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2013年高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试 新人教 B 版
x2 y2 1.(文)(2011· 东莞模拟)设 P 是椭圆 + =1 上的点, F1、 2 是椭圆的两个焦点, 若 F 则|PF1| 25 16 +|PF2|等于( A.4 C.8 [答案] D [解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10. (理)(2011· 浙江五校联考

)椭圆 x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,一直线过 F1 交椭 16 7 ) B.1 6 D.4 ) B.5 D.10

圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为( A.32 C.8 [答案] B

[解析] 由题设条件知△ABF2 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16. x2 y2 4 2.(文)(2011· 岳阳月考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5 A.-21 19 C.- 或 21 25 [答案] C 5-k 4 c 4 19 [解析] 若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,由 = 即 = ,得 k=- ;若 a2=4 a 5 3 5 25 +k,b2=9,则 c= k-5, k-5 4 c 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5 (理)(2011· 广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1、 2, B 焦点为 F1、 2, F 若四边形 B1F1B2F2 是正方形,则这个椭圆的离心率 e 等于( A. C. 2 2 3 2 1 B. 2 D.以上都不是 ) B.21 19 D. 或 21 25 )

[答案] A c 2 [解析] 画出草图(图略),根据题意可得 e= =cos45° = ,故选 A. a 2

3.“m>n >0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析]

)

x2 y2 ∵方程 mx2 +ny2 =1,即 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,∴需有: 1 1 m n

? ?1 ?n>0 ?m<1 ?1 n

1 >0 m ,

∴m>n>0,故互为充要条件. → → x2 4.(文)(2011· 抚顺六校检测)椭圆 +y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在椭圆上,MF1· 2 MF 4 =0,则 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 C. 3 3 ) 2 6 B. 3 D. 3

[答案] B → → [分析] 条件MF1· 2=0,说明点 M 在以线段 F1F 2 为直径的圆上,点 M 又在椭圆上, MF 通过方程组可求得点 M 的坐标,即可求出点 M 到 y 轴的距离. [解析] 椭圆的焦点坐标是(± 3,0),点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程 x2 8 2 6 是 x2+y2=3,即 y2=3-x2,代入椭圆得 +3-x2=1,解得 x2= ,即|x|= ,此即点 M 4 3 3 到 y 轴的距离. → → [点评] 满足MF· =0(其中 A,B 是平面上两个不同的定点)的动点 M 的轨迹是以线 MB 段 AB 为直径的圆. x2 y2 (理)(2011· 河北石家庄一模)已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一点, 16 25 若连接 F1,F2,P 三点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是( )

16 A. 5 16 C. 3 [答案] A [解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4, ∴∠F1F2P=90° 或∠F2F1P=90° . 16 设 P(x,3),代入椭圆方程得 x=± . 5 16 即点 P 到 y 轴的距离是 . 5

B.3 25 D. 3

5.(文)(2011· 山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长 1 轴长为 12,离心率为 ,则椭圆方程为( 3 x2 y2 A. + =1 144 128 x2 y2 C. + =1 32 36 [答案] D c 1 [解析] 2a=12,∴a=6,∵e= = , a 3 ∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选 D. 1 (理)(2011· 长沙模拟)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C:x2 2 +y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方程是( x y A. + =1 4 3 x2 C. +y2=1 4 [答案] A [解析] 由 x2+y2-2x-15=0 得,(x-1)2+y2=16, ∴r=4,∴2a=4,∴a=2, c 1 ∵e= = ,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.故选 A. a 2 5 6.(文)(2011· 银川二模)两个正数 a、b 的等差中项是 ,等比中项是 6,且 a>b,则椭 2 x2 y2 圆 2+ 2=1 的离心率 e 等于( a b A. 3 2 ) B. 13 3
2 2

) x2 y2 B. + =1 36 20 x2 y2 D. + =1 36 32

) x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 16 4

C.

