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2016湖北艺术职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 湖北艺术职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、已知集合 M={y| y=x+1},N={(x,y)|x 2 +y 2 =1},则 M A.0 B.1 C.2 D.多个 N 中元素的个数是

2、已知复数 A.1

=a+i,z2=1+a B.-1
x

2

i,若

是实数,则实数 a 的值等于 D.2

C.-2

3、若函数 f (x)= e sin x,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为

A.

B.0

C.钝角

D.锐角

4、连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角 的概率是

A.

B.

C.

D.

5、平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n≥3)维向 量, n 维向量可用(x1,x2,x3,x4,…,xn)表示.设 b2, b3, b4,…,bn), 规定向量 与 夹角θ的余弦为 =(a1, a2, a3, a4,…, an), =(b1,

。 当 =(1,1,1,1,…,1), =(-1, -1, 1, 1,…,1)时, =

A、

B、

C、

D、

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6、函数 f (x)为奇函数且 f (3x+1)的周期为 3,f (1)=-1,则 f (2006)等于 A.0 B.1 C.一 1 D.2

7、在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3, 则 锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A.1∶ B.1∶9 C.1∶ D.1∶

8、在 ΔABC 中,

,若 ΔABC 的最长边为

,则最短边的长为

A.2

B.

C.

D.1

9、{an}为等差数列,若 值时,n= A.11

,且它的前 n 项和 Sn 有最小值,那么当 Sn 取得最小正

B.17 C.19 D.21

10、设对任意实数 x∈[?1, 1],不等式 x2+ax?3a<0 总成立,则实数 a 的取值范围是 A.a>0 B.a>0 或 a<?12 C. D.

11、已知 值范围是 A、

,且函数



上具有单调性,则 的取

B、

C、

D、

12、如果直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my-4=0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x-y=0 kx-my≤0 对称,动点 P(a,b)在不等式组: y≥0 表示的平面区域内部及边界上运动,则ω =
2 2

(

的取值范围是 )

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A、 B、 C、 ∪ D、

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填 在横线上.) 13、将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A(0,2)与点

B(4,0)重合.若此时点 C(7,3)与点 D(m,n)重合,则 m+n 的值
是 .

14、如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A,B,C 为其上 的三个点,则在正方体盒子中,∠ABC 等于 15、若 则 16、有下列命题: ① G=(G≠0)是 a,G,b 成等比数列的充分非必要条件; ② 若角 α,β 满足 cosαcosβ=1,则 sin(α+β)=0; ③ 若不等式|x-4|+|x-3|<a 的解集非空,则必有 a≥1; ④ 函数 y=sinx+sin|x|的值域是[-2,2]. . , ______(用数字作答).

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其中正确命题的序号是 上) .(把你认为正确的命题的序号都填

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17、(本小题满分 12 分) 某次有奖竞猜活动中,主持人准备了 A、B 两个相互独立的问题, 并且宣布:观 众答 对问题 A 可获奖金 a 元,答对问题 B 可获奖金 2a 元;先答哪个题由观众自由选择;只 有第 1 个问题答对,才能再答第 2 个问题,否则中止答题。若你被选为幸运观众,且假设 你答对问题 A、B 的概率分别为 的期望较大?说明理由。 、 。你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金

18、(本小题满分 12 分) 若函数 切,并且切点的横坐标依次成公差为 (Ⅰ)求 m 的值; 的图象与直线 的等差数列. (m 为常数)相

(Ⅱ)若点 标.



图象的对称中心,且

[0,

],求点 A 的坐

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19、(本题满分 12 分) 如图,O 是半径为 l 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、OC 两两垂直,E、 F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点, ⑴ 求点 E、F 在该球面上的球面距离;

⑵ 求平面 OEF 与平面 OBC 所成的锐二面角。(用反三角 函数表示)

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20、(本题满分 12 分) 已知数列 的前 项和为 ,对一切正整数 ,点 . 都在函数

的图象上,且过点 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若 (Ⅲ)设 任一项 式. ,其中 是 的通项公式; ,求数列

的切线的斜率为

的前 ,

项和为

; ,等差数列 ,求 的

中的最小数,

的通项公

21、 (本题满分 12 分) 如图,设抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,P(x0, y0)为抛物线上的任一点(其中 x0≠ 0),过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点.

(1)证明:



(2)Q 点关于原点 O 的对称点为 M,过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 ,求 的值.

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22、(本小题满分 14 分)已知函数 为正

的最大值

实数,集合 (1)求 (2)定义 设 自 和 与 ; 的差集:

,集合



且 。

。 的概率, 。 为 取

, , 均为整数,且 的概率,写出

为 取自 ,

与 的二组 值,使 ..

(3)若函数

中, ,

是(2)中 较大的一组,试写出

在区间[

,

]上的最大值函数

的表达式。

参考答案
一、选择题:

题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 D

5 D

6 B

7 D

8 D

9 C

10 C

11 A

12 C

简答与提示: 1、集合 M 是函数 y=x+l 的函数值的集合,集合 N 是圆上的点集.

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2、

,故 a 3+1=0,得 a =-1.

3、

.

4、若使夹角 5、按定义计算

,则有-m+n<0 即 m>n,其概率为

.

