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吉林省前郭尔罗斯蒙古族自治县第五中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


前郭五中 2015-2016 学年度第二学期高一年级第一次月考文科数 学试卷
一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的) 1.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A={两次都击中飞机},B={两 次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关

系不正确 的是( ) A. A? D B. B∩D=? C. A∪C=D D. A∪B=B∪D 2.已知回归直线方程 y=bx+a, 其中 a=3 且样本点中心为 (1,2) , 则回归直线方程为 ( ) A. y=x+3 B. y=-2x+3 C. y=-x+3 D. y=x-3 3.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的平均数是 x ? 2 ,方差是 1 ,那么另一组数 据 3

3x1 ? 2,3 x2 ? 2,3 x3 ? 2,3 x4 ? 2,3 x5 ? 2 的平均数和方差分别是( )
A. 2, 1
3

B. 2,1

C. 4, 1

3

D. 4, 3

4.从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ) A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 C. 1,2,3,4,5 D. 2,4,6,16,32 5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 Y 朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2X =1 的概率为( ) A. B. C. D. )

6.如下图,写出程序框图描述的算法的运行结果(

A. -5 B. 5 C. -1 D. -2 7.在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,用 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36π 平方厘 米到 64π 平方厘米的概率是( )

1

A.

B.

C.

D.

8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”, 执行该程序框图,若输入的 a, b 分别为 14,18,则输出的 a 为(
A.0
B.2 C.4



D.14

9.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 在线段 A1B1 上,点 Q 在线段 B1C1 上,且 B1P=B1Q,给出 下列结论: ①A、C、P、Q 四点共面; ②直线 PQ 与 AB1 所成的角为 60°; ③PQ⊥CD1; ④VP﹣ABCD=VQ﹣AA1D. 其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 10.如果直线 ax + by – 4 = 0 与圆 C:x + y = 4 有 2 个不同的交点,那么点 P(a,b)与 圆 C 的位置关系是( ) A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不确定 11.已知 为偶函数,当 ) 时, ,满足 的实数

a 的个数为(

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 12.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、 俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

2

A. 3
4

B. 1

4

C. 1

2

D. 3
8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 < ,则 a 的取值范围是________.

14.向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于 15 给出下列四个命题: ①集合{x||x|<0}为空集是必然事件; ②y=f(x)是奇函数,则 f(0)=0 是随机事件; ③若 loga(x-1)>0,则 x>1 是必然事件; ④对顶角不相等是不可能事件. 其中正确命题是________.

的概率为________.

16 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 P—ABCD,其中底面四边形 ABCD 是边长为 1 的 正方形, PA ? 1 ,且 PA ? 平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为_____________ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产 量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据: x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
? ? ?

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)已知该厂技改前 50 吨甲产品的生产能耗为 45 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归 方程,预测生产 50 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?

3

(参考公式: b ?

?

? xi yi ? n x y ?x
i ?1 i ?1 n 2 i

n

_ _

? n ( x)

_

,a ??

参考数值: 3× 2.5 ?x ? 3 y ?b .5 ? 0.7 ? 4.5 ?0 .35+4×3+5×4+6×4.5

2

=66.5)

18. (本小题满分 12 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采 用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II) 将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中随 机抽取 2 名参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii) 设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率.

19.

( 本 小 题 满 分

12

分 ) 如 图 , 已 知

AA1 ? 平 面

ABC,

BB1//AA1 ,AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 的中点. 1 1 ? 7 , BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分别是 BC, AC (I)求证:EF// 平面 A 1B 1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 . (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

4

20.(本小题满分 12 分)2015 年 8 月 12 日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和 经济损失. 某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检, 已知消防安全等级 共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为中等,四级为差),该港口消防安全等级的 统计结果如下表所示: 等级 频率 一级 0.30 二级
2m

三级
m

四级 0.10

现从该港口随机抽取了 n 家公司,其中消防安全等级为三级的恰有 20 家. (1)求 m, n 的值; (2)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这 n 家公司中抽取 10 家,除去消防安全等级为 一级和四级的公司后, 再从剩余公司中任意抽取 2 家, 求抽取的这 2 家公司的消防安全等级 都是二级的概率.

21.(本小题满分 12 分)为调查我校学生的用电情况,学校后勤部门组织抽取了 100 间学生 宿舍,某月用电量调查,发现每间宿舍用电量都在 50 度到 350 度之间,其频率分布直方图 如下图所示.

