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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第6篇 第1节 不等关系与不等式课件 理


第六篇 第1节

不等式(必修5) 不等关系与不等式

最新考纲 1.了解现实世界和日常生活 中的不等关系.

2.了解不等式(组)的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.

编写意图

不等关系与不等式在高考中往往与其他知识结合考查 ,

以选择题为主,

难度不大.但是不等式的性质却是解不等式、证明 不等式的必要工具,大多数的错误源于忽略性质的使用条件 ,因此 在复习时要加以重视.本节重点突出不等式的性质和实数的大小比 较,难点是利用不等式的性质求变量的取值范围.注重整体代入思

想、转化化归思想的应用.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
知识梳理
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 设a,b∈R,则 (1)a>b? a-b>0 (2)a=b? a-b=0 (3)a<b? a-b<0 ; ; .

抓主干

固双基

2.不等式的基本性质 见附表

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ①a>b,ab>0? ②a<0<b?
1 1 < . a b

1 1 < . a b (2)有关分数的性质

若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质
b b?m b b?m < ; > (b-m>0). a a?m a a?m

②假分数的性质
a a?m a a?m > ; < (b-m>0). b b?m b b?m

基础自测
1.(2014 深圳二模)设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的 A ) ( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若 x≥1 且 y≥2,则 x+y≥3, 若 x+y≥3,x≥1 且 y≥2 不一定成立. 所以“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的充分而不必要条件. 故选 A.

2.限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h,写成不等式就是( (A)v<40 km/h (B)v>40 km/h (C)v≠40 km/h (D)v≤40 km/h

D

)

解析:由汽车的速度 v 不超过 40 km/h, 即小于等于 40 km/h.即 v≤40 km/h,故选 D.

3.下列命题正确的是 ①若
a >1,则 a>b; b

.

②在一个不等式的两边同乘以一个非零实数,不等式仍然成立; ③同向不等式具有可加性和可乘性;
1 ④设 a、b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”成立的既不充分也不 a

必要条件;
1 1 ⑤若 a>b,则 < . a b

解析:b<0 时①不成立;如果不等式两边同乘以一个负数,不等号方 向改变,②错;只有正的同向不等式才具有可乘性,③错;当 a<0 时,0<ab<1 不成立.
答案:④

b<

1 1 且 b< a a

0<ab<1,④正确;当 a>0,b<0 时,⑤

4.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则 a-b 的取值范围是

.

解析:∵-3<b<-2,

∴2<-b<3.
又∵-2<a<-1, ∴0<a-b<2.

答案: (0,2)

5.已知 a1≤a2,b1≥b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是

.

解析:由 a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1) =a1(b1-b2)+a2(b2-b1) =(a1-a2)(b1-b2), ∵a1≤a2,b1≥b2, ∴(a1-a2)(b1-b2)≤0, 即 a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.
答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1

考点突破

剖典例

找规律

考点一 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超

过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型
汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上 述所有不等关系的不等式.

解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,
?40 x ? 90 y ? 1000, ? 4 x ? 9 y ? 100, ? x ? 5, ? x ? 5, ? ? 即? ? y ? 6, ? ? y ? 6, ? x, y ? N* . ? x, y ? N * . ? ?



反思归纳

用不等式(组)表示不等关系

(1)分析题中有哪些未知量.

(2)选择其中起关键作用的未知量,设为x或x,y再用x或x,y来表示
其他未知量. (3)根据题目中的不等关系列出不等式 (组). 提醒:在列不等式(组)时要注意变量自身的范围.

【即时训练】已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如表:
甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 600 800 乙 700 400

设用甲、乙两种食物各 x kg,y kg 配成至多 100 kg 的混合食物,并使混合食物 内至少含有 56000 单位维生素 A 和 62000 单位维生素 B,则 x,y 应满足的所有不 等关系为 .

? x ? y ? 100, ? x ? y ? 100, ?600 x ? 700 y ? 56000, ?6 x ? 7 y ? 560, ? ? 解析:x,y 所满足的关系为 ? 即? 800 x ? 400 y ? 62000, ? ? 2 x ? y ? 155, ? ? x ? 0, y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0. x ? y ? 100 ? ?6 x ? 7 y ? 560 ? 答案: ? ? 2 x ? y ? 155 ? ? x ? 0, y ? 0

考点二
( )

不等式的性质
2

【例 2】 (1)(2014 甘肃张掖第三次诊断)设 a,b∈R,则(a-b)·a <0 是 a<b 的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (A)
a b > d c

(B)

a b < d c

a b (C) > c d

a b (D) < c d

解析:(1)(a-b)·a <0,则必有 a-b<0, 即 a<b; 2 而当 a<b 时,不能推出(a-b)·a <0, 如 a=0,b=1. 所以(a-b)·a2<0 是 a<b 的充分而不必要条件.故选 A.
(2)由 c<d<0? a b < ,故选 B. d c 1 1 a b >- >0,又 a>b>0,故由不等式性质,得- >- >0,所以 d d c c

2

反思归纳

判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反

例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方 式可从以下几个方面思考:①不等式两边都乘以一个代数式时,所乘 的代数式是正数、负数或0;②不等式左边是正数,右边是负数,当两 边同时平方后不等号方向不一定保持不变 ;③不等式左边是正数,右 边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等 .