5 3

D. 13

[答案] C
? ?a+b=5 [解析] 由题意可知? ,又因为 a>b, ?a· ? b=6 ?a=3 ? 所以解得? ,所以椭圆的半焦距为 c= 5, ? ?b=2

c 5 所以椭圆的离心率 e= = ,故选 C. a 3 (理)(2011· 杭州二检、江西七校联考)如下图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道 飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ 和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a1+c1 c1 c2 =a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④ < .其中正确式子的序号是( a1 a2 )

A.①③ C.①④ [答案] B

B.②③ D.②④

[解析] 给出图形的题目,要充分利用图形提供的信息解题. ∵P 点既在椭圆Ⅰ上,又在椭圆Ⅱ上,且 F 是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点,∴|PF|=a -c, 即 a1-c1=a2-c2,故②正确; 由 a1-c1=a2-c2 得 a1-a2=c1-c2,c1=a1-a2+c2, ∴c1a2-a1c2=(a1-a2+c2)a2-a1c2=(a1-a2)a2+(a2-a1)c2=(a1-a2)(a2-c2), 又∵从图中可以看出,a1>a2,a2>c2,∴c1a2-a1c2>0,即 c1a2>a1c2,故③正确,故选 B.

x2 y2 7.(文)(2011· 南京模拟)已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2 + 2=1(a>b>0)上的一点,若 a b → → 1 PF1· 2=0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为________. PF 2 [答案] 5 3

→ → [解析] ∵PF1· 2=0,∴PF1⊥PF2, PF 在 Rt△PF1F2 中,tan∠PF1F2= 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 2a 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,∴x= , 3 ∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴x2+4x2=4c2, ∴ 20 2 c 5 a =4c2,∴e= = . 9 a 3 |PF2| 1 = , |PF1| 2

1 2 x2 y2 (理)已知 + =1(m>0,n>0),则当 mn 取得最小值时,椭圆 2 + 2=1 的离心率是 m n m n ________. [答案] 3 2

[解析] ∵m>0,n>0 1 2 ∴1= + ≥2 m n 2 , mn

1 2 ∴mn≥8,当且仅当 = ,即 n=2m 时等号成立, m n
?n=2m ? 由? ,解得 m=2,n=4. ? ?mn=8

即当 m=2,n=4 时,mn 取得最小值 8, ∴离心率 e= n2-m2 3 = . n 2

x2 y2 8.(文)已知实数 k 使函数 y=coskx 的周期不小于 2,则方程 + =1 表示椭圆的概率 3 k 为________. [答案] 1 2

2π [解析] 由条件 ≥2,∴-π≤k≤π, |k| x2 y2 当 0<k≤π 且 k≠3 时,方程 + =1 表示椭圆, 3 k

1 ∴概率 P= . 2 x2 y2 (理)(2010· 深圳市调研)已知椭圆 M: 2 + 2=1(a>0,b>0)的面积为 πab,M 包含于平面 a b
?|x|≤2 ? π 区域 Ω:? 内,向 Ω 内随机投一点 Q,点 Q 落在椭圆 M 内的概率为 ,则椭圆 M 的 4 ? ?|y|≤ 3

方程为________. [答案] x2 y2 + =1 4 3

?|x|≤2 ? [解析] 平面区域 Ω:? 是一个矩形区域,如下图所示, ? ?|y|≤ 3

依题意及几何概型,可得 即 ab=2 3. 因为 0<a≤2,0<b≤ 3, 所以 a=2,b= 3.

πab π = , 8 3 4

x2 y2 所以,椭圆 M 的方程为 + =1. 4 3 x2 9.(2011· 湖南长沙一中月考)直线 l:x-y=0 与椭圆 +y2=1 相交 A、B 两点,点 C 2 是椭圆上的动点,则△ABC 面积的最大值为_ _______. [答案] 2

[解析] 设与 l 平行的直线方程为 x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为 C 时,△ABC x2 的面积最大, y=x+a 代入 +y2=0 中整理得, 2+4ax+2(a2-1)=0, Δ=16a2-24(a2 将 3x 由 2 -1)=0 得, a=± 3, 两平行直线 x-y=0 与 x-y+ 3=0 的距离 d= y2=1 中得,x1=- 6 6 ,x2= , 3 3 6 x2 , y=x 代入 + 将 2 2

∴|AB|= 1+1|

6 6 4 3 -(- ) |= , 3 3 3

1 1 4 3 6 ∴S△ABC= |AB|· × d= × = 2. 2 2 3 2 y2 10.(文)(2010· 新课标全国文)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点, b
2

过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. [解析] (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组

?y=x+c, ? ? 2 y2 ?x +b2=1. ?
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. -2c 1-2b2 则 x1+x2= . 2,x1x2= 1+b 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 8 则 =(x1+x2)2-4x1x2 9 = 4?1-b2? 4?1-2b2? 8b4 . 22 - 2 = ?1+b ? 1+b ?1+b22 ? 2 . 2

