻的两个数相乘得 4 个数.这 4 个数每相邻的两个数相 乘得 3 个数.这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数.这 2 个数相乘得 1 个数.请问:最后这个 数从个位起向左数,可以连续地数出几个零?

13

12

15

25

20

图 4-2

16. 【50516】 (郝挺,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲 ★)求从 1001 开始第 100 个不被 11
整除的数。 1110。 从 1001 开始,每 11 个数中有 10 个不能被 11 整除的数,前 110 个数中有 100 个不被 11 整除的 数,故第 100 个数是 1001+110-1=1110。

17. 【50517】(郝挺,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★)一个 6 位数,它的前 3 位组成的数加
后 3 位组成的数的和是 220,且它能被 7 整除,求满足条件的所有 6 位数。 条件表明前 3 位和后 3 位都介于 100~120 之间,且差能被 7 整除,并且奇偶性相同,故差只能是 0 或 14。最终检验得 110110,117103,103117 是满足条件的数。

18. 【50518】(郝挺,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★)甲是一个两位数,将其个位与十位交
换得到乙,丙为甲与乙之和,如果丙是一个数的平方,求甲。 设甲是 ab , 则乙是 ba , 丙为 11×(a+b); 丙是完全平方数表明 a+b 也为 11 的倍数, 从而 a+b=11, 甲可以是 92,83,74,65,56,47,38,29。

19. 【50519】(郝挺,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)甲是一个两位数,将其个位与十
位交换得到乙,设甲比乙大,丙是甲乙的差。

(1) 如果丙是乙的

12 ,求甲; 5 3 (2) 如果丙是乙的 ,求甲; 4
乙 ” ,则丁有多少个不同的值? 丙

(3) 如果“丁=

设甲为 ab =10a+b,乙=10b+a,丙=9(a-b) ,其中 a>b。 (2)两问都可以由乙丙关系求出 a, (1) b 的比值,得(1)中甲=51, (2)中甲=21,42,63,84。 (3)观察(1) (2)发现 a 和 b 的每一个比值对应一个丁,从而仅需计算 a,b 在小于 10 内的不 同比值即可,共有 27 组。

20. 【50520】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)求出最小的四位数,使得它是 75
的倍数,且各位数字互不相同。 1275。

21. 【50521】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★)各位数字互不相同的 11 的倍数中,
最小的那个是多少? 132。

22. 【50522】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)甲乙两人玩一个数学游戏,规则
如下:他们从甲开始依次划掉九位数 123456789 中的一个数字,各划掉 3 个数字后剩下一个三位 数,如果这个三位数是偶数或者 25 的倍数,那么甲将获胜,否则乙取得胜利。甲乙谁将取得胜 利呢? 乙胜。乙前两次划掉 7 和 9。

23. 【50523】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)请写出五个正整数,使得它
们任何两个数的和都是其差的倍数。 12,14,15,16,18(答案不唯一) 。

24. 【50524】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★) (1)能否找到五个正整数(可
以相同) ,使得其中的任意三个之数和都是另两个数之和的倍数。 (2)能否找到五个互不相同的 正整数,使得其中任意四个数之和都是剩下一个数的倍数。 (1)可以。

a+b+c a+b+d a+c+d 、 与 d +e c+e b+e a + b + e 2b + 2a 都小于 2,只能是 1,所以 b = c = d ,e=a+b,又由 = 是整数可知 a=b。 c+d 2b
例如: 1, 1, 即可, 1, 1, 2 不妨设这 5 个数为 a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e , 则 (2)可以。 例如 1,2,3,6,12。

25. 【50525】 (郝挺,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)三位同学一起算一个式子,对连
续的 4 个奇数求和,第一个同学说: “我算出来是 2004; ”第二个同学说: “我觉得是 2005; ”第 三个同学说: “答案应该是 2006” ,请问哪些同学一定算错了? 三位同学都算错了。 因为任意连续 4 个奇数的和都是 8 的倍数。

26. 【50526】(资坤, 五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)将 1,2,3,…依次写下去组成
一个数 12345678910111213…。如果写到某个自然数时,所组成的数恰好第一次能被 225 整除, 那么这个组成的数的各位数字之和是多少? 1053。 225=25×9。而能被 25 整除的数的末两位数能被 25 整除,于是我们只要考虑写到 25,50,75, 100,…的数,哪个的各位数字之和最先能被 9 整除即可。试验知 125 是最小的。

27. 【50527】 (郝挺,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)一个六位数 87x3xy :
(1)试求出所有这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 9 整除; (2)根据(1)的结果说明该六位数一定不能被 72 整除;

(3)试求出所有这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 24 整除; (4)试求出所有这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 55 整除; (5)试求出所有这样的 x、y 的组合,使该六位数能被 91 整除;

9 8+7+3+2x+y
(1) 由已知要求需 ,即

9 2x+y

,且 0 ≤ x, y < 10 ,因此(x,y)只能是如下

组合(0,9)(1,7)(2,5)(3,3)(4,1)(5,8)(6,6)(7,4)(8,2) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 (9,9) (2) 验证(1)中的 11 组结果,容易得到没有结果符合条件。 (3) 欲使该 6 位数被 24 整除,则首先必须是偶数,且

3 2x+y
,即要求

6 2x+y
,这样的组合

只可能如下(0,6) (1,4) (2,2) (3,0) (2,8) (3,6) (4,4) (5,2) (6,0) (5, 8) (6,6) (7,4) (8,2) (9,0) (8,8) (9,6) ,又要求该六位数能被 8 整除,即要 求 3xy 被 8 整除,这样可以得到只有(2,8)(3,6)(4,4)(5,2) , , , (6,0) 。 (4) 为使能整除 55,首先 y 只可能是 0 或者 5,其次偶数位减奇数位整除 11.因此即 这样组合仅有(8,5)一组。 (5) 为使能整除 91, 则要求

11 2x-y


91 87x-3xy 87x ≡ x+51(mod91) 3 xy ≡ 10x+y+27(mod91) , , ,

即要求 x+51=10x+y+27,由此得出(x,y)=(2,6)

28. 【50528】 (杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲 ★★★)如果把一个四位数 abcd 的
前面插入一个 2,中间插入 00,末尾添上 7,变成 2ab 00cd 7 ,并且这个新的 8 位数还是 11 的倍 数,那么就称这样的四位数为“2007 的 11 数” 。那么“2008 的 11 数”有几个? 818 个。 通过分析,可知四位数 abcd 必须是除以 11 余 5 的。所以从 1006 到 9993 一共 881 个。

29. 【50529】 (杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲 ★★)如果把一个四位数 abcd 插入
2007 的中间,变成 20abcd 07 ,并使得新的 8 位数是 7 的倍数,那么这样的四位数就称为“2007 的 7 数” 。那么“2008 的 7 数”数有多少个? 1286 个

通过分析,四位数 abcd 应该正好是 7 的倍数就行。所以,从 1001 到 9996 一共 1286 个。

30. 【50530】 (杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲 ★★★)是否存在一个各位数字互
不相同的数,使得它是 999999 的倍数?如果存在,请构造,如果不存在,请说明理由。 不存在。 因为各位数字互不相同,至多是 10 位数。根据 999999 的整除性,将该多位数从右往左六位断开 后求和,这个和一定是 999999。通过分析这个加法竖式,可知其无进位。所以一定会有两个数字 9,出现重复。

+ 9 9 9 9 9 9

31. 【50531】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)任意连续 n 个自然数的乘积都
是 8100 的倍数,那么 n 最小是多少? 10。 8100 是 4,25 以及 81 的倍数,任意连续 10 个自然数中必有两个 2 的倍数,两个 5 的倍数,三个 3 的倍数(其中有一个还是 9 的倍数) 。

32. 【50532】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)从 1~2008 中选取连续六个数
的乘积其末尾最多能有几个 0? 5 个 0。1~2008 中数的质因数分解中含 5 最多的一个也只能含有 4 个 5,在一个数是 25 的倍数 时,它前后 6 个数都不可能是 25 的倍数,所以连续六个数的积最多有 5 个 0。而 625×626×627 ×628×629×630 末尾有 5 个连续的和。

33. 【50533】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)用数字 1,2,3 各两次组成一
个六位数,使它是 56 的倍数。

113232。考虑末三位为 8 的倍数只能为 232 或者 112,312,再考虑被 7 整除的性质为前三位与后 三位的差是 7 的倍数。

34. 【50534】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)各位数字互不相同的八位数中
最小的 45 的倍数是多少? 10247895。从 0~9 中去掉两个数字使得剩下的八个数字之和为 9 的倍数,显然前两位为 10 时最 小。末位只能为 5,去掉两个数字和为 9,只能为 2 和 7 或者 3 和 6,这时形成的最小的八位数为 10247895。

35. 【50535】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)由 1,2,3 形成的 63 的倍数
中最小的一个是多少? 1323。由 1,2,3 组成的 9 的倍数最小的是 333,此时不是 7 的倍数,所以至少是个四位数,1233 不是 7 的倍数,而 1323 满足要求。

