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广西柳州市第一中学2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题


柳州一中数学 2015 届高考模拟试题(文科)
命题人:裴彬瑜 闭海鸥 李艳艳 一、选择题
1.已知集合 A ? ? x | 2 A. ?1 , 2?
a b
x2 ? x ? 2

审题人:裴彬瑜

? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? CR B
C.

?11 , ?

B. [1, 2]

?

D. ? ?11 , ?

2. “ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设 a ? ( , cos ? ) 与 b ? (?1, 2cos? ) 垂直,则 cos 2? 的值等于 A. ?

1 2

2 2

B. ?

1 2

C.0

D.-l

4.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ?

1 1 x ? 的图象上,则 a2014 ? 2 2


A.2014 B.2013 C.1012 D.1011 5.如图,网格纸上小正方形边长为 1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为(

A. 6+4 2+2 3

B. 8+4 2

C. 6+6 2

D. 6+2 2+4 3

6.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 2 AB .若 E , F 分别为线段 A1 D1 , CC1 的中点, 则直线 EF 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为( )

第 1 页 共 18 页

D A M E A' D' B' B

C F C'
6 3 2 2
7 ,则( 4


A.

B.

C.

3 3

D.

1 3

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

A. a ? 3

B. a ? 4

C. a ? 5

D. a ? 6

?x ? 1 ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ?y ? a x ?3 ? ? ?
A.

1 2

B.

1 3

C. 1

D.2

9.设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ?F2 PF 1 是底 2 2 a b

角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 A.

1 2

B.

2 3

C.

? ?

D.

? ?

10.设 F 1 、 F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点,以 a 2 b2

F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线 M 、 N 两点,且满足 ?MAN ? 120 ,则该双曲线的离心率为
第 2 页 共 18 页

A.

21 3

B.

19 3

C.

2 3

D.

7 3 3

[:]

11.定义域为 R 的可导函数 y ? f ?x ? 的导函数为 f ' ( x) ,满足 f ?x ? ? f ' ?x ? ,且 f ?0? ? 1, 则不等式

f ?x ? ? 1 的解集为 ex
A. ?? ?,0? B. ?0,??? C. ?? ?,2? D. ?2,???

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知△ABC 的顶点 A(-6, 0)和 C(6, 0), 顶点 B 在双曲线 的左支上,则 A.

x2 y 2 ? ?1 25 11

5 6

sin B 等于 sin A ? sin C 6 11 B. C. 5 25

D.

11 6

二、填空题
13.设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区域内 的概率为 14.已知 sin ? .

5? ?? ? 3 ? ?? ? ?? ? ? , ,则 cos? ? 6 ?6 ? 5 3



15.设函数 f ( x) ? ?

x ? ? 2 ? a, x ? 2 ,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 的取值范围是 ______. 2 x ? a , x ? 2 ? ?

16 . 设 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an (n ? N * ) , 则 该 数 列 的 前 2 0 1 5项 的 乘 积 1 ? an

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? _________.

三、解答题
17.已知函数 g ( x) ? 4 sin(?x ? 的图像向右平移

? 个单位得到函数 y ? p( x) 的图像,求函数 y ? p( x) 的图像的对称中心坐标; 6

2? ), h( x) ? cos( ?x ? ? ) (? ? 0) . (Ⅰ)当 ? ? 2 时,把 y ? g ( x) 3

(Ⅱ)设 f ( x) ? g ( x)h( x) ,若 f ( x ) 的图象与直线 y ? 2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为π ,求

? 的值,并求函数 f ( x) 的单调递增区间.
第 3 页 共 18 页

18. (本小题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,G 是 AC 中点, F 为 CE 上的点, BF ? 平面ACE . (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积. D G A F B C

E 19. (本小题满分 12 分)某班主任对全班 50 名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计 数据表 1 参加社团活动 学习积极性高 学习积极性一般 合计 17 5 22 不参加社团活动 8 20 28 合计 25 25 50

(1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是多少?抽到不参加社团活动 且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)运用独立检验的思想方法分析:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系?并说明理 由.

P??2 ? k?
k
2

0.05 3.841
2

0.01 6.635

0.001 10. 828

n ? n11n22 ? n12 n21 ? ? ? n1? n2? n?1n?2

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F (1, 0) , A 、 B 是椭圆 C 的左、 右顶点, D 是椭圆 C 上异于 A 、 B 的动点,且 ?ADB 面积的最大值为 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在一定点 E( x0 ,0) ( 0 ? x0 ? 2 ) ,使得当过点 E 的直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两 点时,

1 EM
2

?