解得 b=

x2 y2 6 (理)(2011· 北京文,19)已知椭圆 G: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2, a b 3 0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(- 3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 [解析] (1)由已知得,c=2 2, = , a 3 解得 a=2 3,

又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m

?y=x+m. ? 由? x2 y2 得 ? ?12+ 4 =1
4x2+6mx+3m2-12=0. ①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0),则 x1+x2 3m x0= =- , 2 4 m y0=x0+m= . 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2, 此时方程①为 4x2+12x=0, 解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2,所以|AB|=3 2, |-3-2+2| 3 2 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· . d= 2 2

x2 y2 11.(文)(2011· 安徽省皖北联考)椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线 49 24 互相垂直,则△PF1F2 的面积为( A.20 C.24 [答案] C [解析] 椭圆的焦点坐标是(± 5,0),点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2 +y2=25,代入椭圆方程得 y2= 242 24 1 24 ,即|y|= ,所以 S△PF1F2= × 10× =24,故选 C. 25 5 2 5 ) B.22 D.28

[点评]

关于焦点三角形的问题常用定义求解.由定义知,|PF1|+|PF2|=14

(1)由

△PF1F2 为直角三角形及 c= 49-24=5 得|PF1|2+|PF2|2=100 1 相减得:|PF1|· 2|=48,∴S△PF1F2= |PF1|· 2|=24. |PF |PF 2

(2),(1)式两边平方与(2)式

x2 y2 (理)(2011· 河北唐山市二模)P 为椭圆 + =1 上一点,F1、F2 为该椭圆的两个焦点,若 4 3 → → ∠F1PF2=60° ,则PF1· 2等于( PF A.3 C.2 3 [ 答案] D [解析] 由题意可得|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos60° =(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|, 所以 4=42-3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4, → → → → 1 PF1· 2=|PF1||PF2|· PF cos60° =4× =2,故选 D. 2 12.(文)(2011· 福建文,11)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线 Γ 的离心率等于( 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 [答案] A [解析] 设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t(t>0), 3t 1 若 Γ 为椭圆,则离心率为 e= = , 6t 2 3t 3 若 Γ 为双曲线,则离心率为 = . 2t 2 x2 y2 x2 y2 (理)(2011· 许昌月考)已知双曲线 2 - 2=1 与椭圆 2 + 2=1 的离心率互为倒数,其中 a1 b a2 b a1>0,a2>b>0,那么以 a1、a2、b 为边长的三角形是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B
2 2 2 2 2 c2 c2 a1+b a2-b 1 [解析] 12=e2e2= 2·2= 2 · 2 ,则 a2a2=a2a2+(a2-a2)b2-b4,所以 a2-a2=b2, 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 a1 a2 a1 a2

) B. 3 D.2

)

2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2

)

B.直角三角形 D.等腰三角形

则以 a1、a2、b 为边长的三角形是以 a2 为斜边的直角三角形,故选 B.

x2 y2 13.过椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的一个顶点作圆 x2+y2=b2 的两条切线,切点分别为 a b A,B,若∠AOB=90° 为坐标原点),则椭圆 C 的离心率为________. (O [答案] 2 2

2 a2-b2 b 2 b2 2 c [解析] 因为∠AOB=90° 所 以∠AOF=45° 所以 = , , , 所以 e = 2= 2 =1- 2 a 2 a a a

1 2 = ,即 e= . 2 2 14.(2011· 北京模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴长 的比是 2 : 3. (1)求椭圆 C 的方程; → (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好 落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. x2 y2 [解析] (1)设椭圆 C 的方程为 2 + 2=1(a>b>0) a b

?a =b +c ? 由题意?a:b=2: 3 ?c=2 ?
解得 a2=16,b2=12.

2

2

2



x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 x2 y2 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 + =1,故-4≤x≤4. 16 12 → 因为MP=(x-m,y), → 所以|MP|2=(x-m)2+y2

? x =(x-m) +12× 1-16?. ? ?
2

2

1 1 = x2-2mx+m2+12= (x-4m)2+12 -3m2. 4 4 → 因为当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, → 即当 x=4 时,|MP|2 取得最小值.而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.