【提高题】

36. 【50536】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)对于一张卡片上的三位数 669,
把卡片倒过看是 699,他们都是 3 的倍数,是否存在一个三位数,它是 7 的倍数,把它写在卡片 上倒过来看是 9 的倍数? 861 或 168。能倒过来的数是 0,1,6,8,9;其中三个数之和为 9 的倍数可以是 0、1、8;0、9、 9;1、8、9;6、6、6 及 9、9、9。要用它们倒过来形成 7 的倍数可以是用 1,8,9 倒过来变为 1,

8,6。

37. 【50537】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)1□2□□3□□□4 是一个各
位数字互不相同的十位数,它是否可以为 11 的倍数?如果可以,请求出最大的满足要求的十位 数,如果不能请说明理由。 1927836504。提示:考虑奇偶位上的差。

38. 【50538】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)由 1,2,3,4,5,6 各一
个组成的六位数使它是 37 的倍数,这个六位数最大的是多少? 654123。这个数必须是 3 的倍数,且前三位与后三位求和是 37 的倍数。当前三位为 654 时它与 后三位相加不进位,其和只能为 777,888,999,但是由数字和可知只能为 777。

39. 【50539】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)一个多位数,它的各位数字互
不相同,且任意的连续两个数字组成的两位数都是 7 的倍数,那么这个多位数最大是多少? 98421。如果这个多位数中有 7,它只能是 70;如果含有 6,它的前后依次只能为 5,3,而 3 后 只能为 5,5 前只能为 3,这三个数只能为 356,635 或 563。更大的数包含的数字只能为 1,2,4, 8,9,所以最大为 98421。

40. 【50540】 (王坤,五上 05 讲,数的整除★★★)有多少个两位数,在这个两位数的中
间加入 0~9 的任何一个数后形成的三位数都不是 11 的倍数? 9 个。考虑被 11 整除的性质,得到这个两位数的个位与十位之和为除以 11 不能余 0~9,只能是

10,所以这个两位数的数字为 10,一共有 9 个这样的两位数。

41. 【50541】 (题解议,杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)在 1 至 18 中,有
几个数能够整除 6868L3 ? 1 24 4 68
99 个 68

13 个:1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,17,18。

42. 【 50542 】 题 解 议 , 杨 笑 山 , 五 上 第 5 讲 整 除 , 数 论 第 1 讲 ★ ★ ★ ) 算 式 (
“1×(1+2)×(1+2+3)×…×(1+2+3+…+100)”计算结果末尾一共会出现几个连续的数字 0? 48 个。原式=1×3×6×10×15×21×28×36×45×55×…×5050,每四项就有两项是偶数,而每 5 项才出 现 2 个 5 的倍数, 因此只需算原式含质因数 5 的个数。 只需算 1× ( 2 × 3) × ( 3 × 4 ) ×……× (100 ×101) 中 5 的个数。

43. 【50543】 (题解议,杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)已知多位数
“ □L□5002 △L3 ”中“□”和“△”分别代表 0 至 9 中的一个数字,如果它能够被 52 整 1 3 2 12△ 4 4
2005 位 2005 位

除,那么“□”和“△”分别是多少? □=1,△=0。111111=1001×111 是 13 的倍数,前后可以截去 2004 位。讨论 13|□5002△和 4|△△ 即可。

44. 【50544】 (题解议,杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)仓库里有两只装有
杯子的箱子,各贴有“总价 132.□△元”“总价 123.○◇元” 、 (□、△、○、◇四个数字已辨认 不清,但是它们互不相同) 。已知其中一箱装了 77 只 A 型杯子,另一箱装了 75 只 B 型杯子,每 只杯子的价格都是整数分。那么 A、B 型杯子的单价分别是多少元? 分两种情况讨论: (1)77|132□△,75|123○◇(无解)(2)75|132□△,77|123○◇(A 型杯子 ;

单价=123.20÷77=1.60 元,B 型杯子单价=132.75÷75=1.77 元) 。

45. 【50545】 (题解议, 杨笑山, 五上第 5 讲整除, 数论第 1 讲★★★) 将自然数 1、 3、 2、 …
依次写下去连成一个多位数“123456789101112…” ,当写到某个数 N 时,所形成的多位数恰好第 一次能被 45 整除,那么 N 是多少? 35。9| (1+N )× N,且 N 为 5 的倍数,最小的 N 是 35。

46. 【50546】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)12□□31 是 23 的倍数,那么
这个六位数最小是多少? 121831。12□□31÷23 的商的首位为 5,末两位为 97,这个商可以为 5097,5197,5297,…, 5097×23<120000,5197×23<120000,5297×23=121831。

【竞赛题】

47. 【50547】 (汪岩,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)把从 1 开始到 1000 的自然
数依次排列起来,并且按照 4 个数码一组的方式进行分组: (1,2,3,4)(5,6,7,8)(9, , , 1,0,1)(1,1,2,1)(3,1,4,1) , , ,……,求满足某一组内 4 个数码所组成的数是 45 的 倍数这一条件的组有多少个? 13 个。排两位数时规律是:□※※□,中间的两个数码是一个两位偶数中的,从(9,1,0,1) 到(7,9,8,9)没有符合条件的组。排三位数时根据排列规律和被 5、9 整除数的特征,符合 条件的有 13 个。

48. 【50548】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)已知 22L 2 是 1998 的倍数, 1 3 2
n个2

那么 n 最小为几? 27.由题意知道 111…111(n 个 1)是 999 的倍数,根据被 999 整除的性质,三位截取求和至少

需要 9 个 111 才能加到 999 的倍数,从而 n 最小值为 27。

49. 【50549】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)已知 99 ??? 9 是 23 的倍数, 1 3 2
n个 9

那么 n 最小是几?

& & 22。计算 1÷23= 0.0434782608695652173913 ,它的循环节为 22 位。

50. 【50550】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★★)12 33L 321 是 81 的倍数, 1 3 2
n个 3

那么 n 最小是几? 最小为 25。 12 33L 321 =111× 11L1 ,所以得到 11L1 是 27 的倍数,每三位截取求和后是 27 { { 1 3 2
n个 3

n+ 2 个1

n+ 2 个1

的倍数,这个和只能为 999。

51. 【50551】 (题解议,杨笑山,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★★)用数字 0 至 9
组成一个十位数,使得它从左数前 m 位形成的数恰能被 m 整除(m=1、2、…、9、10) ,这个十 位数是多少? 3816547290。首先 0 在末位,5 在第 5 位;第 2,4,6,8 位必须是偶数,进一步第 4,8 位必须 填 2 或 6,然后进行试算。

52. 【50553】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)一个三位数是 13 的倍数,并且
它的数字和也是 13 的倍数,求这个三位数的最小值. 答案:247。

53. 【50554】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)一个六位数,他是 11 和 9 的

倍数, 去掉首位和末位后他还是 11 和 9 的倍数, 他中间的两位数为 67, 那么这个六位数是多少? 答案:926739,从中间开始考虑。

54. 【50555】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)已知 10001=73×173,那么
请你用 1,2,3,4,5,6,7,8 组成一个 8 位数,且这个 8 位数除以 73 余数为 64。 答案:85731264=73730000+12×1000100+64。

55. 【50556】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)
分别在上面的 5 个

,小明和小李

中轮流填入数字形成一个五位数,小明先填,他的目标是使得这个五位数

是 91 的倍数,他如果要达到目的他第一个数字应该怎么填? 答案:在中间那位填 0。

56. 【50557】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)能否将 1~9 填入 3×3 的方格
表中,使得这个方格表中,从左往右看形成 3 个三位数,从上往下看形成 3 个三位数,且这 6 个 三位数都是 11 的倍数。 答案:可以如图 42 填写即可。 4 5 1 6 3 8 图 42 2 9 7

57. 【50558】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★)N 个连续自然数的积(其中包括
2007)是 2592 的倍数,那么 N 的最小值是多少? 答案:7 个数,2592=32×81,2004×2005×2006×2007×2008×2009×2010 即可。

58. 【50559】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)请写出一个数 2
使他是 2,3,4,5,6,7,8,9 的倍数,要是 2 7 2 7 2 呢?

7

2



答案:267120,2772267120。 (可以得到更多的这种类型的数如:277227722772267120) 。

59. 【50560】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)你能否写出一个各位数字互
不相同的六位数,使得他是 11 和 13 的倍数。 答案:可以,考虑 11×13=143,278-135=143,所以 278135 满足要求。

60. 【50561】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)在 4
两个数使得乘积能够被 99 整除,则填入的两个数之和是多少? 答案:12=8+4。

6×1

3的

中填入

61. 【50562】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★★)有一个四位数是 18 的倍数,
任意交换它两个数字的位置得到还是四位数且仍然是 18 的倍数, (例如 4068 就不满足题意,因 为交换 4 和 0 之后就不再是四位数了. )则这样的四位数一共有多少个? 答案:一定是由 2,4,6,8 组成的,所以数字之和一定为 18,考虑到 18=8+6+2+2=8+4+ 4+2=6+6+4+2=6+4+4+4,可以形成 12+12+12+4=40 个满足要求的四位数。

62. 【50563】 (王坤,五上第 5 讲整除,数论第 1 讲★★★)在 1~10000 中选择连续 n 个
自然数相乘,乘积末尾有 10 个 0,那么,n 最小值为多少? 答案:26 个数,可以为 3100~3125。

63. 【50552】(资坤,五上第五讲整除,数论第 1 讲★★)在 1990 至 2300 之间,有三个连续奇
数,其中,最小的能被 5 整除,中间的能被 9 整除,最大的能被 7 整除,那么,这样的三个连续 奇数是______. 答案:2005,2007,2009 用穷举法。

64. 【50564】 (欧觉钧,五上第五讲整除,数论第 1 讲★★★)用 0 和 1~9 这 10 个数字任意组成
两个数(10 个数字都用上) ,然后将这两个数求和,有人把和中的一个数字擦去,剩下的结果为 14317,那么擦去的数字是______. 「简答」2 简答」 这两个数求和的结果应该能被 9 整除,即结果的各位数字之和能被 9 整除,现在一个数字擦去后 剩下的结果为 14317,各位数字之和为 16,于是擦去的数字只能是 2.