5

(1)为降低能源损耗节约用电, 规定: 每间宿舍每月用电量不超过 200 度时,按每度 0.5 元收 取费用; 超过 200 度, 超过部分按每度 1 元收取费用。 以 t 表示某宿舍的用电量 (单位: 度) , 以 y 表示该宿舍的用电费用(单位:元),求 y 与 t 的函数关系式? (2)求图中月用电量在(200,250]度的宿舍有多少间? (3)在直方图中,试估计我校学生宿舍的月用电量中位数和平均数.(精确到个位)

22.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件: f(1+x)=f (1-x),且方程 f(x)=2x 有两等根. (1)求 f(x)的解析式. (2)求 f(x)在[0,t]上的最大值. (3)是否存在实数 m、n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如 果存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.

2

6

参考答案 1.【答案】D 【解析】 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中, “至少 有一弹击中”包含两种情况:一种是恰有一弹击中,一种是两弹都击中,∴A∪B≠B∪D. 2.【答案】C 【解析】解:由题意,回归直线方程为 y=bx+3,∵样本点的中心为(1,2),∴2=b+3,∴ b=-1,∴回归直线方程为 y=-x+3.故选 C 3.D 解析:

5 3 3 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? ? 2 ? ? 5 ? 2 ? 2 ? 4 5 5
? ?3x1 ? 2 ? 4? ? ?3x2 ? 2 ? 4? ? ?3x3 ? 2 ? 4? ? ?3x4 ? 2 ? 4? ? ?3x5 ? 2 ? 4? s2 ? 5 2 2 2 2 2 9 ?x1 ? 2? ? ?x 2 ? 2? ? ?x3 ? 2? ? ?x 4 ? 2? ? ?x5 ? 2? 1 ? ? 9? ? 3 5 3
2 2 2 2 2

x? ?

? 3x1 ? 2 ? ? ? 3x2 ? 2 ? ? ? 3x3 ? 2 ? ? ? 3x4 ? 2 ? ? ? 3x5 ? 2 ?

?

?

故选 D. 考点:样本平均数与方差 .4【答案】B 【解析】用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其 中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求, 故选 B. 5【答案】C 【解析】先后抛掷两枚骰子的点数,方法共有 36 种. 满足条件 log2XY=1,即 Y=2X 的有 3 种.故概率为 6.【答案】A 【解析】该算法的功能是求 x=-1 时, = .

f(x)=

的函数值,由分段函数的性质知 f(-1)=-5.故选 A.

7.【答案】D 【解析】以 AG 为半径作圆,面积介于 36π 平方厘米到 64π 平方厘米,则 AG 的长度应介于 6 厘米到 8 厘米之间.∴所求概率 P(A)= 8.【 答案】B 【解析】
7



.

试题分析:由题意输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图. 9.【答案】B 【解析】解:如图所示,

①∵B1P=B1Q,∴PQ∥A1C1,∴A、C、P、Q 四点共面,因此正确; ②连接 AC, CB1,可得△ACB1 是等边三角形,又 AC∥A1C1,∴直线 PQ 与 AB1 所成的角为 60°; ③由②PQ⊥CD1 不正确; ④VP﹣ABCD= ,VQ﹣AA1D= = ×A1B1=

. ∴VP﹣ABCD≠VQ﹣AA1D. 其中正确结论的个数 2. 故选:B. 10.【答案】A 【解析】由条件,得 11.【答案】D .解析式为 作出图像如图所示. ,即 a2 + b2 > 4.

8

.由于函数是关于 y 轴对称,考虑研究 x>0 部分的图像.当

时.

或 , 所以

.因为

.所以

有四个不同的 值.因为

不存在 .所以有四个 值.由对称性可得在 x<0 部分也有一个 x

的值符合.所以对应有四个 值.故选 D. 12.【 答案】c 【解析】 由三视图知,原直三棱柱的底面为直角边为 2 的等腰直角三角形,所以直三棱柱的体积为
1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8 .又由三视图知,该几何体为底面是上底为 2、下底为 4、高为 2 的直角梯 2

形,高为 2 的四棱锥,其体积为 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ,所以该几何体的体积是原直三棱柱的
3 2

体积的 1 ,故选 C.
2

考点:1、空间几何体的三视图 ;2、棱柱与棱锥的体积.

13.【答案】

【解析】 上是增函数,



?



, 函数 y=

在[0, +∞)

所以

解得 <a< .

14.【答案】

【解析】设△ABC,BC 边上的高为 h,△PBC,BC 边上的高为 h′,则





<



9

∴h′<

h.