6、由已知 f (3x+1)=f[3(x+3)+1]=f(3x+1+9),所以 f(x)的周期为 9, f(2006)=f(2007-1)=f(-1)= -f(1)=1. 7、面积比是相似比的平方,体积比是相似比的立方

8、由





∴∠C 的对边 AB 为最长边,∠B 的对边 AC 为最短边,由正弦定理得:

9、∵Sn 有最小值,∴d<0 则 a10>a11,又

,∴a11<0<a10 ∴a10+a11<0,

S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0, S19=19a10>0 又 a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…
∴S10>S9>…>S2>S1>0, S10>S11>…>S19>0>S20>S21>… 又∵S19?S1=a2+a3+…+a19=9(a10+a11)<0 ∴S19 为最小正值

10、由不等式 x2+ax?3a<0, x∈[?1, 1]时恒成立,可得不等式 时恒成立,令

,x∈[?1, 1]

,由 x∈[?1, 1]得 3?x∈[2, 4],当

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3?x=3 即 x=0 时,函数 f(x)有最小值 0,又

11、







12、 M、N 关于直线 x-y=0 对称

且圆心

在直线 x-y=0 上,从而

;ω = 二、填空题:
34 13、 5

看成斜率。

14、60

o

15、0

16、①②③④

简答与提示: 13、直线对称 14、将正方体复原
15、0 两边求导,再分别把 x 赋值 x=2,x=0,最后把所得两式相乘即得.

16、①注意到 G≠0; ②cosαcosβ=1

cosα=cosβ=1 或 cosα=cosβ=-1; 1;

③ 记 f(x)=|x-4|+|x-3|<a,依题意则有 a≥

④ y=sinx+sin|x|



三、解答题:

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17、(本小题满分 12 分) 解:设甲先答 A、B 所获奖金分别为 元,则有

…… 3 分

……6 分

…………10 分 由于两种答序获奖金的期望相等,故先答哪个都一样。 分 …………………………12

18、(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)

…………………………………4 分 ∵ 的图象与 相切.

∴m 为 分

的最大值或最小值.





……6

(Ⅱ)又因为切点的横坐标依次成公差为 为 .

的等差数列.所以

最小正周期



所以

……………………………8 分

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即 ……………………………………9 分



.则

………………………10 分

由 0≤



得 k=1,2,

因此对称中心为





……………………………12 分

19、(本题满分 12 分)

解:⑴解法一:如图 1,证明 0M=0N=MN=

AB=

BC=

AC,从而∠MON=

∴点 E、F 在该球面上的球面距离为

.

解法二:如图 2,补形易证:∠EOF=∠GOH =

.

解法三:其实

,易证:∠EOF=

.

解法四:如图 3,建立空间直角坐标系,易知 E( )

,0,

)、F(0,

,



,从而∠EOF =

.

…………………6 分

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⑵ 解法一:如图 1,取 BC 中点 P,连接 AP 交 MN 与 Q,则易证,∠POQ 就是所求二 面角的平面角。

在三角形 OPQ 中,OP=

,PQ=OQ=

AP=

,可解得 cos∠POQ=



∴∠POQ=arcos

(=arctan

).

……………………………12 分

解法二:如图 2,补形成正方体去解决. 解法三:如图 3,建立空间直角坐标系去求解。

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20、(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为点 所以 当 当 时, 时, (*) 令 , ,也满足(*)式 的通项公式是 求导可得 . …………………………………4 分 ……………3 分 ……………………………………………2 分 都在函数 的图象上

所以,数列 (Ⅱ)由

∵ 过点 ∴ 又∵ ∴ ∴ 可得

的切线的斜率为 …………………………………………………………5 分

……………………………6 分 ① 由①

② ①-②可得

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∴ (Ⅲ)∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ……………………………………………………8 分 , --------------------------- 10 分 ,其中 是 中的最小数,

, --------------------------- 11 分 ( 的公差是 4 的倍数!)

∴ ∴ 设等差数列

解得 ………………………………………………………………………10 分 的公差为

则 ∴ 所以, 的通项公式为 . ……………………………12 分

21、(本题满分 12 分) (1)证明:由抛物线定义知 ,(2 分)

,可得 PQ 所在直线方程为 x0x=2(y+y0), 分 得 Q 点坐标为(0, -y0),∴ 分

………………………4

,∴ |PF|=|QF|,∴△PFQ 为等腰三角形。 …6

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(2)设 A(x1, y1),B(x2, y2),又 M 点坐标为(0, y0), ∴AB 方程为 ,

由 由

得 得: , ∴ ……②

……①

由①②知 ∴ ,又

,得 ,解得:

,由 x0≠0 可得 x2≠0, . ………………………………12 分

22、(本小题满分 14 分) (1)∵ 由 ∴ (2)要使 ① 则 ② 则 (3)由(2)知 中有 3 个元素, 。 中有 6 个元素, , 得最大值 , 。可以使 中有 2 个元素, 中有 1 个元素。 ,配方得 ,

。……………………………………………3 分 。 …………………………5 分

…………………………………………………………………8 分 中有 4 个元素, 中有 2 个元素。

……………………………………………………………………10 分 …………………………11 分

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……………………………………………14 分


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