65. 【50565】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)把自然数 1、2、3、4……

的前几项顺次写下得到一个多位数 1234567891011……已知这个多位数至少有十位,并且是 9 的 倍数.那么它最少有 答案:25. 将这一排数写下去: 123456789101112131415161718192021222324…… 已知一个数要是 9 的倍数,则它各位数字之和是 9 的倍数. 依次求和,发现只有: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7=81 是 9 的倍数.满足题意的数为:1234567891011121314151617.共 25 位. 位.

66. 【50566】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲
9 以及 11 的倍数,则该三位数是 答案: 990. .

)已知三位数 abc 是 5、6、

abc 是 5 的倍数,c=0 或 5. abc 是 6 的倍数,c 是偶数.所以 c 是 0.

abc 是 11 的倍数,c=0.所以 a=b. abc 是 9 的倍数,a=b,c=0.所以 a=b=9. 因此得出 abc =990.

67. 【50567】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲
能被 343 整除,且乘积的末 4 位都是 0,那么这 11 个数的平均数是 答案:45.

)11 个连续两位数的乘积 .

因为 343= 7 3 ,我们知道,在 11 个连续的两位数中,至多只能有 2 个数是 7 的倍数,所以其 中有一个必须是 49 的倍数,那就只能是 49 或者 98. 又因为乘积的末 4 位都是 0,就是说这连续的 11 个自然数应该“含有”4 个 5.连续的 11 个 自然数中至多只能有 3 个数是 5 的倍数,至多只能有 1 个是 25 的倍数,所以其中有一个必须是
25 的倍数,那就只能是 25、50 或者 75.

综上所述,这 11 个数是 40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.所以它们的平均 数是 45.

68. 【 50568 】 ( 试 题 与 详 解 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲
9166560272073÷19970719547 的结果是一个三位整数,则这个三位数是

)已知



答案:459. 首先估计答案的百位数字,因为 4<91÷19<5,所以百位数字是 4.再看个位,被除数个位是
3,除数个位是 7,所以答案的个位数字肯定是 9.最后,因为被除数能被 9 整除,除数不能被 9

整除,所以商也能被 9 整除,那么答案的十位数字只能是 5.

69. 【50569】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲
42,且能被 42 整除的数中,最小的一个是

)末两位为 42,数字和为



答案:2979942.

末两位是 42,那么其他的数字的和是 42?4?2=36.那么前面至少是 4 位,只能是 9999,但 999942 不是 42 的倍数, 所以在 “42” 前面只能是 5 位数. 从最小数的算起, 首位是 1 的有: 18999、 19899、19989、19998,但是它们都不是 7 的倍数,在它们后面添上“42”后,不是 42 的倍数.再 看首位是 2 的:27999、28899、28989、28998、29799、29889、29898、29988……27999、28899、 28989、 28998 不是 7 的倍数, 29799 是 7 的倍数, 2979942 是 42 的倍数. 所以最小的就是 2979942.

70. 【50570】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)有些自然数的末两位是

56,各位数字之和是 56,并且能被 56 整除,那么所有这样的自然数中,最小的一个是________. 29899856. 因为这样的数能被 8 整除且末两位是 56,所以其百位只可能取 0,2,4,6,8.该数除去末 两位数字外的其余各位数字之和为 56?5?6=45,因 45÷9=5,而其百位不会是 9,故它至少是 8 位 数□□□□□□56.若首位为 1,则只可能是 19999856,但这个数不能被 7 整除.若首位为 2, 这时最小可能为 28999856,它也不能被 7 整除;又经检验,数 29899856 能被 7 整除,这即为本 题的答案.

71. 【50571】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)已知有一个四位数“A3A1” 。
如果它是 9 的倍数,那么 A=多少;如果它是 11 的倍数,那么 A=多少;如果它是 7 的倍数,那么 A=多少?(7,2,7)

72. 【50572】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)一个六位数,它能被 9 和 11
整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字,中间的四个数字是 2006,那么这个六位数是多少? (320067)

73. 【50573】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)五位数 3□6□5 没有重复数
字,如它能被 75 整除,那么这个五位数可能是多少?(38625,39675)

74. 【50574】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)某个数能够被 11 整除,而
且它的各位数字之和为 13,那么这个数最小为多少?(319)

75. 【50575】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)一个四位数“AB12”加上
36 后能够被 9 整除,减去 32 后能够被 8 整除,那么满足条件的最大数是多少?(8712)

76. 【50576】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)如果四位数 6□□8 能被 73
整除,那么商是多少?(86)

77. 【50577】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)求 100!=1×2×3×…×100 的末
尾有多少个 0?(24)

78. 【50578】 (李川, 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲★★) 要使乘积 195×86×72×380×1□□
的末五位都是零,方框中应填入的两个数字分别是多少?(2、5)

79. 【 50579 】( 李 川 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ) 如 果
7ab7ab L 73 ab7ab2447 是 117 的倍数,那么三位数 7ab 是多少?(738) ab 14 244 14 7 L ab 4 4 3
13个 7ab 13个ab 7

80. 【50580】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★★)一个各位数字都不大于
6 的六位数,能被 99 整除,这样的六位数共有多少个?(1222)

81. 【50581】 (试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★★)一个各位数字均
不为零的三位数能被 8 整除,将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到 3 个两位 数(例如,按此方法由 247 将得到 47,27,24) .已知这些两位数中一个是 5 的倍数,另一个是 6 的倍数,还有一个是 7 的倍数,那么原来的三位数是________. 656. 那个能被 5 整除的两位数的个位数字为 0 或 5,且应是原三位数的十位数字或个位数字.注

意到该三位数的各位数字均不为零且本身是偶数,故必有原三位数的十位数字是 5. 三位数能被 8 整除意味着其末两位数应能被 4 整除.在 51~59 中只有 52 和 56 是 4 的倍数, 但 52 不能被 5,6,7 中的任何一个数整除,故结合题设知三位数的个位数字必为 6. 现在已经知道所求的三位数具有形式□56.因为 5|□5,7|56,所以必成立 6|□6,此外还须 有 8|□56.由这两个限制条件分别得到□=3,6,9 和□=2,4,6,8,从而有□=6,所求的三位 数是 656.

82. 【50582】 (试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★★)已知数
19941994443 02 能被 18 整除,那么 n 的最小值是________. 1442L1994 4 4
n个1994

5. 18=2×9,又显然此数可以被 2 整除,所以只需考虑当 n 等于几时原数可以被 9 整除.一个数

能被 9 整除要求它的各位数字之和也能被 9 整除.易见 1+9+9+4 除以 9 的余数为 5,经试算在
1×5+2,2×5+2,…中,最小的能被 9 整除的是 5×5+2=27,这也就意味着本题的答案为 5.

83. 【50583】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)已知 719 | 3??? 53 ,那
么方框中的数是多少?(要求找到所有答案)
350153

84. 【50584】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)求出 27!的后 7 位数字
分别等于多少?

85. 【50585】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)由 1,2,3,5,7,8 组
成的没有重复数字的四位数中,有哪些是 75 的倍数?

86. 【50586】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)有一个四位数,不管怎么
调整它各位数字的顺序得到的新的四位数都仍然是 6 的倍数,那么这样的四位数有多少个?

87. 【50587】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)将 3 添加在 2007 的前面
或者后面形成 32007 或者 20073 这两个五位数都是 3 的倍数,那么请找出所有的 3 位数,使他添 加在 2007 的前面或者后面形成的新的 7 位数都是这个 3 位数的倍数。

88. 【50588】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)最小的各位数字互不相同
的 17 的倍数中,最小的五位数是几?

89. 【50589】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 23 的倍数中,使得末
三位为 999 的最小的数是多少?

90. 【50590】 (须佶成, 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲★★★)形如 71120072007…2007 1442444 4 3
n个 2007

的数中,最小的 11 的倍数是几?

91. 【50591】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)由 8 个不同数码组成的
180 的倍数中最小的数是几?

92. 【50592】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)能否将 1~2007 排成一行
使得任意的连续两个数之和为 3 的倍数;能否任意连续 3 个数之和为 3 的倍数呢?

93. 【50593】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 2007 后面接着写上若
干位数,使其形成一个多位数,且这个多位数是 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的倍数,那么这个 多位数至少是几?

94. 【50594】 (须佶成, 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲★★★)20072007…2007□20072007…
2007(□左右各有 10 个 2007)是 7 的倍数,那么□中填的数是几?