1 EN
2

为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.

21.设 a 为实数,函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R . (1)求 f ( x) 的单调区间与极值;(2)求证:当 a ? ln 2 ? 1且x ? 0时,e x ? x 2 ? 2ax ? 1
22.选修 4 ? 1 :如图, AB 是 圆O 的一条切线,切点为 B , ADE, CFD, CGE 都是 圆O 的割线,已
第 4 页 共 18 页

知 AC ? AB .
C G F
O

A D

E B

(Ⅰ)证明: ?CEA ? ?DCA ;

(Ⅱ)证明: FG / / AC .

23.选修 4-4:在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? 2 cos ? .以 o 为极点, x (? 为参数) ? y ? 2sin ?

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若将圆 C 向左平移一个单位,

?x ' ? x ? 2 2 再经过伸缩变换 ? ' 1 得到曲线 C ? ,设 M ( x, y ) 为曲线 C ? 上任一点,求 x ? 3 xy ? 2 y 的最 ?y ? y 2 ?
小值,并求相应点 M 的坐标. 24. 选修 4-1:解关于 x 的不等式 lg(| x ? 3| ? | x ? 7 |) ? m . (Ⅰ)当 m ? 1 时,解此不等式; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ,当 m 为何值时, f ( x) ? m 恒成立?

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柳州一中数学 2015 届高考模拟试题答案(文科)
一、选择题 1.已知集合 A ? x 2x A. ?1 , 2? 【答案】B
2 【解析】由已知得 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 ? ? x | ?1 ? x ? 2? ,由 1 ? x ? 0 ,得 x ? 1 ,所以

?

2

? x ?2

? 1 , B ? ? x y ? ln ?1 ? x ?? , 则A CR B ? (
C. ?11 , ?

?



B. [1, 2]

?

D. ? ?11 , ?

?

?

B ? ?x | x ? 1? , C R B ? ? x x ? 1 ? ,∴ A CR B ? ? x 1 ? x ? 2? ,故选 C.
【命题意图】本题考查指数不等式,函数定义域、集合运算等基础知识,意在考查基本运算能力. 2. “2 >2 ”是“lna>lnb”的(
a b



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 a b 试题分析:“2 >2 ”?“a>b”, “lna>lnb”?“a>b>0”, ∵“a>b”是“a>b>0”的必要不充分条件, a b 故“2 >2 ”是“lna>lnb”的必要不充分条件, 故选 B. 考点:不等式及不等关系,充要条件. 3.设 a ? ( , cos ? ) 与 b ? (?1, 2cos? ) 垂直,则 cos 2? 的值等于 A. ?

1 2

2 2

B. ?

1 2

C.0

D.-l

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 : a ? b ? ( , cos ? ) ? ( ?1, 2 cos ? ) ? ?

1 2

1 ? 2 cos 2 ? ? 0, 所 以 2

1 1 1 ? cos 2? ? , cos 2? ? ? . 因此选 B. 2 2
考点:向量数量积,二倍角公式 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 ? n, A.2014 【答案】A. 【解析】 B.2013

? ?

1 1 Sn ? * ? (n∈N )均在函数 y ? x ? 的图象上,则 a2014=( ) 2 2 n ?
D.1011

C.1012

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试 题 分 析 : 因 为 点 ? n,

? ?

S 1 1 1 1 Sn ? * ? (n∈N )均在函数 y ? x ? 的图象上,所以 n ? n ? ,即 2 2 n 2 2 n ?
[:.]

Sn ?

1 2 1 n ? n ,则当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ,所以 a2014 ? 2014. 2 2

考点:等差数列. 5.如图,网格纸上小正方形边长为 1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为(



A. 6+4 2+2 3 【答案】A. 【解析】

B. 8+4 2

C. 6+6 2

D. 6+2 2+4 3

试题分析:直观图如图所示四棱锥 P ? ABCD , S ?PAB ? S ?PAD ? S ?PDC ?

