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福建省福州市八中2011届高三年级上学期第一次月考试题数学(理)试题


2010— 福州八中 2010—2011 高三毕业班第一次质量检查
数学(理)试题
考试时间:120 分钟 命题:陈达辉 试卷满分:150 分 校对:郑敏
2010.8.30

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 设集合 P={m|-3<m<1 } ,Q={m∈R|(m-1)x2+(m- 1)x-1<0 对任意实数 x 恒成立 } , 则 下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q

cos(?405 0 ) 的值是 2. tan300°+ sin 765 0
A.1+ 3 A.第一象限 B.1- 3 B.第二象限 C.-1- 3 C.第三象限 D.-1+ 3 D.第四象限 3. 若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在 4. 如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x, f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍, 将点 A 固定,让 B 点在圆弧上移动,则函数 y =f(x)的图象是

A

B

C

D
2

5. 在点(0,1)处作抛物线 y = x + x + 1 的切线,切线方程为 A. 2 x + y + 2 = 0 B. 3 x ? y + 3 = 0 C. x + y + 1 = 0 D. x ? y + 1 = 0

6. “ a = 2 ” 是“函数 f ( x) = x ? a 在区间 [2, +∞) 上为增函数”的
A.充分条件不必要 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.下列函数中,最小正周期为 π ,且图像关于直线 x = A. y = sin( 2 x ? C. y = sin( 2 x +

π
3

对称的是

π π
3

) )

B. y = sin( 2 x ? D. y = sin( +

π
6

)

6

x 2

π

6

)

8. 已知 0 < a < 1 ,函数 f ( x) = a x ? | log a x | 的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.2 或 3 或 4 2 9. 设 f ( x) =| 2 ? x | ,若 a < b < 0 ,且 f (a) = f (b) ,则 ab 的取值范围是
A. (0 , 2) B. (0 , 2] C. (0 , 4] D. (0 , 2)

[来源:学科网 ZXXK]

10.若 y=f(2x)的图像关于直线 x =

a b 和 x = (b > a ) 对称,则 f(x)的一个周期为 2 2
C.

A.

a+b 2

B. 2(b ? a )

b?a 2

D. 4(b ? a )

二、填空题:5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在相应的位置上.
11. 下列四种说法:

①命题“ ? x∈R,使得 x2+1>3x”的否定是“ ? x∈R,都有 x2+1≤3x”; ②设 p 、q 是简单命题,若“ p ∨ q ”为假命题,则“ ?p ∧ ?q ” 为真命题; ③把函数 y = sin ( ?2 x ) ( x ∈ R ) 的图像上所有的点向右平移

π
8

个单位即可得到函数 .

π? ? y = sin ? ?2 x + ? ( x ∈ R ) 的图像.其中所有正确说法的序号是 4? ?
12. 已知命题 p : 不等式 | x ? 1 |> m 的解集是 R,命题 q : f ( x ) =

2?m 在区间 (0,+∞ ) 上是 x
.

减函数,若命题“ p 或 q ”为真,命题“ p 且 q ”为假,则实数 m 的取值范围是

13. 设 ω > 0 ,函数 y = sin(ω x +

π
3

) + 2 的图像向右平移

4π 个单位后与原图像重合,则 ω 3

的最小值是_____________.
14. 已知函数 f ( x ) 满足: f (1) = 1 , 4 f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x ? y )( x, y ∈ R ) ,
4

则 f ( 2010 ) =_____ _____.
15. 设函数 f(x)=x-

1 ,对任意 x ∈ [1, +∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立, 则实数 m 的取值范围 x

是________. 三、解答题:本大题六个小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题 13 分) 已知全集 S = {1,3, x3 ? x 2 ? 2 x} ,A={1, 2 x ? 1 }如果 C S A = {0} ,则这样的实数 x 是否存 在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由。

17. (本小题 13 分) 若

sin(π ? α ) cos(2π ? α ) tan(π ? α ) sin(

π

2

+α)

=?

3 ,且 α ∈ (0, π ) . 3

求(1)

cos α ? sin α ; (2) 1 ? sin α cos α + cos 2 α 的值. cos α + sin α

18. (本小题 13 分) 已知命题 p :方程 x 2 ? ( 2 + a ) x + 2a = 0 在 [? 1,1] 上有且仅有一解;命题 q :只有一个实 数 x 满足不等式 x 2 + 2ax + 2a ≤ 0, 若命题 " p或q " 是假命题,求 a 的取值范围 .

19. (本小题 13 分) 在长为 100 千米的铁路线 AB 旁的 C 处有一个工厂,工厂与铁路的距离 CA 为 20 千米.由 铁路上的 B 处向工厂提供原料,公路与铁路每吨千米的货物运价比为 5∶3,为节约运费,在 铁路的 D 处修一货物转运站,设 AD 距离为 x 千米,沿 CD 直线修一条公路(如图). (1)将每吨货物运费 y(元)表示成 x 的函数. (2)当 x 为何值时运费最省?
[来源:学科网 ZXXK]

A 20 C x

100 D

B

20. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) = A sin(ωx + ? )( A > 0, ω > 0, | ? |< (1) 求函数 f ( x) 的解析式并写出其所有对

π
2

) 的部分图象如下图所示:
称 中

心; (2)若 g (x) 的图象与 f (x) 的图象关于点 P(4,0)对称,求 g (x) 的单调递增区间.

21. (本小题 1 5 分) 已知函数 f (x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f (x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 ,对于任意一个正实数 a 都有 |f (x1)-f (x2)|≤

4 + 25a ; a

(Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2 )可作曲线 y=f(x)的三条切线, 求实数 m 的取值范围.