95. 【50595】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)求出 2007!的末尾有多

少个 0。

96. 【50596】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)已知 27 | 2? 007700? 2 ,
那么方框中可以填入多少?
17

97. 【50597】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)小明可以将 1,2,3,…,
n 分成两组, 使得每组数里面没有三个数构成一个等差数列, 但是他发现不管他怎么将 1, , , 2 3 …, n+1 这些数分成两组,总有一组数里面有 3 个数构成等差数列,那么 n 是几?
8,1256,3478

98. 【50598】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)从 1~2007 中最多找出多
少个数,使得这些数里面任意两个数之和都不是 13 的倍数。
930

99. 【50599】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)形如 ? 2006? 且能被 14
整除的六位数共有多少个?
120050,820050,220052,920052,320054,420056,520058,2005 的答案

100. 【505100】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)2007□是一个四位数,
数学老师说: “我在其中先后填入 9 个数,可以使得他分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的倍 数。 ”那么,数学老师先后填入的 9 个数字之和最小是_______。

101. 【505101】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)□275 与 275□的乘积是
72 的倍数,那么两个□中填入数字之和为_______。

102. 【505102】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)用 1,2,3,4,5,6,
7,8,9 各一个组成 3 个三位数,使得他们都是 9 的倍数,且要求乘积最大,那么得到这个最大 乘积的式子是______×______×_______。

103. 【505103】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)七位数 8□□□□□3
的各位数字互不相同,且他是 99 的倍数,那么这个七位数最小是________。

104. 【505104】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)六位数 12□□11 是 17
与 23 的倍数,那么□□中填入的两位数为_________。

105. 【505105】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)请将 1,2,3,4,5,6,
7,8,9,10,11 写成一行,使得这一行数中的任何一个都是他前面若干数之和的约数,即他整 除他前面所有数之和。_________________________________________________________。

106. 【505106】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)各位数字互不相同的且
是 3、5、7、13 的倍数的五位数最大是________。

107. 【505107】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)1,22,333,…,
10101010101010101010,… 999999 ??? 999 (即 1 个 1,2 个 2,…,999 个 999)这 999 个数中 14 244 4 3
999 个 999

有_____个是 11 的倍数。

108. 【505108】 (须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个三位数能被 3 整除,
去掉它的末位数字后,所得的两位数是 17 的倍数,这样的三位数中,最大的是 。

109. 【505109】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 523 后面写出三个数
字,使所得的六位数被 7、8、9 整除。求这三个数字的和。

110. 【505110】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)求能被 26 整除的六位数
□1993□。

111. 【505111】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)设 abcd 是一个四位正整
数,已知三位正整数 abc 与 246 的和是一位正整数 d 的 111 倍,abc 又是 18 的倍数。求出这个四 位数 abcd,并写出推理运算过程。

112. 【505112】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)若自然数 n 的各位数字

之和为 527,则 n 的最小值是多少?

113. 【505113】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个 5 位数 3ab98 能被
11 与 9 整除,这个 5 位数是多少?

114. 【505114】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个自然数与 13 的和是
5 的倍数,与 13 的差是 6 的倍数。这个自然数最小是多少?

115. 【505115】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)六位数 17xy14 是 379 的
倍数,求出 x 和 y。

116. 【505116】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果四位数 6□□8 能被
73 整除,那么商是多少?

117. 【505117】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)个位数是 6,且能被 3
整除的四位数有多少个?

118. 【505118】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)三个数的和是 555,这
三个数分别能被 3,5,7 整除,而且商都相同,求这三个数。

119. 【505119】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)求各位数字都是 7,并
能被 63 整除的最小自然数。

120. 【505120】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)用 1,2,3,4 这四个数
码可以组成 24 个没有重复数字的四位数,其中能被 11 整除的有哪些?

121. 【505121】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)从 2,3,5,7,8 五个
数中任选四个能组成哪些能被 75 整除的没有重复数字的四位数?

122. 【505122】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个三位数能被 11 整除,
去掉末位数字后所得的两位数能被 9 整除,这样的三位数有哪些?

123. 【505123】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 8264 的左右各添一
个数码,使新得到的六位数能被 45 整除。

124. 【505124】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 666 后面补上三个数
码组成一个六位数,使这个六位数能被 783 整除,应当怎样补?

125. 【505125】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个四位数,四个数字
各不相同,且是 17 的倍数,符合条件的最小四位数是多少?

126. 【505126】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个自然数与 19 的乘积

的最后三位数是 321,求满足此条件的最小自然数。

127. 【505127】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)1×2×3×…×15 能否
被 9009 整除?

128. 【505128】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)将自然数 N 接写在任一
个自然数的右面,得到的新数都能被 N 整除。例如将 2 写在任一自然数的右面,得到的新数都能 被 2 整除。在 1~100 中,满足条件的自然数 N 有哪几个?

129. 【505129】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 5ab5ab L 53 是 ab 14 244 4
99 个 5 ab

91 的倍数,那么三位数 5ab 是多少?

130. 【505130】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)有一个 2004 位的数 A
能被 9 整除, 它的各位数字之和为 a, 的各位数字之和为 b, 的各位数字之和为 c。 等于多少? a b c

131. 【505131】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)1—9 九个数字按下图所
示的次序排成一个圆圈,请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位 数。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除,那么应在何处剪开?

132. 【505132】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)请把 1000000 表示成两
个自然数 a 和 b 的乘积,要求 a,b 都不能是 10 的倍数。

133. 【505133】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)求一个首位数字为 5 的
最小六位数,使这个数能被 9 整除,且各位数字均不相同。

134. 【505134】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)六位数□1993□能被 33
整除,这样的六位数是多少?

135. 【505135】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)将自然数 1、2、3、4、
5、6、7、8、9 依次重复写下去组成一个 1993 位数,试问:这个数能否被 3 整除?

136. 【505136】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)101×102×103×…×198
×199×200,这 100 个数乘积的末尾有( )个连续的零。

137. 【505137】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 43 的右边补上 3 个数
字,组成一个五位数,使它能分别被 3、4、5 整除,并且使这个数值尽可能小,这个数是( ) 。

138. 【505138】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)一个能被 11 整除,首位
数字为 7,其余各位数字各不相同的最小六位数是( ) 。

139. 【505139】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)某个七位数 1993□□□
能够同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除。它的最末三位数字组成的三位数是( ) 。

140. 【505140】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在□中最小填什么自然
数,才能使等式成立:102×□=12×□=□×24。

141. 【505141】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)五位数 3□6□5 没有重
复数字,如它能被 75 整除,那么这个五位数是____。

142. 【505142】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)有一个六位数□1994□
能被 44 整除,求这个六位数。

143. 【505143】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)写出形如□691□,能被
55 整数的五位数。

144. 【 505144 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 要 使 乘 积
195×86×72×380×1□□的末五位都是零,□□中应填入的自然数最小值应是多少?

145. 【 505145 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 在 乘 积
1000×999×998×…×3×2×1 中,末尾连续有多少个零。

146. 【505146】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)用 0~9 这十个数字组成
能被 11 整除的最大十位数是多少?最小的十位数是多少?

147. 【505147】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)把 1 至 1991 这 1991 个
自然数依次写下来,得到一个多位数 123456789101112……198919901991,试求这一多位数除以 9 的余数。

148. 【505148】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)求能同时被 9、25、8
整除的七位数 x1992yz。

149. 【505149】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)从 1,2,3,4,5 中选
出 4 个不同的数字,一共可以组成多少不同的四位数可以被 11 整除? 24=3*8

150. 【505150】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 6 位数 25 ABC 6 各
位数字互不相同,并且可以被 36 整除,求商最小可能是多少?最大可能是多少?
6956,7206。6946,7221 可以重复数字的答案

151. 【505151】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 5 位数 ABCDE 是 9
的倍数, ABCD 是 4 的倍数, 并且 ABCDE 的各位数字互不相同, 那么 ABCDE 的最小值是多少? 最大值是多少?
10287,98721

152. 【505152】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 22L 2 是 1998 的倍
数,那么的最少需要多少个连续的 2?
27,利用 999

153. 【505153】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 20062003,20062004,
20062005,20062006,20062007,20062008 中选出 2 个数相乘使得乘积可以被 12 整除,一共有 多少种方法? 6 种.

154. 【505154】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 36 | 57? × 68? ,那
么一共可以填入多少组答案?
10+9+0=19 种

155. 【505155】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)将 100 以内的偶数写成
一排,构成一个自然数 2468101214……9698,求这个自然数除以 99 的余数等于多少?

156. 【505156】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在方框中填上数字,使
得 77 | 22L 2?? 66L 6 。求一共有多少种填法? 1 3 2 1 3 2
2006 2006

两种可能 00 和 77

157. 【505157】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在方框中填上数字,使
2?? 00? 6? 是 9 的倍数,那么一共有多少种满足条件的填法? 1111

158. 【505158】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在字母处填上数字,可
以相同也可以不同,使 2AB 00CD6 是 11 的倍数,并且 ABCD 是一个不大于 2006 的自然数,那么 四位数 ABCD 一共有多少可能?
92

159. 【505159】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)已知 719 | 3??? 53 ,那
么方框中的数是多少?(要求找到所有答案)

160. 【505160】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)形如 ? 2006? 且能被 14
整除的六位数共有多少个?