1 ? 2? 2 ? 2 , 2

1 S?PBC ? ? 2 2 ? 2 2 ? sin 60 ? 2 3 , S四边形ABCD ? 2 2 ? 2 ? 4 2 , 2
故此棱锥的表面积为 6+4 2+2 3 ,故选 A.

考点:空间几何体的三视图与表面积. 6.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 2 AB .若 E , F 分别为线段 A1 D1 , CC1 的中点, 则直线 EF 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为( )

第 7 页 共 18 页

D A M E A'
6 3

C B F C' B'
B.

D'

A.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

【答案】C 【解析】 试题分析:如图,过 F 作 FM ? DD ' 联结 EM ,则 ?MEF 即为所求的角

MEF 为 直 角 三 角 形 , ?FME ? 90
ME ? 2
EF ? 3 , sin ?MEF ?
考点:线面角

设 AB ? 1 则 AA ' ? AD ? 2 , A 'D ? 2 2

,所以

FM 3 ? FE 3
7 ,则( 4

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是



A. a ? 3 C. a ? 5 【答案】A 【解析】

B. a ? 4 D. a ? 6

试题分析:第一次: S ?

3 5 , k ? 2 ;第二次: S ? , k ? 3 ;第三次: S ? 7, k ? 4 ,退出循环,故 2 3
第 8 页 共 18 页

选A 考点:程序框图

?x ? 1 ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ( ?y ? a x ?3 ? ? ? 1 1 A. B. C. 1 D.2 3 2
【答案】A 【解析】



试题分析:不等式表示的可行域如图所示,把目标函数 z ? 2 x ? y 转化为 y ? ?2 x ? z 表示的是斜率 为 ? 2 ,截距为 z 的平行直线系,当截距最小时, z 最小,当直线 z ? 2 x ? y 经过点 B 时, z 最小, 由?

?x ? 1 ?2 x ? y ? 1

得?

?x ? 1 1 ,因此 ? 1 ? a?1 ? 3? ,解得 a ? ,故答案为 A. 2 ? y ? ?1

考点:线性规划的应用.

x2 y 2 3a 9.设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ?F2 PF 1 是底 2 a b
角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )

第 9 页 共 18 页

A.

1 2

B.

2 3

C.

? ?

D.

? ?

【答案】C 【解析】 试题分析: 由条件得: | PF2 |?| F 则 ?PF2 M ? 600 , 在R ?F2 PF1 是等腰三角形, t? P FM2 1 F2 |? 2c , 中 | PF2 |? 2c , | F2 M |? 考点:圆锥曲线的性质. 10.设 F 1 、 F2 分别为双曲线 C :

3 3 c 3 a ? c ,则 2( a ? c) ? 2c ,即 3a ? 4c ,即 e ? ? . 2 2 a 4

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点,以 a 2 b2

F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线 M 、 N 两点,且满足 ?MAN ? 120 ,则该双曲线的离心率为
( A. )

21 3 7 3 3
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B.

19 3

C.

2 3

D.

【答案】A 【解析】

试题分析: 不妨设圆与 y ? 联立 y0 ?

b x 相交且点 M 的坐标为 ? x0 . y0 ? ? x0 ? 0? , 则 N 点的坐标为 ? ? x0 , ? y0 ? , a

b 2 2 x0 , x0 ? y0 ? c2 得 M ? a, b ? , N ? ?a, ?b ? ,又 A ? ?a,0? 且 ?MAN ? 120 ,所以由余 a
2 2 2 2

弦定理得 4c ? ? 2a ? ? b ? b ? 2

? 2a ?

2

? b2 ? b ? cos120 ,化简得 7a 2 ? 3c2 ,求得 e ?

21 ,故 3

选 A. 考点:1.双曲线的渐近线;2.直线与圆的位置关系;3.余弦定理;4.双曲线的离心率 考点:1.两圆的位置关系;2.双曲线的定义
' ' 11.定义域为 R 的可导函数 y ? f ?x ? 的导函数为 f ? x ? ,满足 f ?x ? ? f ?x ? ,且 f ?0? ? 1, 则不等式

f ?x ? ? 1 的解集为( ex
A. ?? ?,0? 【答案】B 【解析】

) C. ?? ?,2? D. ?2,???

