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2015-2016高中数学 第1章 章末质量评估检测 新人教A版选修2-2


第一章章末质量评估检测
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若 f(x)=sinα -cosx,则 f′(x)等于( ) A.sinx B.cosx C.cosα +sinx D.2sinα +cosx 解析:函数是关于 x 的函数,因此 sin

α 是一个常数. 答案:A 2.函数 f(x)=sinx+cosx 在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 解析:f′(x)=cosx-sinx, f′(0)=cos0-sin0=1, ∴f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y-1=1×(x-0)即 x-y+1=0. 答案:A ?π ? ?π ? 3.已知函数 f(x)=f′? ?cosx+sinx,则 f? ?=( ) 4 ? ? ?4?

A. 2 B. 2-1 C.1 D.0

?π ? 解析:f′(x)=f′? ?(-sinx)+cosx, ?4? π π π? π ? ? ? ? ? ∴f′? ?=f′? ?×?-sin ?+cos , 4? 4 ?4? ?4? ? π ? ? ∴f′? ?= 2-1, ?4? π π π ? ? ∴f? ?=( 2-1)·cos +sin =1. 4 4 ?4? 答案:C 2 4.函数 f(x)=x -ln2x 的单调递减区间是( 2? ? A.?0, ? 2 ? ? ? 2 ? ,+∞? ?2 ? 2? ? 2? ? C.?-∞,- ?,?0, ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? D.?- ,0?,?0, ? 2? ? 2 ? ?
B.?
1 2x -1 解析:∵f′(x)=2x- = , x x 当 0<x≤ 2 时,f′(x)≤0. 2
2

)

答案:A 3 5.函数 f(x)=3x-4x (x∈[0,1])的最大值是( 1 A.1 B. 2

)

-1-

C.0 D.-1
解析:f′(x)=3-12x , 1 1 令 f′(x)=0,则 x=- (舍去)或 x= , 2 2 ?1? 3 1 f(0)=0,f(1)=-1,f? ?= - =1, ?2? 2 2 ∴f(x)在[0,1]上的最大值为 1. 答案:A 3 2 6.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2 解析:f′(x)=3x +2ax+3,∵f′(-3)=0. 2 ∴3×(-3) +2a×(-3)+3=0,∴a=5. 答案:D x 7.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受的力 F(x)=1+e ,则质点沿着与 F(x)相同 的方向,从点 x1=0 处运动到点 x2=1 处,力 F(x)所做的功是( ) A.1+e B.e 1 C. D.e-1
2

e

解析:W=?1F(x)dx=?1(1+e )dx=(x+e )|0=(1+e)-1=e.

x

x

1

?0

?0

答案:B 2 8.设 a<b,函数 y=(x-a) (x-b)的图象可能是(

)

A

B

C

D

解析:当 x=a 或 b 时,f(x)=0, f′(x)=(x-a)(3x-a-2b), a+2b 令 f′(x)=0 得 x=a 或 x= , 3 a+2b ∵a<b,∴a< <b, 3 ?a+2b,+∞?上是增函数, ∴f(x)在(-∞,a)及? ? ? 3 ? a + 2b ? ?上是减函数, 在?a, 3 ? ? ? x=a 是函数 f(x)的极大值点, a+2b x= 是函数 f(x)的极小值点.故选 C. 3 答案:C x 9.设函数 f(x)=xe ,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点
-2-

D.x=-1 为 f(x)的极小值点
解析:利用导数的乘法法则求解. x x x x ∵f(x)=xe ,∴f′(x)=e +xe =e (1+x). x ∴当 f′(x)≥0 时,即 e (1+x)≥0,即 x≥-1, ∴x≥-1 时函数 y=f(x)为增函数,同理可求,x<-1 时函数 f(x)为减函数. ∴x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 答案:D 1 3 2 10.已知 y= x +bx +(b+2)x+3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( ) 3 A.b<-1 或 b>2 B.b≤-2 或 b≥2 C.-1<b<2 D.-1≤b≤2 2 解析:y′=x +2bx+(b+2).由于函数在 R 上单调递增, 2 ∴x +2bx+(b+2)≥0 在 R 上恒成立, 2 即 Δ =(2b) -4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2. 答案:D 2 11.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x ,生产成本 y2(万元)是 3 2 产量 x(千台)的函数:y2=2x -x (x>0),为使利润最大,应生产( ) A.6 千台 B.7 千台 C.8 千台 D.9 千台 解析:设利润为 y,则 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3, y′=36x-6x2, 令 y′=0 得 x=6 或 x=0(舍), f(x)在(0,6)上是增函数,在(6,+∞)上是减函数, ∴x=6 时 y 取得最大值. 答案:A 12.已知定义在 R 上的函数 f(x),f(x)+x·f′(x)<0,若 a<b,则一定有( ) A.af(a)<bf(b) B.af(b)<bf(a) C.af(a)>bf(b) D.af(b)>bf(a) 解析:[x·f(x)]′=x′f(x)+x·f′(x) =f(x)+x·f′(x)<0, ∴函数 x·f(x)是 R 上的减函数, ∵a<b,∴af(a)>bf(b). 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 13.已知 y=ln ,则 y′=__________. 2 1+x 解析:先将函数式化简后再求导数. 答案:- 2 1+x 14.设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a ,则 a= __________. 解析:S=?
a
2