161. 【505161】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)从 1,2,3,4,5 中选
出 4 个不同的数字,一共可以组成多少不同的四位数可以被 11 整除?

162. 【505162】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 6 位数 25 ABC 6 各
位数字互不相同,并且可以被 36 整除,求商最小可能是多少?最大可能是多少?

163. 【505163】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 5 位数 ABCDE 是 9
的倍数, ABCD 是 4 的倍数, 并且 ABCDE 的各位数字互不相同, 那么 ABCDE 的最小值是多少? 最大值是多少?

164. 【505164】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 22L 2 是 1998 的倍
数,那么的最少需要多少个连续的 2?

165. 【505165】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在 20062003,20062004,
20062005,20062006,20062007,20062008 中选出 2 个数相乘使得乘积可以被 12 整除,一共有 多少种方法?

166. 【505166】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 36 | 57? × 68? ,那
么一共可以填入多少组答案?

167. 【505167】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)将 100 以内的偶数写成
一排,构成一个自然数 2468101214……9698,求这个自然数除以 99 的余数等于多少?

168. 【505168】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在方框中填上数字,使

得 77 | 22L 2?? 66L 6 。求一共有多少种填法? 1 3 2 1 3 2
2006 2006

169. 【505169】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在方框中填上数字,使
2?? 00? 6? 是 9 的倍数,那么一共有多少种满足条件的填法?

170. 【505170】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在字母处填上数字,可
以相同也可以不同,使 2AB 00CD6 是 11 的倍数,并且 ABCD 是一个不大于 2006 的自然数,那么 四位数 ABCD 一共有多少可能?

171. 【 505171 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 自 然 数
100101102103L 998999 是否可以被 11 整除?如果不能整除请问余数是多少?

否,余数是 10

172. 【505172】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果最简分数 的分母

q p

p 和 10 互质,那么一定可以利用分数的基本性质使得

q n ,其中 9 的个数不超过 p 个, = p 999L 9 124 4 3
不超过p个

从而

q 可以化成一个纯循环小数。 p

173. 【505173】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★) “幸运年份组”是指:
有连续 9 年的年号有如下特征,第 1 年年号是 1 的倍数;第 2 年年号是 2 的倍数;第 3 年年号是
3 的倍数;……;第 9 年年号是 9 的倍数。那么请问距离今年(今年的年号是 2005)最近的那个

“幸运年份组”是多少?2521--2529

174. 【505174】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在方框中填上两个数字,
可以相同也可以不同,使 4? 32? 是 9 的倍数,那么一共有多少种满足条件的填法?
12

175. 【505175】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)在方框中填上数字,可
以相同也可以不同,使 2?? 00? 5? 是 9 的倍数,那么一共有多少种满足条件的填法?
1111

176. 【505176】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)已知 74 | 2005?? 5002 ,
那么方框中的数是多少?(要求找到所有答案)
06,43,80

177. 【 505177 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 求
123456789101112131415……200320042005 除以 9 的余数是多少? 1

178. 【505178】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)甲、乙两人玩数字游戏,
他们轮流在 7?82? 6 的方框里填一个数字.规则是:甲先填一个数字,如果乙再填一个数字使这 个六位数是 11 的倍数,则乙获胜;反之,如果乙填出来的数字没有使这个六位数是 11 的倍数, 则甲获胜.问:先填的甲有没有必胜的策略?如果甲有必胜策略,他一共有几种必胜的策略?
2 种,B=6 或 A=3

179. 【 505179 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★
★) 165 |12345678901234567890L1234567890?12345678901234567890L1234567890 , 14444444 24444444 14444444 3 24444444 3 求方框中的
2005组1234567890 2005组1234567890

数字一共有多少种可能?
1 种可能,是 0;变成 3 个方框 31 种可能,是 0,33,66,…,990

180. 【 505180 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 求
123456789101112131415……998999 除以 11 的余数是多少? 3

181. 【 505181 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 求
123456789101112131415……200320042005 除以 11 的余数是多少? 8

182. 【505182】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)1—9 可以组成多少个 9
位数使得被 111 整除

183. 【 505183 】 ( 须 佶 成 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 数 论 第 01 讲 ★ ★ ★ ) 在 自 然 数
100101102103104……998999 中截取连续的 7 个数字 abcdefg, 使得 7 | abcdefg , 那么 7 位数 abcdefg 最小是多少?最大是多少? 最小:三类 3983994;4814915,4915015,5015115;6107108 最大:三类 4974984;4894995,4995095,5095195;6997998

184. 【505184】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)按照下面的方法切分自
然数,那么切分之后的自然数与原自然数的差是多少?
+ + + + + + + + +

(1)将自然数 123456789 切分

1|2|3|4|5|6|7|8|9 然后写成

1+2+3+4+5+6+7+8+9, 切分后

的计算结果与原来自然数的差是多少?

+

+

+ +

+

(2) 将自然数 123456789 切分

12|345|6|7|89 然后写成

12+345+6+7+89, 切分后的计算

结果与原来自然数的差是多少?

+ ? + ? + ? + ? +

(3) 将自然数 123456789 切分

1|2|3|4|5|6|7|8|9 然后写成

9-8+7-6+5-4+3-2+1,切分后

的计算结果与原来自然数的差是多少?

+

?

+

+

(4) 将自然数 123456789 切分 果与原来自然数的差是多少?

123|456|7|89 然后写成

89+7-456+123, 切分后的计算结

185. 【505185】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)判断下面各数除以 9 的
余数是多少?
(1)20062007 (4)12345678910111213……2006 (2)9283923 (3)1011121314

186. 【505186】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)判断下面各数除以 99
的余数是多少?
(1)20062007 (2)9283923 (3)1011121314 (4)12345678910111213……99

187. 【505187】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)判断下面各数除以 11 的
余数是多少?
(1)20062007 (2)9283923 (3)1011121314 (4)12345678910111213……99

188. 【505188】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)判断下面各数除以 1001
的余数是多少?
(1)1234567 (2)20062007 (3)1011121314 (4)100101102103104……999

189. 【505189】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 67 | 2 AB5 ,那么 AB
是多少?如果 38 | 2CD8 ,那么 CD 是多少?
2345;2128,2318,2508,2698,2888,

190. 【505190】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)修改 31743 的某一个数
字,可以得到 823 的倍数,那么修改后的这个数是多少? (33743)

191. 【505191】(须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★)如果 7 位数 2008ABC 可
以被 1,2,3,4,5,6,7,8,9 整除,求这个 7 位数是多少?2008440

192. 【 505192 】 ( 须佶成,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★★ ) 已知 9 | A2006B ,
11| A2006B 。那么 AB 等于多少?37 利用 99

193. 【505193】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲
的乘积在它的末尾一共有________个连续的零.
12.

)小于 51 的所有自然数

实际上,末尾的每一个 0 都来自 1 个 2 和 1 个 5 的乘积.从 1 到 50 中一共有 50÷5=10 个数 是 5 的倍数,还有 50÷25=2 个数是 25 的倍数.那么就相当于有 10+2=12 个 5,而 2 的个数显然 多于 5 的个数.所以乘积的末位有 12 个 0.

194. 【505194】(试题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲
7 整除,则空格中的数应该是多少?

)555555□999999 能够被

解 : 由 于 111111 能 够 被 7 整 除 , 所 以 555555 和 999999 能 够 被 7 整 除 , 那 么
5555550000000+999999 也能被 7 整除. 于是空格中的数也应该能够被 7 整除才行, 而满足此条件

的数只有 0 和 7.

195.

【505195】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)已知四位数 5a7b 能被

36 整除,并且 a<b,那么原四位数为多少?(5076)

196.

【505196】 (李川,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲★★)用 0,1,2,3,4 这

五个数码组成一些能被 11 整除的五位数,其中最大的是多少,最小的是多少? (43120,12034)

197.

【505197】(习题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲…)王老师为班级买了

28 个价格相同的圆规,一共付人民币 1□6.□8 元,其中□处数字相同,则每个圆规________元. 4.51. 依题意可知,28?1□6□8.28=4×7,所以该五位数要能被 4 和 7 整除.由于能被 4 整除, 所 以 □ 中 填 的 数 只 能 是 偶 数 . 经 试 验 , 只 有 12628 满 足 条 件 , 所 以 每 个 圆 规 的 价 格 是 126.28÷28=4.51 元.

198.

【505198】(习题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲…)在自然数列中由 1

开始往后数第 100 个不被 7 整除的数是________. 116. 易知每 7 个连续的自然数中,有 6 个是不被 7 整除的. 而 100=16×6+4,所以第 100 个不被 7 整除的数是:16×7+4=116.

199.

【505199】(习题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲…)从 1、 2 LL 1989

这 1989 个自然数中,最多可以取________个数,使所取出的数中,任意两个数的和是 100 的整 数倍.
20.

要使任意两个数的和是 100 的整数倍,而数的个数又显然大于 2,那么每个数都应能被
100 整除,或者除以 100 余 50.1~1989 中能被 100 整除的数有 19 个,而除以 100 余 50 的数有 20 个,因此最多能取出 20 个数.

200.

【505200】习题与详解, ( 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲…)分别写有 1、、 LL 14 2 3

的卡片各两块,任意抽出两张,并计算这两张卡片上的数的积,则这些积中有_______个不同的 数能被 6 整除.