设 DE 为△ABC 的中位线 ,则点 P 在四边形 BCED 内, ∴P=1- =1- = .

15.【答案】①②③④ 【解析】∵|x|≥0 恒成立,∴①正确; 奇函数 y=f(x)只有当 x=0 有意义时才有 f(0)=0, ∴②正确;由 loga(x-1)>0 知,当 a>1 时,x-1>1 即 x>2;当 0<a<1 时,0<x-1< 1,即 1<x<2,∴③正确,④正确. 16.答案: D 解析: 若使得球体毛坯体积最小,则四棱锥各顶点应都在球上,由题意,将四棱锥 P ? ABCD 补成 一个长方体,则转化为求长方体外接球体积,长方体体对角线为外接球直径,体对角线长

4 ? 为 3 ,所以球的半径为 3 ,体积为 ? ? ? 3 ? 2 ?
考点:多面体的外接球. 17.答案: (1) y ? ? 0.7 x ? 0.35 ;(2) 9.65 吨.

3? 3 ? ?. ? 2 ? 2 ?

3

试题分析:(1)第一步,先求 ? xi y j , x , y ,
i ?1

4

?x
i ?1

4

2

i

,然后代入 b ?

?

?x y ?x
i ?1 i ?1 n i 2 i

n

i

?nx y
_

_ _

,根据
2

? n ( x)

回归直线过样本中心点 ?x , y ? ,代入求 a ? ,最后代入求切线方程; (2)根据上一问所求的回归直线方程,令 x ? 50 ,求出预报值,让预报值与 45 相减,就是 技改前后的差值. 试题解析:由题意,得 ? xi y j =3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
i ?1 4

x?
4

2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 3? 4?5?6 ? 3.5 . ? 4.5 y ? 4 4
2 i

?x
i ?1

? 3 2 ? 4 2 ? 5 2 ? 6 2 ? 86

10

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 . 则b 86 ? 81 86 ? 4 ? 4.5 2

?x ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 . ? ? y ?b a
故线性回归方程为 y ?
? 0.7 x ? 0.35 .

(2)根据线性回归方程的预测,现在生产 50 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7×50+0.35 =35.35, 故消耗能源减少了 45-35.35=9.65(吨). 考点:线性回归方程以及应用 18【答案】 (I)3,1,2; (II) (i)见试题解析; (ii)

3 5

【解析】 试题分析: (I)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分 别为 3,1,2; (II) (i) 一一列举,共 15 种; (ii) 符合条件的结果有 9 种,所以 P ? A ? ?

9 3 ? .. 15 5

试题解析: (I)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2; (II) (i)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 ? A 1, A 2? ,

?A1, A3? , ? A1, A4? , ?A1, A5? , ?A1, A6? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A4?
, ? A3 , A5? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,共 15 种. ( ii ) 编 号 为 A5 , A6 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 ? A 1, A 5? , ? A 1, A 6? ,

? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 9 种,所以事件
A 发生的概率 P ? A ? ?

9 3 ? . 15 5
?

考点:分层抽样与概率计算. 19 试题解析: 【答案】 (I)见试题解析; (II)见试题解析; (III) 30 . 【解析】 试题分析: (I) 要证明 EF ? 平面 A (II) 1B 1BA , 只需证明 EF ? BA 1 且 EF ? 平面 A 1B 1BA ;

AE ? BC , BB1 ? AE ; 要证明平面 AEA (III) 取 B1C 中点 N,连接 1 ? 平面 BCB1 ,可证明

A1 N , 则 ?A1B1 N
sin ?A1B1 N ?

就 是 直 线 A1B1

与平面 BCB 1 所 成 角 ,Rt △ A 1 NB 1

中,由

A1 N 1 ? , 得直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角为 30? . A1B 2

( I )证明:如图 , 连接 A 的中点 , 所以 1B , 在△ A 1 BC 中 , 因为 E 和 F 分别是 BC, AC 1

EF ? BA 1 ,又因为 EF ? 平面 A 1B 1BA , 所以 EF ? 平面 A 1B 1BA .
11

( II)因为 AB=AC,E 为 BC 中点, 所以 AE ? BC , 因为 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 , 所以

AE ? 平 面 BCB BB1 ? 平 面 ABC, 从 而 BB 1 ? AE , 又 BC ? BB 1 ? B ,所以 1 ,又因为 AE ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA1 ? 平面 BCB1 .