B. ?0,???

第 10 页 共 18 页

试题分析:构造函数 g ? x ? ? 得

f ? x? ex ? f ? ? x ? ? ex ? f ? x ? f ? ? x ? ? f ? x ? ? ,则 ,由题意 g x ? ? ? ? x x 2 ex e e ? ? f ? x? f ? 0? ?1 , 在 R 上单调递减,又 g ? 0 ? ? x e e0

g? ? x ? 0 恒成立,所以函数 g ? x ? ?
f ? x? ex

所以

1 ,即 g(x)<1,所以 x>0,所以不等式的解集为 ? 0, ??? ,故选 B

考点:本题考查利用导数研究函数的单调性,利用函数的单调性解不等式 点评:解决本题的关键是根据 f ? x ?

f ? ? x ? 构造函数,并正确确定该函数的单调性

x2 y2 ? ?1 12.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),顶点 B 在双曲线 25 11


的左支上,

sin B sin A ? sin C 等于 6 B. 5 11 C. 25 11 D. 6

5 A. 6
【答案】B 二、填空题

13.设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区域内 的概率为
1 【答案】 2

.

【解析】 试题分析:以 ( x, y ) 为坐标的点共有 2 ? 3 ? 6 个基本事件,其中落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面

3 1 ? 区域内有 (?1,1),(1,1),(1, 2) 三个基本事件,所以概率为 6 2
考点:古典概型概率 14.已知 sin ?

5? ?? ? 3 ? ?? ? ?? ? ? , ,则 cos? ? 6 ?6 ? 5 3



【答案】

3-4 3 10
第 11 页 共 18 页

【解析】

4 ?? ? 3 ? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ,? cos ? ? ? ? ? ? 5 ?6 ? 5 6 ?2 ? ?6 ?

?? ? ?? ?? ? ?? ? ? 3? 4 3 ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin ? 6? 6 6 10 ?6 ?6 ? ?6 ?
点评:本题是三角恒等变换中属中等偏容易的题,但在对角的分解上有一定的技巧,否则会加大本 题的运算量。

? 2 x ? a, x ? 2 ? 15.设函数 f ( x) ? ? ,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 的取值范围是 ______. 2 ? ?x ? a , x ? 2
【答案】 【解析】 试题分析: 因为 当x ? 2时, f ( x) ? 2 ? a ? 4 ? a;当x ? 2时, f ( x) ? x ? a ? 2 ? a , 所以要使 f ( x)
x 2 2

?1? ?2, ? ?? ? ??,

?1? ? ??, 的值域为 R,须 4 ? a ? 2 ? a , 即实数 a 的取值范围是
2

? ?? ?2,

考点:函数值域 16 . 设 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an (n ? N * ) , 则 该 数 列 的 前 2 0 1 5项 的 乘 积 1 ? an

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? _________.
【答案】 3 . 【解析】 试题分析: 由题意可得,a2 ?

1 ? a3 1 1 ? a2 1 ? a4 1 ? a1 1 ? ? ,a4 ? ? 2 ? a1 , ? ?3 ,a3 ? ? ,a5 ? 1 ? a2 2 1 ? a4 1 ? a1 1 ? a3 3

∴数列 {an } 是以 4 为周期的数列,而 2015 ? 4 ? 503 ? 3 ,∴前 2015 项乘积为 a1a2 a3 ? 3 . 考点:数列的递推公式. 三、解答题 17.(1) ? ? 【解析】 试题分析: (1)由题可知,当 ? ? 2 时,得到 g ( x ) ? 4 sin( 2 x ? 平移

? 5? ? ? k? ? ] (k ? Z ) ; (2) ? ? 1 ,递增区间为 [k? ? , k? ? ? ,0 ? (k ? Z ) ; 12 12 ? 6 2 ?
2? ) ,根据图像平移的性质知,向右 3

? ? ? 个单位,则在 x 的位置相应的减去 ,即可得到 p ( x) ? 4 sin( 2 x ? ) ,根据正弦型函数的 3 6 6
第 12 页 共 18 页

对称中心为 ?k? ,0? ,可解出函数 p ( x) 的对称中心为 ? ?

? ? k? ? (2)根据三角恒等变 ? ,0 ? (k ? Z ) ; ? 6 2 ?

换化简出 f ( x ) 的解析式,由最值可知,图象与直线 y ? 2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离π 就是图 像的一个周期,于是 ? ? 1 ,再根据递增区间为 ?? 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 当

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ,可得出此函数的递增区间; 2 ? 2 ?
??2
时 ,

g ( x) ? 4 sin( 2 x ?

? ? 2? ? g ( x ? ) ? 4 sin( 2 x ? ? ) ? 4 sin( 2 x ? ) , 6 3 3 3
p ( x) ? 4 sin( 2 x ?