23. 在所有可能的乘积中,最大的 6 的倍数为 12×14,为 6 的 28 倍,而在 6 的 1 倍到 6 的 28 倍中 6 的 27 倍、6 的 25 倍、6 的 23 倍、6 的 19 倍、6 的 17 倍是不可能出现的乘积,因此有 23 个乘积可以被 6 整除.

201.

【505201】(习题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲…)一个五位数,5 个

数字各不同,且是 13 的倍数,则符合以上条件的最小的数是________. 10257. 5 个数字各不同的最小的五位数是 10234,而 10234 被 13 除余 3.所以比 10234 大的能 被 13 整除的最小的五位数是 10244,但是它有 2 位相同,不符合要求.比 10244 大的能被 13 整 除的最小的五位数是 10257,符合要求.

202.

【505202】 (习题与详解, 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲…)某班人数不到 50 人,
1 1 1 的学生得优, 的学生得良, 的学生及格,则共有________个学生不及格. 7 3 2

一次测验中有
1.

由题目条件可以知道此班的学生人数能够被 7、3 和 2 整除,所以此班的学生人数能够 被 7×3×2=42 整除.而学生 不 到 50 人,因 此学生 人数 为 42 . 所以不及格 的学生人 数为
1 1 1? ? 42 × ?1 ? ? ? ? = 1 . 2 3 7? ?

203.

【505203】(习题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲…)1×3×5× LL × 1991

的末三位数是________.
625.

因为现在考虑的是末三位,所以不必考虑千位以及千位以上的数字.1×3×5× LL × 1991

的 末 三 位 数 就 是 1×3×5× LL × 999 再 乘 上 1×3×5× LL × 991 得 到 的 末 三 位 数 , 也 就 是 1×3×5× LL × 991 的平方再乘以 993×995×997×999 得到的末三位数.我们知道 1×3×5× LL × 991 的末位数必然是 5,而以 5 结尾的数的平方的末三位数只有 3 种可能:025、225 或 625.同时, 我们通过简单计算可以得到 993×995×997×999 的末三位数是 105.而 105 乘以 025、225 或 625 中的任何一个得到的末三位数都是 625,所以 1×3×5× LL × 1991 的末三位数就是 625.

204.

【505204】(习题与详解,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲…)给定两个整数,计

算他们的和、差、积,这样得到的 3 个数中: (A) 必有一个是 3 的倍数 (C) 必有一个是 2 的倍数 上面的 4 个结论中,正确的有( A,C. 我们知道, 如果两个数都不能被 3 整除的话, 那么它们的和与差之中必然有一个能被 3 整除, 所以 A 是对的.同样,可以得到 C 是对的.当这两个数是 2 和 5 的时候,B 和 D 都是不对的.所 以答案是 A 和 C. (B) 必有一个是 4 的倍数 (D) 必有两个不是质数 ) .

205.

【505205】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)若一个最大整数,

它能刚好整除所有 20 连续自然数的乘积,那么,这个最大整数是__________.(20!)

206.

【505206】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)已知 x 是自然数,

5 个 x 相乘等于 69343957,则 x 的值是__________.(37)

207.

【505207】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)设 1,3,5,7,9,

???,m 是(2n + 1)个连续的奇米,求这些奇数中能被 3 整除的所有的数的和.(当 n 被 3 整除时,和



4 2 1 4 n ;当 n 除以 3 余 1 时,和为 × (2n + 1)2 ;当 n 除以 3 余 2 时,和为 × (n + 1) 2 .) 3 3 3

208.

【505208】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)在 1996 这个数的

前面或后面添写一个数 4,所得到的 2 个五位数均能被 4 整除.现在,请你找出 1 个三位数写在 1996 的前面或后面, 使所得的 2 个七位数也能被这个三位数整除. 这样的三位数有_________个,

它们是_________.(2,499 和 998)

209.

【505209】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

) m = 3 + x ,当

x

3

x 取 1,2,3 ??? 2001 时,可被 7 整除的 m 有多少个?(287)

210.

【505210】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)数字 l、2、3、4、

5、6 每一个使用一次组成一个六位数 abcdef ,使得三位数 abc 、 bcd 、 cde 、 def 能依次被 4、 5、3、11 整除.则这个六位数是_____.(324561)

211.

【505211】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)有 15 位同学,每

位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号.l 号同学写了一个自然数,2 号说: “这个数能被 2 整除. ” 3 号说: “这个数能被 3 整除. ”??????依次下去.每位问学都说,这个数能被他的编号数整除.1 号 作了一一验证,只有编号连续的两位同学说得不对,其余同学都对.如果告诉你,l 号写的数是 六位数,且最高位是 3,那么这个数至少是多少?(300300)

212.

【505212】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)六位数 a8919b 能

被 33 整除,则这个六位数是_____.(489192,或 789195)

213.

【505213】 (湖北测试卷, 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲

)已知六位数 19

88

能被 35 整除,空格中的数字依次是_________.(4、0 或 2、5 或 9、5)

214.

【505214】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)用 8 个不同数字写

成的 8 位数中,能被 36 整除的最大数是_____.(98763120)

215.

【505215】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)一个各位数字均不

为零的三位数能被 8 整除,将其百位数字、十位数字和个位数字分别画去后可以得到 3 个两位数 (例如,按此方法由 247 将得到 47、27、24).已知这些两位数中一个是 5 的倍数,另一个是 6 的 倍数,还有一个是 7 的倍数,那么原来的三位数是__________.(656)

216.

【505216】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)七位数 13ab 45c 能

被 792 整除,则 a = ______,b = ______,c = ______.(8,0,6)

217.

【505217】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)神话中一巨蟒有

1000 个头,大力土每次能用刀砍去 1、17、21 或 33 个头,但是巨蟒又相应地生出 10、14、0 或 48 个头.若巨蟒没有了头也不再能生出头来,大力士就战胜了巨蟒.大力士能战胜巨蟒吗?请说 明理由.(大力士不能战胜巨蟒)

218.

【505218】(湖北测试卷, 五上第 05 讲, 整除, 数论第 01 讲

)在 1 × 2 × 3 × 4 ??? ×

99 中,有 99 个连续的自然数.这 99 个连续自然数乘积的末尾有_________个连续的零.(22)

219. 【505219】(湖北测试卷,五上第 05 讲,整除,数论第 01 讲

)在 947 后面添上 3 个不

同的数字,组成一个被人 2、3、5 同时整除的最小的六位数,这个数是_________.(947130)

220. 【505220】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
是 3024,求这四个数. (6,7,8,9.)

)四个连续自然数的积

221. 【505221】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
是 32736,求这三个数.(31,32,33)

)三个连续自然数的积

222. 【505222】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
自然数的积的个位数字都是 0.(…)

)证明:任意五个连续

223. 【505223】 (训练题库, 五上第 05 讲, 整除, 整数问题第 01 讲

)1 × 2 × 3 × ??? × 19 × 20,

这个乘积的末尾共有多少个 0?将这个乘积再乘上一个个位不是 0 的数,使得最后的结果的末尾 有尽量多的 0,此时,末尾将有多少个 0? (4 个)

224. 【505224】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)把自然数从 1 开始作

连乘积,即 1 × 2 × 3 × 4 × ??? 问:当乘到多少时,乘积的最末 10 位数字第一次全为 0? (45)

225. 【505225】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)右图中最上排有五个

数,将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内.第二排的四个数填完后,再依次填第三、四、 五排,第五排中的数 A 的末尾共有多少个 0?(14 个)

226. 【505226】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)将一批图书分给三个

班,他们所得的本数一个班比一个班多 3 本,且各班所得图书本数的乘积为 58968.问:三个班 各得多少本图书? (36 本,39 本和 42 本.)

227. 【505227】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)某班同学做体操时正

好可以排成一个行与列相等的方阵.做完操后,老师让班长按 5 人一组分组活动,班长算了一下 就说: 人一组分组还多 2 人. “5 ”老师马上说: “你一定算错了. ”你知道老师这样说的根据吗?(…)

228. 【505228】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)求下列各式所得结果

的个位数字: (1)222 + 333 + 444; (2)367 × 876 + 431; (3)1313 + 1717 ? 1212. ((1)3; (2)6; (3) 4.)

229. 【505229】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
??? + 7100 的和的个位数字.(0)

)求 7 + 72 + 73 + 74 +

230. 【505230】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
奇数的连乘积,其个位数可能有哪些? (1 或 5)

)八个小于 20 的不同

231. 【505231】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
+ 4 等于两个相邻自然数的乘积,试确定 n 的值.(2)

)已知 1 × 2 × 3 × ??? × n

232. 【505232】 (训练题库, 五上第 05 讲, 整除, 整数问题第 01 讲
+ 3 等于一个自然数的平方,试确定 n 的值.(3)

)已知(1 × 2 × 3 × ??? × n)

233. 【505233】(训练题库, 五上第 05 讲, 整除, 整数问题第 01 讲
的后两位数字是多少? (注:n!= 1 × 2 × 3 × ??? × n.) (13)

)1! 2! 3! ??? + 99! + + +

234. 【505234】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
它们的和是 a,它们的乘积是 b,a × b 的后两位数字是多少? (00)

) 有五个连续自然数,

235. 【505235】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
3

)已知四个数 35

2,

57, 36, 329, 3 其中哪几个可以写成平方数?这几个平方数分别是几? (3136 = 562, 5329

= 732.)

