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1法向量—立体几何中的向量方法


3.2立体几何中的向 量方法

平面向量

推广到

空间向量

立体几何问题

思考:
如何确定一个点、一条直线、一个平面 在空间的位置?

一、点的确定:
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
P

O

二、直线的确定:
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

l

a
B
A

三、平面的确定:
空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定.

n
b

? O

a

平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在

直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量.
l

n

?

A

给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的.

平面的法向量:
l 注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行;

n

?

? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的 ? 法向量分别为 u ,
线面平行:

l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

? a

? u

l

?

设平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,
面面平行: ? ∥ ? ?

u ∥ v ? u ? kv .

? u

?
?

? v

? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的 ? 法向量分别为 u ,
线面垂直 : l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

l

? a
?

? u

设平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,
面面垂直 : ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

? u
?

? v
?

例1:已知A(0, 2,3), B ? (2, 0, -1), C (3,-4,0) 求平面ABC的法向量.

问题:如何求平面ABC的单位法向量呢?

求法向量的步骤:

(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z)
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标a ? (a1, b1, c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0
(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

练习:在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2) 3 ? y? x ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴? ( x , y , z ) ? ( ? 3,0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? ?z ? 3 x ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6)
∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.

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