2? ) 3



?
3

) ,令 2 x ?

?
3

? k? ,得 x ? ?

?
6

?

k? ? ? k? ? ,对称中心为 ? ? ? ,0 ? (k ? Z ) ; 2 ? 6 2 ?

(Ⅱ) f ( x) ? 4 sin(?x ?

? 2? 1 3? )(? cos?x) ? ?4?sin ?x(? ) ? cos?x ? ? cos?x 3 2 2 ? ?

2 ? ? 2 sin ?x cos ?x ? 2 3 cos ?x ? sin 2?x ? 3(1 ? cos2?x) ? 2 sin( 2?x ? ) ? 3 3

由题意, T ? ? ,? 令 t ? 2x ? 故 2k? ?

?
3

2? ? ? ,? ? 1 2?

是 x 的增函数,则需 y ? 2 sin t ? 3 是 t 的增函数,

?
2

6 5? ] (k ? Z ) ; 函数 f ( x ) 的单增区间是 [k? ? , k? ? . 12 12

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, 2k? ?

?

? 2 x ? 2k? ?

?

5? ? 5? ? x ? k? ? , k? ? , 6 12 12

考点:正弦型函数的图像与性质 18. (1)证明见解析; (2)

1 3

【解析】 试题分析: (1)解决立体几何的有关问题,空间想象能力是非常重要的,但新旧知识的迁移融合也 很重要,在平面几何的基础上,把某些空间问题转化为平面问题来解决,有时很方便; ( 2)利用线 面垂直的判断定理证明线面垂直,条件齐全; (3)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理; 二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条 也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时,选择 适当的底作为底面,这样体积容易计算. 试题解析: (1)证明:? AD ? 平面ABE , AD // BC

第 13 页 共 18 页

∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC ,又? BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF

BC

BF ? B, ∴ AE ? 平面BCE

(2)解:? BF ? 平面ACE , BF ? CE ,

?BCE 为等腰三角形,
1 AE ? 1 2
[:]

?F 为 CE 的中点,? G 是 AC 中点 ∴ FG // AE 且 FG ?
AE ? 平面 BCE,? FG ? 平面 BCE ,

Rt ?BCE 中, BF ? CF ?
∴ S ?CFB ? ∴ VC ? BFG

1 CE ? 2 2

1 ? 2 ? 2 ?1 2 1 1 ? VG ? BCF ? ? S ?CFB ? FG ? . 3 3 11 ,抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概 25

考点:1、直线与平面垂直的判定;2、求几何体的体积. 19. (1)抽到参加社团活动的学生的概率是

率是

2 ; 5

(2)有 99 .9% 的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系. 【解析】 试题分析: (1)求出积极参加社团活动的学生有 22 人,总人数为 50 人,不参加社团活动且学习积极 性一般的学生为 20 人,利用古典概型即可求得概率, ; (2)根据条件中所给的数据,代入这组数据的观测值的公式,求出观测值,把观测值同临界值进行 比较,得到有 99 .9% 的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动情况有关系. 试题解析: (1)随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是 分 抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是

22 11 ? , 50 25

3

20 2 ? ; 50 5

6分

(2)∵ ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 50(17 ? 20 ? 5 ?8) 2 ? ? 11.688 , 25 ? 25 ? 22 ? 28 n1? n2? n?1n?2

10 分 12 分

∴有 99 .9% 的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系. 考点:1.概率与统计;2.独立性检验. 20. (1)

x2 6 ? y 2 ? 1; (2)定点为 E ( ,0) ,定值为 3 . 2 3
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【解析】 试题分析: (1)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,由于 ?ADB 面积的最大值为 2 , a 2 b2

?ab ? 2 ? 可得 ab ? 2 ,联立 ?c ? 1 ,解得即可求出; ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
(2)首先利用特殊位置探究得到定点的坐标与定值,再将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理 以及弦长的公式证明. 试题解析: (1)设椭圆的方程为 ①,
2 2 ∵ F (1, 0) 为椭圆右焦点,∴ a ? b +1 ②,

x2 y 2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,由已知可得 S ?ADB ? ? 2a ? b ? ab ? 2 2 2 a b

由①②可得 a ?

2 ,b ? 1,
x2 ? y 2 ? 1; 2

? 椭圆 C 的方程为

(2)过点 E 取两条分别垂直于 x 轴和 y 轴的弦 M 1 N1 , M 2 N2 , 则

1 EM 1
2

?

