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直线的参数方程


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选修4-4 极坐标与参数方程

直线的参数方程
南侨中学数学组 王振清

2016年4月13日

一、创设问题情境 问题1:数轴是怎样建立的? 原点、单位长度、正方向 问题2:数轴上点的坐标的几何意义是什么? 你能应用向量知识解释吗?

? O e

A
0 1

M
2 m

x

| m |?| OM 几何意义:

|

???? ? ? ? 向量解释: ? OM ? m?e ???? ? ? ? ?| OM |?| m ? e |?| m | ? | e |?| m |

二、探索直线的参数方程
问题3:如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴, 那么直线上的点就有了两种坐标,怎样选择单位长度和 方向才有利于两种坐标的转换? 问题4:已知直线 l 过点 M 0 , M 是直线上的任意一点,当

以定点为原点;单位长度一致;向上(或向右)为正方向.

M 运动时,点 M 满足怎样的几何条件? y

?????? ? ? M 0 M ? te

M(x,y)

M0(x0,y0)

? e
x

O

二、探索直线的参数方程
问题5:如何确定直线 l 的单位方向向量?

? e ? (cos ? ,sin ? )

倾斜角

问题6:已知倾斜角为 ? 的直线 l 过定点 M 0 ( x0 , y0 ), 你能写出直线 l 的参数方程吗? y M(x,y)

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

? e
O

?

M0(x0,y0)

x

课堂归纳1 ? x ? x0 ? t cos ? 1.直线的参数方程:? ( t 是参数). ? y ? y0 ? t sin ?
2.直线的参数方程中,常量有 变量有 3.参数

x0 , y0 , ?



x, y , t

.

t 的几何意义: | t |?| MM0 |
? t ? 0;

4.点 M 在点 M 0 的上方 点 M 在点 M 0 的下方

? t ? 0;

点 M 与点 M 0 重合

? t ? 0.

随堂巩固
1.直线 x ?

y ? 1 ? 0的一个参数方程是

.

0 ? x ? 3 ? t sin 20 ? 2.直线 ? ( t 为参数)的倾斜角是 0 ? ? y ? t cos 20

.

三、知识应用 知识应用
例1:已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x 交于 A, B 两点,求线段AB 的长和点 M (?1, 2) 到 A, B 两点的距离 的积.
2

分析:
1.用普通方程去解还是用参数方 程去解? 2.分别如何解? 3.点M是否在直线上?

y

A

M(-1,2)

O

B

x

例1:已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x 交于 A, B 两点,求线段AB 的长和点 M (?1, 2) 到 A, B 两点的距离 的积. ? x ? y ?1 ? 0 2 由 得: x ? x ?1 ? 0 (1) 解法1: ? 2
2

三、知识应用

?y? x ?由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?1 ,x1 ? x2 ? ?1

? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 5 ? 10

3? 5 3? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? y1 ? ,y2 ? 由(1)解得:x1 ? ,x2 ? 2 2 2 2
?1? 5 3? 5 ?1? 5 3? 5 记 直 线 与 抛 物 线 的 交坐 点 标A( , ),B( , ) 2 2 2 2
则 MA ? MB ? ( ?1 ? ?1? 5 2 3? 5 2 ?1? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

三、知识应用
例1:已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x2 交于 A, B 两点,求线段AB 的长和点 M (?1, 2) 到 A, B 两点的距离 的积. 解法2:利用直线的参数方程. 1.如何写出直线 l 的参数方程? 设而不求!

2.需要求 A, B分别对应的参数值 t1, t2吗? 3.| AB |,| MA | ? | MB | 与 t1 , t2 有何关系?

三、知识应用
变式训练:已知直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F, 1 1 为定值. 且抛物线交于A, B 两点,求证: ? | FA | | FB |

课堂归纳2
问题7:通过例题与变式的解决,你能否归纳出一般性 结论?

5.弦长公式: | M

1

M 2 |?| t1 ? t2 |

考题再现
3.(2015年陕西文科)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 1 ? x ? 3 ? t ? 2 ( ? x 轴的正半轴为极轴 t 为参数).以坐标原点为极点, ? ?y ? 3 t ? ? 2 ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . 建立极坐标系, (I)写出? C 的直角坐标方程; (Ⅱ) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点
P 的坐标.

四、归纳总结

1.本节课学习了哪些知识?

2.本节课学习了哪些数学思想方法?

五、课后作业
1.必做: 课本P39:习题2.3第1题; 《优化设计》P28:即时巩固6.

2. 选做: 《优化设计》P29:能力提升10.

谢 谢!


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