x

?0

2 2 a 2 xdx= x 2 |0= a 2 =a , 3 3

3

3

4 ∴a= . 9 4 答案: 9 3 2 15.已知函数 f(x)=x -4ax +5x(a∈R).

-3-

(1)当 a=1 时,函数在区间[0,2]上的最大值是__________; (2)若函数 f(x)在区间(0,2]上无极值,则 a 的取值范围是__________. 2 解析:(1)a=1 时,f′(x)=3x -8x+5, 5 令 f′(x)=0 得:x=1 或 x= , 3 当 x 变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表 5 ?1,5? ?5,2? x 0 (0,1) 1 ? 3? ?3 ? 3 ? ? ? ? f′(x) + 0 - 0 + 50 f(x) 0 ?↗ 2 ↘? ?↗ 27 ∴f(x)在区间[0,2]上的最大值为 2. (2)函数 f(x)在区间[0,2]上无极值, 2 即 f′(x)=3x -8ax+5=0 在(0,2]上无解或有两个相同的解, 2 3x +5 当 f′(x)=0 在(0,2]上无解,由 8a= ∈[2 15,+∞),

2

2

x

则 8a<2 15即 a<

15 , 4 15 , 4

当 f′(x)=0 在(0,2]上有两个相同的解,得 a= 综上,所求 a 的取值范围是 a≤ 答案:(1)2 (2)a≤ 16. 若函数 f(x)=
2

15 . 4

15 4

4x 在区间(m,2m+1)上单调递增, 则实数 m 的取值范围是__________. x +1 2 4-4x 解析:f′(x)= 2 2,令 f′(x)>0,得-1<x<1,即函数 f(x)的增区间为(-1,1). (x +1) 又 f(x)在(m,2m+1)上单调递增,

m≥-1, ? ? 所以?m<2m+1, ? ?2m+1≤1.

解得-1<m≤0.

答案:(-1,0] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 1 3 2 已知函数 f(x)= x -x +ax+b 的图象在点 P(0,f(0))处的切线方程是 3x-y-2=0. 3 (1)求 a、b 的值; (2)设 t∈[-2,-1],函数 g(x)=f(x)+(m-3)x 在(t,+∞)上为增函数,求 m 的取值 范围. 2 解析:(1)f′(x)=x -2x+a,所以切线的斜率 k=f′(0)=a, 又切线方程为 3x-y-2=0,故 a=3. 而点 P(0,b)在切线上,则 b=-2. 1 3 1 3 2 1 3 2 2 (2)因为 f(x)= x -x +3x-2,所以 g(x)= x -x +3x-2+(m-3)x= x -x +mx-2, 3 3 3 2 所以 g′(x)=x -2x+m, 又 g(x)是(t,+∞)上的增函数, 所以 g′(x)≥0 在 t∈[-2,-1]上恒成立,
-4-