1 EN1
2

?

1 EM 2
2

?

1 EN 2
2

,即

2 1 1 ? ? , 2 2 x0 ( x0 ? 2) ( x0 ? 2) 2 1? 2

解得 x0 ?

6 6 ,∴ E 若存在必为 ( ,0) ,定值为 3, 3 3

下证 (

6 ,0) 满足题意, 3 6 6 2 6 4 , 代 入 C 中 得 : (t 2 ? 2) y 2 ? , 0)的 直 线 方 程 为 x ? ty ? ty ? ? 0 , 设 3 3 3 3

设 过 点 E(

2 6 t 2 6t 4 3 ?? 2 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? , 2 t ?2 3(t ? 2) 3(t ? 2)

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1 EM
2

?

1 EN
[?
2

?

1 1 1 1 1 1 ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? ? ? ( ? ) ? ? (1 ? t 2 ) y12 (1 ? t 2 ) y2 2 1 ? t 2 y12 y2 2 1 ? t 2 y12 y22

?

1 ? 1? t2

2 6t 2 8 ] ? 2 2 6 3(t ? 2) 3(t ? 2) ? 3 ,综上得定点为 E ( ,0) ,定值为 3. 4 3 [? 2 ]2 3(t ? 2)

考点:1.椭圆的标准方程及其性质;2.直线与椭圆相交弦长问题.

21. (1)由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R.令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - 单调递减 ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2,+∞) + 单调递增

[:]

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在 x =ln 2 处取得极小值, 极小值为 f(ln 2)=2(1-ln 2+a). (2)设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln 2-1 时,g′(x)的最小值为 g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意 x∈R 都有 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.
22.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析
2 2 ? 【解析】 (Ⅰ)∵ AB 为切线, AE 为割线,∴ AB =AE ? AD ,又∵ AB=AC ,∴ AC =AE AD ,

?

AD AC ? ,又 ?CAD ? ?EAC ,? ACD AC AE

AEC ,??CEA ? ?DCA ; 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)有
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AD AC ? AC AE 又? ?EAC ? ?DAC ?
又?

?ADC ~ ?ACE ?

?ADC ? ?ACE ,
10 分

?ADC ? ?EGF ?

?EGF ? ?ACE ,?

GF // AC .

【命题意图】本题考查三角形相似,切割线定理等基础知识,意在考察学生推理证明和逻辑思维能 力. 23.(Ⅰ) ? 2 ? 2? cos? ? 3

(Ⅱ)当 M 为( 1,

3 3 )或 (?1,? ) 2 2

, x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的最小值为 1

【解析】 (Ⅰ)圆 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,得 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 化为极坐标方程为

? 2 ? 2? cos? ? 3 ;

4分

?x ' ? x ? (Ⅱ) 将圆 C 向左平移一个单位, 得到圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 经过伸缩变换 ? ' 1 得到曲线 C ' ?y ? y 2 ?
的 方 程 为 :

x2 ? y2 ? 1 4





M

为 :

x ? 2 cos? , y ? sin ?

, 则

x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 3 ? 2 cos(2? ?
最小值为 1. 10 分 24. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) m ?

?
3

所以当 M 为 ( 1, ),

3 3 ) 或 (?1,? ) 2 2

,x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的

7 2

【解析】 (Ⅰ)原不等式可化为 | 2 x ? a |? 6 ? a ? ?

?6 ? a ? 0 ?a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a

? a ? 3 ? x ? 3 ( a ? 6 ) , 又 原 不 等 式 解 集 为 ? 2,3? , 所 以 a ? 3 ? ?2 , 即 a ? 1 , 所 以

1 1 ?1 1 ? ? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? ,所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ? ? ? ? 4 . 5 分 m 2n ? m 2n ?
(Ⅱ) Q f ( ) ? m ? f (?t ) ,? | t ? 1| ? | 2t ? 1| ?2 ? m ,故令 y ?| t ?1| ? | 2t ? 1| ?2 ,则

t 2

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1 ? ?? 3t ? 2, t ? ? 2 ? 1 ? y ?| t ? 1 | ? | 2t ? 1 | ?2 ? ?t ? 4, ? ? t ? 1 2 ? 3 t ? 2 , t ?1 ? ? ?

? y min ?

7 2

7 ? m ? . 10 分 2

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