236. 【505236】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
的个位数字可能是哪些数? (0,1,5,6.)

)一个自然数的四次方

237. 【505237】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
(n3 + n)的个位数字是几?(0)

)n 是自然数(n3 ? n) ×

238. 【505238】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
10 的自然数,(n4 ? 1)不能被 5 整除,求 n.(n = 5)

)已知 n 是一个小于

239. 【505239】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

) 无论多少个末两位

数是 25 的数相乘,它们的乘积的末两位数仍是 25.我们称 25 是“变不掉的两位数尾巴”.“变不 掉的两位数尾巴”还有 76.试求出所有“变不掉的三位数尾巴”. (625 和 376)

240. 【505240】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
被 5 整除.(…)

)证明:(299 + 399)能

241. 【505241】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)证明:(7766 ? 3322)

是 10 的倍数. (…)

242. 【505242】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
44n + 55n,在 99 以内,有多少个 n 使得 A 不能被 5 整除. (24 个)

) A = 11n + 22n + 33n +

243. 【505243】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)形如 2p ? 1(p 是质数)

的质数称为梅森质数,截止到 1998 年 1 月,人们已知的最大的梅森质数是 23021377 ? 1,求它的 个位数.(1)

244. 【505244】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
负整数)的数称为费马数.求证:当 n ≥ 2 时,费马数的个位数字为 7.(…)

)形如 22n + 1(n 为非

245. 【505245】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
使得(n2 + n + 7)是 15 的倍数?为什么? (不存在.)

)是否存在自然数 n,

246. 【505246】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
能被 73 整除,那么商是多少? (86)

)如果四位数 6

8

247. 【505247】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
能被 34 整除,那么可以有多少个不同的商?(6 个)

)如果四位数 5

6

248. 【505248】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
被 3 整除的四位数有多少个?(300 个)

)个位数是 6,且能

249. 【505249】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)三个数的和是 555,

这三个数分别能被 3,5,7 整除,而且商都相同,求这三个数.(111,185,259.)

250. 【 505250 】 ( 训 练 题 库 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 整 数 问 题 第 01



)

(能)

251. 【505251】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
并能被 63 整除的最小自然数. (777777777)

)求各位数字都是 7,

252. 【505252】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)用 1,2,3,4 这四

个数码可以组成 24 个没有重复数字的四位数,其中能被 11 整除的有哪些? (1243,1342,2134, 2431,3124,3421,4213,4312.)

253. 【505253】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)从 2,3,5,7,8

五个数中任选四个能组成哪些能被 75 整除的没有重复数字的四位数?(3825,8325)

254. 【505254】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)一个三位数能被 11

整除, 去掉末位数字后所得的两位数能被 9 整除, 这样的三位数有哪些?(187, 275, 363, 451, 638, 726, 814, 902.)

255. 【505255】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)求出能被 11 整除,

首位数字是 4,其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数.(498762,401236.)

256. 【505256】 (训练题库, 五上第 05 讲, 整除, 整数问题第 01 讲
能被 11 整除,问:*代表数码几?(1)

)已知自然数 2*3*4*5*1

257. 【505257】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
被 9 整除,问:*代表数码几? (5)

)已知四位数 7**1 能

258. 【 505258 】 ( 训 练 题 库 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 整 数 问 题 第 01



)

(7)

259. 【505259】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)把一个三位数的百位

和个位上的数字互换,得到一个新的三位数,新、旧两个三位数都能被 4 整除.这样的三位数共 有多少个?(40 个.)

260. 【505260】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
一个数码,使新得到的六位数能被 45 整除. (282645 或 782640)

)在 8264 的左右各添

261. 【 505261 】 ( 训 练 题 库 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 整 数 问 题 第 01
讲 ) (31075)

262. 【505262】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)在 666 后面补上三

个数码组成一个六位数,使这个六位数能被 783 整除,应当怎样补?(666333)

263. 【505263】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)在 5678 这个数的前

面或后面添写一个数 2,所得到的两个五位数都能被 2 整除.现在请你找出一个三位数添写在 5678 的前面或后面, 使所得的两个七位数都能被这个三位数整除. 满足题意的三位数有哪几个? (167 和 334)

264. 【505264】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
字各不相同,且是 17 的倍数,符合条件的最小四位数是多少? (1037)

)一个四位数,四个数

265. 【505265】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
乘积的最后三位数是 321,求满足此条件的最小自然数. (859)

)一个自然数与 19 的

266. 【505266】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)一个整数乘以 17 后,

乘积的后三位是 999,求满足题意的最小整数.(647)

267. 【505267】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
否被 9009 整除? (能)

)1 × 2 × 3 × ??? × 15 能

268. 【505268】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
87 × 88,A 能否被 6188 整除? (能)

)A = 61 × 62 × 63 × ??? ×

269. 【505269】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)从 1~ 9 这九个数中

选出六个不同的数字组成一个能被 11 整除的六位数,求出这样的六位数中最大的与最小的两数 之和.(987635 + 123475 = 1111110.)

270. 【505270】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)用 1~ 9 这九个数码

组成一个没有重复数字的能被 11 整除的九位数,这样的九位数有 31680 个,求出其中最大的和 最小的. (987652413,123475869)

271. 【505271】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)

(5)

272. 【505272】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)能否用 1, 2, 3,

4, 5, 6 六个数码组成一个没有重复数字,且能被 11 整除的六位数?为什么?(不能)

273. 【505273】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
的八位数中,能被 36 整除的最小的数是几? (10237896)

)用 8 个不同数码组成

274. 【505274】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)用 1—9 这九个数码

各一次, 组成三个分别能被 7, 11 整除的三位数, 9, 并要求这三个数的和尽可能大. (721, 954, 836)

275. 【505275】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)将自然数 N 接写在

任一个自然数的右面,得到的新数都能被 N 整除.例如将 2 写在任一自然数的右面,得到的新数 都能被 2 整除.在 1~100 中, 满足条件的自然数 N 有哪几个? (1,2,5,10, 20, 25,50,100. )

276. 【505276】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
都是 1 的自然数,并且是 7 的倍数,求这样的数中最小的那个数.(111111)

)111???11 是各位数字

277. 【 505277 】 ( 训 练 题 库 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 整 数 问 题 第 01



)

(能)

278. 【505278】 (训练题库, 五上第 05 讲, 整除, 整数问题第 01 讲

)已知 A 是一个自然数,

它是 15 的倍数,并且它的各个数位上的数码只有 0 和 8 两种.问:A 最小是几?(8880)

279. 【 505279 】 ( 训 练 题 库 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 整 数 问 题 第 01



)

(546)

280. 【505280】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
+ c = 12,求必定能整除这个三位数的最大自然数.(4)

)在三位数 abc 中, 2b

281. 【505281】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
各位数字的和得到 19 9, 中的数字是几? (8)

)一个四位数减去它的

282. 【505282】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)用 1~9 这九个数码

各一次,组成三个能被 9 整除的三位数,要求这三个数的和尽可能大,求这三个数.(954,873 和 621.)

283. 【 505283 】 ( 训 练 题 库 , 五 上 第 05 讲 , 整 除 , 整 数 问 题 第 01
讲 ) A 和 B. (A

= 4,B = 2)

284. 【505284】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)用 1,3,5,7,9

中的任意一个数与 2,4,6,8 中的任意一个数相乘,在所有不同的积中有多少个能被 6 整除?(9 个)

285. 【505285】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)在 1~13 中任意取两

个不同的数相乘,可以得到许多不相等的乘积,在所有这些不同的乘积中有多少个能被 6 整除? (20 个)

286. 【505286】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)有一个 2000 位的数

A 能被 9 整除,它的各位数字之和为 a,a 的各位数字之和为 b,b 的各位数字之和为 c.c 等于多 少? (9)

287. 【505287】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)已知自然数 A 的各个

数位上的数码之和与 3 × A 的各个数位上的数码之和相等,证明 A 必能被 9 整除. (…)

288. 【505288】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)小马虎买了 72 支同

样的钢笔,可是发票不慎落水浸湿,单价已无法辨认,总价数字也不全,只能认出: 11.4 元 ( 表示不明数字).你能帮助小马虎找出不明数字吗?(811.44.)

289. 【505289】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)小明买了 6 支铅笔、

2 支圆珠笔、 3 本笔记本和 7 块橡皮,总共用去 2 元 9 角钱.已知圆珠笔 3 角 9 分 1 支,橡皮 6

分 1 块,售货员算错帐了吗? (错了)

290. 【505290】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)商店里有六箱货物,

分别重 15,16,18,19,20,31 千克,两个顾客买走了其中五箱.已知一个顾客买的货物重量 是另一个顾客的 2 倍.问:商店剩下的一箱货物重多少千克?(20 千克)

291. 【505291】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)有一水果店进了六筐

水果,分别装着香蕉和桔子,重量分别为 8,9,16,20,22 和 27 千克.当天只卖出一筐桔子, 在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的 2 倍.问:这天水果店进了多少千克香蕉?(50 千克)

292. 【505292】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)55 个苹果分给甲、

乙、丙三人,甲的苹果个数是乙的 2 倍,丙最少但也多于 10 个.问:三人各得多少苹果? (甲 28 个,乙 14 个,丙 13 个.)

