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求解二面角问题的基本方法


2 0 0 1 年  第 1 2 期  数学通报 

求 解 二 面 角 问 题 的 基 本 方 法 
何  勇  f 浙江省诸暨市草塔中学  3 1 1 8 1 2 )  
二面角 问题 因其需 要充分 运用立 体几何 第  章的线线 、 线面 、 面面关系 , 具有综合性强 , 灵活  性 大的特点 , 因此, 一直成为高考 、 会考

的热点 . 求  解二 面角 问题一 般可分 为直 接法 和间接 法二 大  类.  


A G H就是二面角n—   一口的平面角 . 三垂线 定  理是求解二面角问题 的最常用 的方法 , 其关键 是 


寻找或求作一条垂线 , 即从 第一个半平 面 内的某  个点 出发 , 且垂直于另一个半平面 .  


1   直 接 法 

直接法就 是根据 已知条件 , 首 先作出二面角  的平面角 , 再求平 面角大小 的方法 , 求作二 面角平  面角 的方法主要有 :   ① 利 用 定 义  即 在 二 面 角 n— l一 日   的棱 上任取 一点 , 然后在  两个半平 面 内分别作 棱 的  
垂线 。 , 6 , 则这 两 条垂 线  。 , 6所 成 的 角 即 为 二 面 角  的平 面 角 .   倒1   在三 棱锥 ' P—  
A BC 中 ,  A P B =  
=  

例 2 在 直 i棱 柱 A B C —Al Bl   Cl 中,   B AC   9 0 0 , A B=B B l =1 , 直线 B . C与平 面A B C成3   角, 求二 面角   一B   C—A的正 弦值 .   分 析  易 知 ,平 面 

A B C与平面 B C C . B. 垂直 ,   故可 由面面垂 直的性 质来  寻找 从一 个半平 面到 另一  个 半 平 面 的垂 线 .  
略解   由直 三 棱 柱 性 8   质得 平 面 A B C   平 面  B C C 】 B 】 , 过 A作4 Ⅳ   B C ,  

垂足为 Ⅳ, 则4 Ⅳ 平面 B C C . B . , ( A N 即为我 们   要找 的垂线 ) 在平 面 B C B 】 内过 N作  ̄ p   l l棱 


B P C  

C P A= 6 0 。 , 求 二面角   A一' P 曰一C的余 弦值 .   分析  所求二面角与 。   底面 A B C 所 在 的 位 置无  关, 故不防利用定义求解 .   略解  在 二面角 的棱 ' P 日上任取 一点 Q, 在  半平 面 P B A和半平面 P B C上作 Q M  l船 , p , v     l P B, 则 由定义可得  M Q N即为二面角的平面角.   设肼 =。 , 则在 R t / ' , p Q M和R t / ' ,   Ⅳ中可求得 
压 

J C , 垂足为 Q, 连 ( M, 则 ̄N Q A 即为二面角 的   平面角 .   因为 A   】 在平面 A B C内的射 影为  , c A   l   l
A  , 所 以  一 一日 】  , A   = 船 I= 1 , 得d 口】=   .   因为直线 B 】 C 与平 面A B C 成3  角 , 所以  . c  


3 0 。 , B【 c=2 , 胁△ B 】 A C中, 由勾股定理得 A C  
√ 2, 所 以A Q =1 . 在  △ B AC中 , A B :1 , A C:  




得 A Ⅳ:  
j 

  .

Q M =( ) Ⅳ=   口; 又 由 △  Ⅳ  

PQ M 得  =  

s i n  ̄a Q N =A N/ A Q:   . 即二 面 角 B —B【 C一  

。 , 故在正三角形 ' P 枷v 中M N :。 , 在三角形  O 『 v   中 由 余 弦 定 理 得 

A的正弦值为  .  
例 3   如 图, A B C D 一  

c o s  ̄M Q N: 言, 即 二 面 角  

4 1  1 c 1 DI 是正 方体 ,   是  c c l 的中点 , 求二 面角  一…  

的 余 弦 值 为 言  
③ 利用三垂线 定理 .  

】   —D 的余弦值.  
分 析  图 中二 面 角 的  二个半平 面分 别为 / " D E B . 。   。 所在 的半平 面和 / " B E B   所在 的半平 面, 它们 的  交线即二 面角的棱 B【 E . 不难找到 D C即为从其 

即从半平面 a内的任一点 出发 向另一个半  平面 p引一条直线 A H, 过 H作棱 z 的垂线 H G , 垂  足为 G , 连A G , 则 由三垂线 定理 可证  上 d c , 故 

2 4   中的一个半平面出发 , 并且垂 直于另一个 半平面 
的直 线 .  