即 t -2t+m≥0 在 t∈[-2,-1]上恒成立, 2 又函数 h(t)=t -2t+m 在 t∈[-2,-1]是减函数, 则 h(x)min=h(-1)=m+3≥0,所以 m≥-3. 18.(本小题满分 12 分) 若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点. 2 解析:(1)由题设知 f′(x)=3x +2ax+b,且 f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a +b=0, 解得 a=0,b=-3. 3 2 (2)由(1)知 f(x)=x -3x.因为 f(x)+2=(x-1) (x+2),所以 g′(x)=0 的根为 x1=x2 =1,x3=-2,于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g′(x)<0;当-2<x<1 时,g′(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. 19.(本小题满分 12 分) 某个体户计划经销 A,B 两种商品,据调查统计,当投资额为 x(x≥0)万元时,在经销 A, B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元,其中 f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x +b)(a>0,b>0).已知投资额为零时收益为零. (1)求 a,b 的值; (2)如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使 他能获得最大利润. 解析:(1)由投资额为零时收益为零,可知 f(0)=-a+2=0,g(0)=6lnb=0,解得 a= 2,b=1. (2)由(1)可得 f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1). 设投入经销 B 商品的资金为 x 万元(0<x≤5),则投入经销 A 商品的资金为(5-x)万元, 设所获得的收益为 S(x)万元, 则 S(x)=2(5-x)+6ln(x+1)=6ln(x+1)-2x+10(0<x≤5). 6 S′(x)= -2,令 S′(x)=0,得 x=2. x+1 当 0<x<2 时,S′(x)>0,函数 S(x)单调递增; 当 2<x≤5 时,S′(x)<0,函数 S(x)单调递减. 所以,当 x=2 时,函数 S(x)取得最大值,S(x)max=S(2)=6ln3+6≈12.6 万元. 所以,当投入经销 A 商品 3 万元,B 商品 2 万元时,他可获得最大收益,收益的最大值约 为 12.6 万元. 20.(本小题满分 12 分) x 2 设函数 f(x)=x(e -1)-ax . 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 2 x 解析:(1)a= 时,f(x)=x(e -1)- x , 2 2 x x x f′(x)=e -1+xe -x=(e -1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0; 当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增, 在(-1,0)上单调递减. x (2)f(x)=x(e -1-ax). x x 令 g(x)=e -1-ax,则 g′(x)=e -a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0
-5-

2

时 g(x)≥0, 即 f(x)≥0. 若 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0, lna)时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综上,得 a 的取值范围为(-∞,1]. 21.(本小题满分 12 分) 3 已知函数 f(x)=x -x,如果过点(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求 m 的取值范围. 2 解析: f′(x)=3x -1, 曲线 y=f(x)在点 M(t, f(t))处的切线方程为 y-f(t)=f′(t)(x -t), 2 3 即 y=(3t -1)x-2t . 3 2 如果有一条切线过点(2,m),则存在 t,使 m=-2t +6t -2. 3 2 若过点(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,则方程 2t -6t +m+2=0 有三个相异的实 数根. 3 2 2 记 g(t)=2t -6t +m+2,则 g′(t)=6t -12t=6t(t-2).令 g′(t)=0,得 t=0 或 t =2. 当 t 变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表: t (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) g′(t) + 0 - 0 + 极 极大值 2+ 小 g(t) 增函数 减函数 增函数 m 值m -6 由 g(t)的单调性,当极大值 2+m<0 或极小值 m-6>0 时,方程 g(t)=0 最多有一个实 数根; 当 2+m=0 或 m-6=0 时,方程 g(t)=0 只有两个相异的实数根; ?2+m>0, ? 当? 时,方程 g(t)=0 有三个相异的实数根,解得-2<m<6. ?m-6<0 ? 即如果过(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,得 m∈(-2,6). 22.(本小题满分 12 分) 2 2 已知函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数 a 的 取值范围. 解析:(1)由 f(x)≥h(x),得 m≤ 在(1,+∞)上恒成立. lnx x lnx-1 令 g(x)= ,则 g′(x)= 2, lnx (lnx) 当 x∈(1,e)时,g′(x)<0; 当 x∈(e,+∞)时,g′(x)>0, 所以 g(x)在(1,e)上递减,在(e,+∞)上递增. 故当 x=e 时,g(x)的最小值为 g(e)=e. 所以 m≤e. 即 m 的取值范围是(-∞,e]. (2)由已知可得 k(x)=x-2lnx-a. 函数 k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点, 相当于函数 φ (x)=x-2lnx 与直线 y=a 有两个 不同的交点. 2 x-2 φ ′(x)=1- = ,

x

x

x

当 x∈(1,2)时,φ ′(x)<0,φ (x)递减,
-6-

当 x∈(2,3)时,φ ′(x)>0,φ (x)递增. 又 φ (1)=1,φ (2)=2-2ln2,φ (3)=3-2ln3, 要使直线 y=a 与函数 φ (x)=x-2lnx 有两个交点,则 2-2ln2<a<3-2ln3. 即实数 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3).

-7-


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