【即时训练】(1)如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是(
(A)
1 1 < a b
2

)

(B)ab<b2 (D)1 1 <a b

(C)-ab<-a

(2)(2014 青海西宁二模)已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( (A)若 a>b,则 ac2>bc2 (B)若
a b > ,则 a>b c c 1 1 > a b 1 1 < a b

)

(C)若 a3>b3 且 ab<0,则 (D)若 a >b 且 ab>0,则
2 2

解析:(1)由 a<b<0 得 ab>0,则
1 1 所以- >- .故选 D. b a

a b 1 1 < ,即 < , ab ab b a

(2)当 c=0 时,可知 A 不正确;当 c<0 时,可知 B 不正确;由 a3>b3 且 ab<0 知 a>0>b, 则
1 1 > ,故 C 正确;当 a<0,b<0 时,可知 D 不正确.故选 C. a b

考点三

比较大小
x 1 +1),n=(x+ )·(x2+x+1),则 m,n 的 2 2

【例 3】 已知 x∈R,m=(x+1)(x2+ 大小关系为( (A)m≥n ) (C)m≤n

(B)m>n

(D)m<n

x ? x ? ? ? 解析:m=(x+1) ? x2 ? ? 1? =(x+1) ? x 2 ? x ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ?

=(x+1)(x +x+1)-

2

x (x+1), 2

1? 1? 1 2 ? ? n= ? x ? ? (x2+x+1)= ? x ? 1 ? ? (x2+x+1) =(x+1)(x2+x+1)(x +x+1), 2 2? 2? ? ?

x ? ? 1? 2 ? ∴m-n=(x+1) ? x2 ? ? 1? - ? x ? ? (x +x+1) 2 ? ? 2? ?
1 2 1 = (x +x+1)- x(x+1) 2 2 1 = >0. 2

则有 x∈R 时,m>n 恒成立.故选 B.

反思归纳 (1)作差法

比较大小常用的方法

一般步骤是①作差;②变形;③判号;④定论.其中变形是关键,常采用因 式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式 .当两个式子都含 有开方运算时,可以先乘方再作差. (2)作商法

一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
作商比较大小时,要注意分母的符号避免得出错误结论. (3)特值法 对于选择题可以用特值法比较大小.

【即时训练】 (1)(2014 深圳模拟)对于 0<a<1,给出下列四个不等式:
1 1 ? 1 1 1+a ①loga(1+a)<loga(1+ );②loga(1+a)>loga(1+ );③a < a a ; a a 1 a

④a > a

1+a

1?

. ) .

其中成立的是(

(A)①与③ (B)①与④ (C)②与③ (D)②与④ (2)若 a=1816,b=1618,则 a 与 b 的大小关系为

a ? 1?? a ? 1? 1 1 ? 解析:(1)当 0<a<1 时,(1+a)(1+ ) = <0,则 1+a<1+ , a a a

因此②④成立.故选 D. 16 16 a 1816 ? 18 ? 1 ? 9 ? 1 16 9 16 (2) = 18 = ? ? =? ? ( ) =( ) , 2 b 16 2 8 2 ? 16 ? 16 ? 8 ?

9 8 2 9 8 2

∈(0,1), )16<1,

∴(

∵1816>0,1618>0, ∴1816<1618.即 a<b.
答案: (1)D (2)a<b

助学微博
1.在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,注意放宽条件

和加强条件与其结论的关系,以及条件与结论间的相互联系.
2.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件” 两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理 论基础.

3.由 a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求 g(x1,y1)的取值范围,可利用待定 系数法解决,对已知的范围要整体代换,而不能求出变量 x1,y1 的范围, 否则范围扩大.

思想方法

融思想

促迁移

利用方程思想求解变量的取值范围
【典例】 设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.
解:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.

?m ? n ? 4, ?m ? 3, 于是得 ? 解得 ? ?n ? 1, ?n ? m ? ?2,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, ∴5≤f(-2)≤10.故 f(-2)的取值范围为[5,10].

方法点睛

利用不等式的性质求变量的取值范围

用待定系数法将待求范围的变量用范围已知的变量整体表示 ,利用 方程思想消元,再由题中的不等关系列关于所求变量的不等式求解 .

x2 x3 【即时训练】设实数 x,y 满足 3≤xy ≤8,4≤ ≤9,则 4 的最大值 y y
2



.

x3 x2 n m+2n 2m-n 2 m 解析:设 4 =(xy ) ·( ) =x ·y , y y

?m ? 2n ? 3, ?m ? ?1, ∴? 解得 ? ?2m ? n ? ?4, ?n ? 2.
1 x3 x2 2 =( ) · , 2 4 xy y y 1 x2 x2 2 x3 1 1 2 由 4≤ ≤9,3≤xy ≤8,得 16≤( ) ≤81, ≤ 2 ≤ ,得 2≤ 4 ≤27. 8 3 xy y y y

答案:27


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