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特殊与一般思想的简单应1.doc


特殊与一般思想的简单应用 广西桂平市一中 梁春丽 由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程 之一,通过对个例认识与研究,形成对事物的认识,由浅入深,由现象到本质、 由局部到整体、由实践到理论。对数学而言,这种由特殊到一般,再由一般到特 殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。在高 考中,会设计一些构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用 特殊值、特殊方程,由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。 【例 1】 (05)设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V , P, Q 分别是侧棱 AA1 , CC1 上的 点,且 PA ? QC1 ,则四棱锥 B ? APQC 的体积为
1 1 1 (A) V (B) V (C) V 3 6 4 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 1 (D) V 2
A B P Q A1 B1 C

方法一

常规方法

如图 2-18,因为 PA ? QC1 ,所以 PQ 将三棱柱的侧面 AAC 1 1C 分成 面 积 相 等 的 两 个 梯 形 , 从 而 VB? APQC ? VB?PA1C1Q . 又
VB ? A1B1C1 1 1 ? V柱体 ? V ,且三棱柱 ABC? A 1 B 1 C 1被分成两个四棱锥 3 3

B ? APQC 与 B ? PAC 1 1Q 以 及 三 棱 锥 B ? A 1B 1C1 三 部 分 , 所 以
1 VB ? APQC ? V . 3 方法二 特殊化的方法.

C1

仔细分析题目的已知条件会发现,三棱柱的形态没给出具体限制,是一般的 三棱柱;侧棱 AA1 , CC1 上的两点 P, Q 只有 PA ? QC1 的要求,而没有具体位置的限 制.从选项来看,所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定,用特殊化方法求解 本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱,其次还可以 将点 P, Q 分别为 AA1 , CC1 的中点;也可以使点 P 趋近于点 A ,点 Q 趋近于点 C1 , 即使 PA ? QC1 ? 0 ,使四棱锥特殊化为三棱锥,实际上,这种处理方法也包含有 极限的思想.经过特殊化处理后,再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法 外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想, 用特殊的方法来解决一 般的问题.
?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 【例 2】 (06 北京)已知 f ( x) ? ? 是 (??,??) 上的减函数,那 log a x, x ? 1. ?

么 a 的取值范围是 (A) (0,1)
1 (B) ( 0, ) 3 1 1 (C) [ , ) 7 3 1 (D) [ ,1) 7

分析:已知函数 f ( x) 是一个分段函数,从形的方面看, f ( x) 的图象由一条直线 的一部分和对数曲线的一部分组成,由条件,图象从左到右应呈下降趋势,若采 用由特殊到一般的思想求解,可以对 a 赋特殊值,并检验是否符合题意 . y
? 4 , x ? 1, 1 ? 解:取 a ? ,得 f ( x) ? ? 3 如图, log x , 3 x ? 1 . 1 ? ? 3

o

1

x

显然, f ( x) 在 (??,??) 上不是减函数, 可排除选项(A) , (D) ;
y

4 ? 2 1 ?? 3 x ? 9 , x ? 1, 再取 a ? ,得 f ( x) ? ? 如图, 1 9 ? log 1 x, x ? 1. x o 9 ? 2 f ( ) ? f (1) ? 0 ,即 f ( x) 在 (??,??) 上不是减函数,可排除选项(B) ,综上,选 3 (C).

评析:求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解,根据选择项对参 数赋予适当的特殊值,再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值, 通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑, 这种特殊化 的思想在解此类问题时往往是行之有效的. 【例 3】 (2005 年天津卷)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n ,
(n ? N *) ,则 S100 ? _____________.

【分析及解】可以考虑先求 S n 或 S 2 n ,再求 S100 ,这里采用先求 S 2 n 的方法. 解:由 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n ,得 an?1 ? an?1 ? 1 ? (?1) n?1 (n ? 2) , 两式相加得 (an?1 ? an?2 ) ? (an?1 ? an ) ? 2 (n ? 2) ,而 a1 ? 1, a2 ? 2 , 得 S 2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2n?1 ? a2n )
? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n[3 ? (2n ? 1)] ? n(n ? 2) , 2

所以, S100 ? 50 ? 52 ? 2600.

评析:本题的解法采用的是一般化的思想,即把待求的 S100 这一特殊值放在 一般的 S 2 n 中加以研究,正是因为一般性中蕴涵着特殊性,能使我们从该数列的 本质特征入手, “先进后退”的解决了问题. 【例 4】 (07 天津) . 在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数, 且 f ( x) ? f (2 ? x) , 若 f ( x) 在区间 [1 , 2] 上是减函数,则 f ( x) ( )

A.在区间 [?2, ? 1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 B.在区间 [?2, ? 1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数
? 1] 上是减函数,在区间 [3, C.在区间 [?2, 4] 上是增函数 ? 1] 上是减函数,在区间 [3, D.在区间 [?2, 4] 上是减函数

【分析及解】由条件知 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,取 f ( x) ? cos ? x ,求单调 区间. 令 2k? ? ? ? ? x ? 2k? ,解得增函数区间为 ?2k ?1,2k ? ,取 k ? 2 ,得增区间 [3, 4] ; 令 2k? ? ? x ? 2k? ? ? ,解得 减函数区间为 ?2k,2k ?1? ,取 k ? ?1 ,得 减 区间
[? 2 , ? 1];

从而选 C. 例 2.若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 ,且a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1 ,则下列代数式中值最大的是
1 2 分析:本题比较大小,可以取特殊值,也可以作差比较,还可以用基本不等式或 排序不等式。

A. a1b1 ? a2b2

B. a1a2 ? b1b2

C. a1b2 ? a2b1

D.