20.答案: (1) m ? 0.20 , n ? 100 (2) P ( M ) ? 2
5

试题分析:(1)由频率分布表中各小组频率和为 1,求出 m 的值;由现从该港口随机抽取了 n 家公司,其中消防安全等级为三级的恰有 20 家,可求 n 的值; (Ⅱ)根据分层抽样,求出消防安全等级为一级的有 3 家,二级的有 4 家,三级的有 2 家, 四级的有 1 家.,再一一列举出所有得基本事件,找到抽取的这 2 家公司的消防安全等级都 是二级的基本事件数,根据概率公式计算即可. 试题解析: (1)由已知可得;0.30 ? 2m ? m ? 0.10 ? 1 ,解得:m ? 0.20 . 所以 n ? 20 ? 100 .
m

(2)由(1)知,利用分层抽样的方法从中抽取 10 家公司,则消防安全等级为一级的有 3 家,二级的有 4 家,三级的有 2 家,四级的有 1 家.

12

记消防安全等级 为二级的 4 家公司分别为 A,B,C,D,三级的 2 家公司分别记为 a,b,则从中 抽取 2 家公司,不同的结果为共 15 种,记“抽取的 2 家公司的消防安全等级都是二级”为 事件 M,则事件 M 包含的结果有:共 6 种,所以 P ( M ) ? 6 ? 2 . 15 5 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样 21.答案: (1) y ? ?

? ?0.5t 0 ? t ? 200 (2)月用电量在(200,250]度的宿舍有 22 间(3)估计我校学 t ? 100 t ? 200 ? ?

生宿舍的月均用电费用为 104 元 试题分析:( 1)按分段函数求出宿舍的用电费用函数; (2)利用频率=
频数 ,计算对应的频数即可; 样本容量

(3)利用频率分布直方图估算我校学生宿舍的月均用电费用是多少. 试题解析:(1)当 0 ? t ? 200 时, y ? 0.5t 当 t ? 200 时, y ? 200 ? 0.5 ? ? t ? 200 ? ? 1 ? t ? 100 ,综上: y ? ?

? ?0.5t 0 ? t ? 200 . t ? 100 t ? 200 ? ?

(2)x ? 1 ? ? 0.0060 ? 0.0036 ? 0.0024 ? 0.0024 ? 0.0012 ? ? 50 ? 1 ? 0.0156 ? 50 ? 0.22 , 22 间. (3)各组区间中点值分别为:75、125、175、225、275、325,即各宿舍用电量有 6 种情形 各组区间中点值发生的频率分别为:0.12、0.18、0.3、0.22、0.12、0.06,故 100 间宿舍 月均用电费量为:(元), ∴可估计我校学生宿舍的月均用电费用为 186 元.中位数约为 172 考点:频率分布直方图及其应用 22.答案: 2 (1)f(x)=﹣x +2x (2) .
0.22 ? 100 ? 22 ,即图中月用电量在(200,250]度的宿舍有

(3)见解析. 试题分析:(1)根据判别式=0,求出 b 的值,再求出 f(x)的对称轴,从而求出 a 的值, 求出函数的表达式即可; (2)结合函数的对称轴通过讨论 t 的范围,得到函数的单调 区间,从而求出函数的最大值 即可; (3)根据函数的单调性得到关于 m、n 的方程组,求出 m、n 的值即可. 2 解:(1)∵方程 f(x)=2x 有两等根,ax +(b﹣2)x=0 有两等根, 2 ∴△=(b﹣2) =0,解得 b=2, ∵f(1+x)=f(1﹣x),∴x=1 是函数的对称轴, 又此函数图象的对称轴是直线 x=﹣
2

,∴﹣

=1 ,∴a=﹣1,

故 f(x)=﹣x +2x; 2 (2)∵函数 f(x)=﹣x +2x 对称轴为 x=1,x∈[0,t],

13

∴当 t≤1 时,f(x)在[0,t]上是增函数,∴f(x)max=﹣t +2t, 当 t>1 时,f(x)在[0,1]上是增函数,在[1,t]上是减函数,∴f(a)max=f(1)=1, 综上,f(x)max= .

2

(3)∵f(x)=﹣(x﹣1) +1≤1,∴4n≤1,即 n≤ . 而抛物线 y=﹣x +2x 的对称轴为 x=1,∴当 n≤ 时,f(x)在[m,n]上为增函数.
2

2

若满足题设条件的 m,n 存在,则







,又 m<n≤ .

∴m=﹣2,n=0,这时,定义域为[﹣2,0],值域为[﹣8,0]. 由以上知满足条件的 m,n 存在,m=﹣2,n=0.(4 分) 考点:二次函数的性质.

14


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