2 0 0 1 年  第 1 2 期  数学通报  可得 P, D,  , C四点共 圆, 且P E为直径, 由正弦 

定理得 P F =2 R :;  C D 面  
2  
cm .  

=  

:  

略解  由题意可得直线 D C 上 平面 B E B   , 且   垂足为 C, 过 C作 c F一  l E于F ( F在 1 E的延  长线上) , 连 D F, 则由三垂线定理可得  D F C即   二 面角的平面角 . △B l   C 1 E ~ △C F E,  

2   间接 法 

所 以 C F :  
—  

: 雩 。 ;  : 河

z  角 , 利用一个 基本结论 : 即如 图, 在一个半平 面 
. 

所谓间接法 , 就是不 直接作出二 面角 的平面 

3O  

内有一 个平面图形 A C D, 另一个半平 面 口内的平  面图形 C D E为平面图形 A C D 在平面 口内的射影,   设二面角大小为 ≠ , 射 影图形的面积 为 s  , 原来  图形的面积为 S , 则可证 明 c o s  =   ( 证明略 ) .  

所  s   D  = 害 。 /  。 : . ,   / 6 - .  
即二面角的平面角的余 弦值 为  .  
③ 作棱的垂 面  若能作一个平面 与棱垂直 , 则该垂 面与二面  角 的两个半平面的交线所成的角就是二面角 的平  面角.   伊 0   4 如图 , 在平面角为 6  的二面角n—z 一   卢内有一 点 P , P到。 , . 9的垂线 长分 别为 P C:   2 c m , P D:3 c m , 则( 1 ) 垂足 的连线 C D等于多少 ?   ( 2 ) P到棱 z 的距离为多少 ?   分析  对 于本题很 多  同学可能会这么做 : 过 C在  平面 . 9 内作棱 的垂线 , 垂  足 为 E, 连 D E , 则  C E D   即为二面角的平面角   这么作 辅助线 看 似简  单, 实 际 上 在 证 明  C E D  为二面角的平面角时会有 一个很棘手 的问题 , 就  是要证明 P, D, E, C四点 共面. 故不妨通过 作垂  面 的方法来作二面角的平 面角 .   略解  因为 P C , P D是两条相交 直线, 所 以  P C, P D确定一个平面 y , 设 7 交棱 i 于 E, 连C E ,   D E. 因 为 PC上 卢, 所以P C- _z , 又 因为 P D 上 口,   所以P D上  . 所以f 一 _ 平面 y , 则f —C E, D E , 故  C E D即为二面角的平面角 , 即  C E D :6 0 o所  以  C P D =1 2 0  ̄ , △P C D中, P D =3 , PC = 2 , 由  余弦定理得 c D = ̄ / 1 9 e a r . 由P D- _ D E , P c 上c 岳  

伊 0   5   设 E为正 方体  的边 c c . 的 中点 , 求平 面  A B】 E 和底 面 d】 Bl Cl Dl 所  成角的 余弦 值. ( 参照例 3  
的图 )   分 析  图中 并 没 有 直  

接画出平面 A B - E和底 面A 。 B   C l D 】 的交线 , 即二  面角 的棱 不明确 , 若利 用直接法作 出二面角 的平  面角 , 则必须先求作二个平 面的交线 , 这给解题带  来一定的难度 , 所 以不妨利用问接法求解 .   略 解  显 然 / " A B  J E 在 底 面 Al B l C l D】 上 的 

射影为 △ 4   B l C l , 故这两个平面所成二面角的余  弦值为 s  A
1  

/s   ^  = 寺.  

几点说 明:   ① 三垂线定 理是求解 二 面角的平 面角 的最  主要的方 法, 要引起重视 :   ② 有些问题既可以用直接法求解 , 也可用 间   接法求解 . 如例 3 , 可 知 △D E B   在右侧面上 的射 

影为△ 伽 1 1 故 所 求余 弦 值=  
拓 

= 丽 a Z / 4  

i‘  
③ 要重视 化归思想 在立 体几何中的应 用, 如  例3 中在右侧面中计算 C F的长时 , 可转 化成一个  平面同题 .  


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