解法一:特殊值法.取 a1 ? , a2 ? , b1 ? , b2 ? ,通过计算比较 a1b1 ? a2b2 最大。选 A 解法二: a1a2 ? b1b2 ? (
a1 ? a2 2 b1 ? b2 2 1 ) ?( ) ? 2 2 2

1 4

3 4

1 3

2 3

a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) ? (a1 ? a2 )b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a2 ? a1 )(b2 ? b1 ) ? 0 a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) 1 ? (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) ? a1b1 ? a2b2 ? a1b1 ? a2b1 ? 2(a1b2 ? a2b2 )

a1b1 ? a2b2 ?

1 2

解法三:根据排序不等式知 a1b1 ? a2b2
1 4 3 4 1 3

、 a1a2 ? b1b2
2 3

、 a1b2 ? a2b1 中, a1b1 ? a2b2
1 2

最大,再取特值 a1 ? , a2 ? , b1 ? , b2 ? 比较 a1b1 ? a2b2 与 答案: A.

【例 5】 ( 2008 陕 西 卷 , 理 11. 改 编 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足
f ( x? y ) ? f( x )? f( y ) ? 2 xy x,y ? R ) 1 ( 1 ? ,则 f (?3) 等于( ( , f)



A.2

B.3

C.6

D.9

【分析及解】由 f (1) ? 2 及 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy ,可令 x, y 为特殊值,求出
f ? 2 ? , f ? 3? ,

再取特值研究函数的奇偶性;或直接取满足条件的特殊函数解答。
3 ) 9? , 解法一: 取 f ? x ? ? x2 , 则满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy 和 f (1) ? 1 , ∴ f (?

选D 解法二: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy 中, 令 x ? 1, y ? 1 , 得 f ? 2? ? 4 , 再令 x ? 1, y ? 2 得 f ? 3? ? 9 ,再令 x ? 1, y ? 0 ,得 f ? 0? ? 0 ,令 y ? ?x 得, f ? x ? ? f ? ?x ? ? 2x2 ,再令
x ? ?3 ,得 f (?3) ? 9 ,选 D

评注:对于抽象函数来说,取特殊值和取特殊函数是常用的方法. 【例 6】 (2008 四川卷,理 7)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的 取值范围是( ) (B) ? ??,0? ? ?1, ??? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ??? (A) ? ??, ?1? (C) ?3, ?? ?

【分析及解】 :本题中的等比数列只知道 a2 ? 1 ,如果再知道公比,数列就可以确定, 而选项是范围问题,可取定公比加以排除。 解法一:∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴当公比为 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? 1 , S3 ? 3 ; 当公比为 ?1 时,a1 ? ?1, a2 ? 1, a3 ? ?1 ,S3 ? ?1 从而淘汰(A) (B) (C) 故选 D;

? 1? 1 解法二:∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ? ? ? 1 ? q ? q? q ?

∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ?

1 1 ? 1? 2 q ? ? 3 ; q q

? ? 1? 1? 当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 q? ? ? q?

∴ S3 ? ? ??, ?1? ? ?3, ???

故选 D;

评注:取特殊数列入手淘汰,如果一次不能区分,则需多次取有区分度的值进行 排除,直至能辨别出正确答案为止,也可多种方法并存。要重视等比数列的通项 公式,前 n 项和公式,以及均值不等式的应用,特别注重均值不等式使用的条件 是否具备,不具备就要进行分类讨论。

?2 x ? 【例 7】 (2009 山东文登三中)已知函数 f ? x ? ? ?log 1 x ? ? 2
象是( )

? x ? 1? ,则 f ?1 ? x ? 的图

( x ? 1)

A B C D 分析:可以根据已知函数写出所研究的函数,没有必要画出函数图象,只需取特 殊点就可以判断。
?21? x ? x ? 0? ? 解:由已知得 f ?1 ? x ? ? ?log ?1 ? x ?? x ? 0 ? 取特殊值 x ? 0 和 x ? ?1 时,图象所过的 1 ? ? 2 点为 ? 0,2? , ? ?1, ?1? ,结合图形知选 D。

答案:D 评注:因为选项中的各图都有区别,可以取特殊值加以辨别。 (1) (07 天津)在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在 区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? ( )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数

【分析及解】本题为抽象函数,可以从函数的性质入手,研究函数的单调性和周 期以及图象。也可以具体化,把一般转为特殊,取符合条件的特殊的例子解答。 解法一:因为函数 f ?x ? 在 R 上是偶函数, f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,可知函数

f ?x ? 在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,并且 f ? ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,由此知 f ?x ? 为以 2
为周期的周期函数, 所以 f ?x ? 在区间 ?3,4? 上的单调性与在区间 ?1,2? 是一致的,是 减函数。故选 B 解法二:由 f ?x ? ? f ?2 ? x ?知函数图象关于 x ? 1 对称,又因为函数 f ?x ? 在 R 上是
y

偶函数,图象又关于 y 对称,于是可以作如图所示的示意图。 从图中判断,选择 B。 答案:B
-2 -1 0 1 2 3 4 x

评注:解法一利用性质解答,解法二把一般转化为特殊, 结合图形一目了然,不适为好的方法。



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