[来源:学科网]

2010— 福州八中 2010—2011 高三毕业班第一次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准

[来源: 学科网] [来源:学科网] 来源:

[



源:Zxxk.Com]

17. (本小题 13 分) [解析] ⑴将 ∵ α ∈ (0,

sin(π ? α ) cos(2π ? α ) tan(π ? α ) sin(

π

π ) ∴可求得 tan α = 2 ,……………………………………5 分 sin α 1? cos α ? sin α cos α = 1 ? tan α = 1 ? 2 = 2 2 ? 3 ;……8 分 = (1) sin α 1 + tan α 1 + 2 cos α + sin α 1+ cos α ? sin α cos α + cos 2 α 2 (2) 1 ? sin α cos α + cos α = 1 + …………10 分 sin 2 α + cos 2 α
sin α +1 ? 2 +1 4 ? 2 = 1 + cos α = 1+ = ………………13 分 2 2 +1 3 sin α +1 cos 2 α ?
18. (本小题 13 分)解析:由 x 2 ? ( 2 + a ) x + 2a = 0 ,得 (ax + 2)(ax ? 1) = 0 显然 a ≠ 0, ∵ x = 2或x = a , ………………………………3 分

2

+α)

=?

3 3 化简,得 cos α = ……2 分 3 3

又方程 x 2 ? ( 2 + a ) x + 2a = 0 在 [? 1,1] 上有且仅有一解, ∴ ? 1 ≤ a ≤ 1 .………………………………6 分 ∵只有一个实数 x 满足不等式 x + 2ax + 2a ≤ 0,
2

∴ ? = 4 a ? 8a = 0, 解得 a = 0或 a = 2 ……………………10 分
2

∵命题 " p或q " 是假命题,所以命题 p 和命题 q 都是假命题. ∴ a 的取值范围为 {a | a < ?1, 或1 < a < 2或 a > 2} …………13 分 19. (本小题 13 分) (1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为 5k、 解: 3k(元)(k 为常数)AD=x, 则 DB=100-x.

CD =

AD 2 + AC 2 = x 2 + 202 = x 2 + 400 ……………………3 分
2

∴每吨货物运费 y=(100-x)·3k+ x + 400 ·5k(元)(0<x<100)………………6 分 (2)令 y′=-3k+5k·
2

2x 2 x 2 + 400

=

5 x ? 3 x 2 + 400 x 2 + 400

·k=0

∴5x-3 x + 400 =0 ∵x>0,∴解得 x=15……………………………………9 分 当 0<x<15 时,y′<0;当 x>15 时,y′>0 ∴当 x=15 时,y 有最小值.………………………………12 分 答:当 x 为 15 千米时运费最省 .…………………………13 分 20. (本小题 14 分) (1) 解: 由图可得。 A= 2 , 2分 则此时 f ( x ) =

T π = 6 ? ( ? 2) = 8 , 所以,T = 16, ω = , … 2 8

2 sin(

π
8

x + ? ) ,将点 2, 2 代入,

(

)

可得 ? =

π
4

.…………4 分

∴ f ( x) =

2 sin(

π
8

x+

π
4

);

对称中心为 (8k ? 2, 0)( k ∈ Z ) ………………………………7 分 (2)由 g (x ) 的图角与 f (x ) 的图象关于点 P(4,0)对称, 得 g ( x ) = ? f (8 ? x ) ,……………………9 分

∴ g (x) = ? 2 sin[ (8 ? x) + ] 8 4
=?

π

π

2 sin(

5π π π 5π ? x) = 2 sin( x ? ) ,…………………………11 分 4 8 8 4 ≤

令 2kπ ?

π
2

π
8

x?

5π π ≤ 2kπ + 得16k + 6 ≤ x ≤ 16k + 14 4 2

(k ∈ Z ) .

即 g (x ) 单调递增区间为 [16k+6,16k+14] k ∈ Z ………………13 分 21. (本小题 15 分)解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0 , 即?

?3a + 2b ? 3 = 0 , …………………………………………1 分 ?3a ? 2b ? 3 = 0

解得 a=1,b=0. ∴f (x)=x3-3x.……………………………………………………3 分 (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 利用导数求得 f(x)在区间[-3,2]上的最大值和最小值分别为: fmax(x)=f(-1)=f(2)=2,fmin(x)=f(-3)=-18………………………………4 分 ∵对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-18)=20………………………………6 分 由条件可得, + 25a ≥ 2

4 a

4 4 2 ? 25a = 20 , 当且仅当 a = 时, 等号成立, 即 + 25a ≥ 20 a 5 a
4 + 25a .………8 分 a

恒成立,∴对于任意一个正实数 a 都有|f (x1)-f (x2)|≤ (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y 0 = x 0 ? 3 x 0 .

2 因 f ′( x 0 ) = 3( x 0 ? 1) ,故切线的斜率为 3( x0 ? 1) =

2

3 x0 ? 3x0 ? m , x0 ? 1

3 2 整理得 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 = 0 .

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,

3 2 ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 =0 有三个实根.……………………10 分 3 2 2 设 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 ,则 g′(x0)=6 x 0 ? 6x 0 ,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ,
3 2 ∴函数 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 的极值点为 x0=0,x0=1………………12 分 3 2 ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g ( 0) > 0 ,解得-3<m<-2. ? ? g (1) < 0
故所求的 实数 a 的取值范围是-3<m<-2.……………………15 分

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