293. 【505293】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)四名学生做加法练习:

任写一个六位数,把它的个位数字(不等 0)拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位 数,然后与原六位数相加,他们的得数分别为 172535,568741,620708,845267,其中只有一名 同学做对了.问:正确答案是几? (620708.)

294. 【505294】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
奇数的和一定是 4 的倍数.( …)

)证明:任意两个连续

295. 【505295】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
偶数的乘积是 8 的倍数. (…)

)证明:任意两个连续

296. 【505296】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
偶数的和一定是 6 的倍数.(…)

)证明:任意三个连续

297. 【505297】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
奇数的和一定是 3 的倍数.(…)

)证明:任意三个连续

298. 【505298】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
自然数的乘积是 6 的倍数.(…)

)证明:任意三个连续

299. 【505299】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
数的和、差、积中,至少有一个能被 3 整除.(…)

)证明:任意两个自然

300. 【505300】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
数比丙数也大 5,试说明三数之和、三数之积都能被 3 整除.(…)

)甲数比乙数大 5,乙

301. 【505301】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
数,才能使给出的数中总能选出 3 个,使得它们的和是 3 的倍数.(5 个)

)至少给出多少个自然

302. 【505302】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)证明:任何一个三位

数,连着写两遍得到一个六位数,这个六位数一定能被 7,11,13 整除.(…)

303. 【505303】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除?(不能)

)能不能将从 1 到 10

304. 【505304】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)1—9 九个数字按右

图所示的次序排成一个圆圈,请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个 九位数.如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除,那么应在何处剪开? (在 7 和 5 之间剪开.)

305. 【505305】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
组成的整数是否有可能是平方数?(不可能)

)用六个 2 和若干个 0

306. 【505306】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲
平方数吗?为什么?(… )

)111111111111111 是

307. 【505307】(训练题库,五上第 05 讲,整除,整数问题第 01 讲

)从 1~1000 中选出一 (56 个)

些数,使得这些数中任意两个数的和都能被 18 整除.这样的数最多能选出多少个

1.

将从l开始的自然数的平方连续写成一个大的自然数, 当写到42 = l6时, (2004年ABC卷)

这个大的自然数14916第一次能被11整除,当写到_______的平方时,这个大的自然数第二次 能被11整除.(7) 在A卷第3题中,当写到_______的平方时,这个大的自然数第三次能被11整除.(12)

2.

(2004年ABC卷)设上题的答数是d(110) . 已知五位数N=32 1 能被(d + 36)整除.那么,N=________. (32412)

3.

(2004年ABC卷)有一个六位数 AB 2004 能被97整除,那么 AB = _______(36)

4.

(2004年ABC卷)设上题答数为h(易;2).若整数A使得(A ? 40 ? h)能整除(42 × A ? 1),那么

所有这样的A是_______.(43,83,85,1805)
5.

(2004年ABC卷)若四位数 9a8a 能被15整除,则 代表数字__________.

(5)

6.

(2004年ABC卷)要使六位数15

6能够被36整除而且所得的商最大,

内应填

_________.(987)

7.

(2004年ABC卷)八位数

(0或7)

8.

(2004年ABC卷)1949 × 1950 × 1951 ×??????× 2003 × 2004的积中,末尾的非零数字是(

) (4)

9.

(2004年ABC卷)将自然数1,2,3??????依次写下去组成一个多位数,如果写到某一个自然数

时恰好能被72整除,那么这个多位数的各位数字之和最少是_________.(207)

10. (2004年ABC卷)一串数1,4,7,10??????397,400相乘,则所得的积的尾部零的个数为 _________.(34)

11. (2004年ABC卷)在数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干数之和能被 11整除的数组共有______个.(7)

12. (2003ABC卷)一个自然数8 ________. (85138)

1 8,除以13余1,除以37也余1.这个自然数是

13. (2003ABC卷)举出一组正整数a=_____,b=______,使得 整除.(…)

能被

14. (2003ABC 卷) 上题答案的
1 为 D(72). 2

从如下的一串数
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4???

中连续取前面的若干个数码可以得到一个自然数,如 1234,1234123 等等,那么,在这些自 然数中能被 D 整除的自然数至少要连续取前面的________个数码.(26)

15. (2003ABC 卷)若干个连续自然数 1×2×3??????的积中最末 25 位都是零,那么最大的一个自然

数是(

) (109)

16. (2003ABC 卷)六位数 2003

能被 99 整除,它的最后两位数是 __________.

(76)

17. (1999ABC 卷)有一个数在 700~800 之间,用 15,18 和 24 去除都不能整除,如果把这个 数减 1,那么就能同时被 15,18 和 24 整除,这个数是( ). (721) 18. (1999ABC 卷)能够同时被 3,4,5 整除的最小五位数是( ). (10020)

19. (1999ABC 卷)有一类数,它们的 15 倍减 1 能被 1999 整除.这类数中最小的一个是__ _. (1466)

20. (1999ABC 卷)在 1,3,5,9 中,选出三个数字来组成能被 3 整除的三位数.那么,这样 的三位数中最大的一个数是______. (951) 21. (1999ABC 卷)已知 1 × 2 × 3 × 4 × ??? × 1998 = 21n × a,其中 21n 表示有 n 个 21 连乘,a 是 自然数,那么 n 最大是( ). (330) 22. (1999ABC 卷).用 1,2,3 ??? 9 的 9 张数字卡片组成一个九位数,左起第一位是 1 的倍数, 左起前两位是 2 的倍数,左起前三位是 3 的倍数.??????左起前八位是 8 的倍数,当然这个九位数 一定是 9 的倍数,这个九位数是( ). (381654729) 23. (1999ABC卷)从1.2,3,4,5中选出四个数字组成一个四位数,它分别能被3,5,7整除, 这样的数是______. (2415) 24. (1999ABC 卷)两个两位整数的乘积是 6232,这两个数中较大的数是________.(82) 25. (1999ABC 卷) 填一个最小的自然数, 225 × 525 × ( 使 )的积的末尾四位数字都是 0. (16)

26. (2002ABC卷)已知在乘积1 × 2 × 3× ??? × n的尾部恰好有106个连续的零,自然数n的最大值 是________. (434) 27. (2000ABC 卷)能被 13 整除且各位数字均不相同的最大四位数是_______ (9867)

28. (2000ABC 卷)有 34 个连续的奇数,末数恰好是首数的 7 倍,首数是_______ (11) 29. (2000ABC卷)已知五个数依次是24,25,17,20,15.它们每相邻的两个数相乘得四个数, 这四个数每相邻的两个数相乘得三个数,这三个数每相邻的两个数相乘得两个数,这两个数相乘 得一个数.问:最后这个数从个位起向左数,可以连续地数出几个0? (11)

30. (2000ABC卷)设a,b使得6位数 a 2000b 能被26整除.所有这样的6位数是____. (520000, 420004,320008) 31. (2002ABC卷)七位数274 81○的末位数字是_________时,不论千位上是几,这个七位数 都不是11的倍数. (4) 32. (2002ABC卷) 111 ? ? ?3 能被13整除,n最小是______.(6) 1 24 4 11
n个1

33. (2002ABC 卷) 一个六位数 6285

, 它能被 79 整除, 这个六位数的后两位是______. (24)

34. (2002ABC卷)270n 是 200 × 199 × 198 × ??? × 3 × 2 × 1 的因数,n最大可以是 __________. (32)

35. (2002ABC卷)如果

能被77整除,那么a=_________;b=_________.(4;2)

36. (2002ABC卷)已知五位数a = 32

2可以被156整除,那么a =____ .(32292)

37. (2000ABC卷)设6个口袋分别装有18,19,21,23,25,34个小球.小王取走了其中的3袋, 小李取走了另外的2袋.若小王得到的球的个数恰好是小李得到的球数的2倍,则小王得到的球的 个数为____.(78) 38. (2000ABC 卷)在 1 × 2 × 3 × ??? × 100 的积中,从右边数第 25 个数字是______.(4) 39. (2000ABC卷)已知从1开始连续n个自然数相乘, 1 × 2 × 3 × ??? n 乘积的尾部恰有25个连续的0,那么n的最大值是______.(109) 40. 41. (2000ABC 卷)用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字排成一个最小的能被 11 整除的 九位数,这个九位数是____. (123475869) (1999ABC 卷)已知六位数 ab1999 能被 37 整除.在这个六位数的某两位之间 加上一个小数点,要求加上小数点后所得的整数部分仍能被 37 整除.这个小数点应加在哪? (ab1.999) 42. (1999ABC卷)A=61 × 62 × 63 ×???× 87 × 88,A能否被6188整除? (能)

43. (1999ABC 卷)a 是自然数,且

,求 a 的最小值. (65359477124183)

44. (1999ABC 卷)将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数排成一行,使得第二个数整除前两 个数的和,第四个数整除前三个数的和??????第九个数整除前八个数的和.如果第一个数是 6,第四 个数是 2,第五个数是 1,问:排在最后的数是几? (5) 45. (1999ABC 卷)有一个数码彼此不同的五位数,它能被 16 整除,商数的个位、百位、千位 都比十位大 1.借问能算者,五位数是什么? (53168)



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