故实数 m 的取值范围是 m∈[1,4]. 15. (文)(2010· 山东省实验中学)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O, 一个长轴端点为(0,2), 短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相 → → 异两点 A、B,且AP=2PB. (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. y2 x2 [解析] (1)由题意知椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2 + 2=1(a>b>0), a b 由题意知 a=2,b=c, y2 x2 又 a2=b2+c2,则 b= 2,所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立
2 ? 2 ?y +2x =4 即? ,消去 y 得, ?y=kx+m ?

(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2-k2)(m2-4)>0

?x +x =-2+k ? 由韦达定理知? m -4 ?x · = 2+k ? x
1 2 2 1 2 2

2mk
2



→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
?x1+x2=-x2 ? ∴-x1=2x2,∴? , 2 ? ?x1x2=-2x2



m2-4 ? 2mk2?2 2 =-2 ?2+k ? 2+k

整理得(9m2-4)k2=8-2m2 8-2m2 又 9m2-4=0 时不成立,所以 k2= 2 >0 9m -4 4 得 <m2<4,此时 Δ>0 9 2 2 所以 m 的取值范围为?-2,-3?∪?3,2?. ? ? ? ? (理)(2010· 安徽文)椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心 1 率 e= . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线的方程. x2 y2 [解析] (1)由题意可设椭圆方程为 2 + 2=1(a>b>0) a b 1 c 1 ∵e= ,即 = ,∴a=2c 2 a 2 又 b2=a2-c2=3c2 x2 y2 ∴椭圆方程为 2+ 2=1.又∵椭圆过点 A(2,3) 4c 3c ∴ 4 9 x2 y2 2 + =1. 2+ 2=1,解得 c =4,∴椭圆方程为 4c 3c 16 12

(2)法一:由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0), 3 ∴直线 AF1 的方程 y= (x+2),即 3x-4y+6=0, 4 直线 AF2 的方程为 x=2. 设 P(x,y)为角平分线上任意一点,则点 P 到两直线的距离相等. 即 |3x-4y+6| =|x-2| 5

∴3x-4y+6=5(x-2)或 3x-4y+6=5(2-x) 即 x+2y-8=0 或 2x-y-1=0. 由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F1AF2 的平分线所在直线方程为 2x-y-1 =0. 法二:设 AM 平分∠F1AF2,则直线 AF1 与直线 AF2 关于直线 AM 对称. 由题意知直线 AM 的斜率存在且不为 0,设为 k. 则直线 AM 方程 y-3=k(x-2). 由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0), 3 ∴直线 AF1 方程为 y= (x+2),即 3x-4y+6=0 4 设点 F2(2,0)关于直线 AM 的对称点 F2′(x0,y0),

?x -2=-k 则? x +2 y ? 2 -3=k? 2 -2?
y0 1
0 0 0

-6k+2k2+2 6 解之得 F2′( , ). 1+k2 1+k2 ∵直线 AF1 与直线 AF2 关于直线 AM 对称, ∴点 F2′在直线 AF1 上. -6k+2k2+2 6 即 3× -4× +6=0. 1+k2 1+k2 1 解得 k=- 或 k=2. 2 由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正, 1 ∴k=- (舍去). 2 故∠F1AF2 的角平分线所在直线方程为 2x-y-1=0. 法三:∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0), → → ∴AF1=(-4,-3),AF2=(0,-3), → → AF1 AF2 1 1 ∴ + = (-4,-3)+ (0,-3) → → 5 3 |AF2| |AF2| 4 =- (1,2), 5 ∴kl=2,∴l:y-3=2(x-2),即 2x-y-1=0. → → [点评] 因为 l 为∠F1AF2 的平分线,∴AF1与AF2的单位向量的和与 l 共线.从而可由 → → AF1、AF2的单位向量求得直线 l 的一个方向向量,进而求出其斜率.

x2 y2 1.已知 F 是椭圆 + =1 的一个焦点,AB 为过其中心的一条弦,则△ABF 的面积最 25 9 大值为( A.6 C.20 [答案] D ) B.15 D.12

1 1 [解析] S= |OF|· 1-y2|≤ |OF|· |y 2b=12. 2 2 2.(2010· 北京西城区)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0), 线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 [答案] B [解析] 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. x2 y2 3.若直线 mx+ny=4 和圆 x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 9 4 的交点个数为( A.至多一个 C.1 个 [答案] B [解析] ∵直线与圆无交点,∴ 4 2 2 2>2,∴m +n <4,∴点(m,n)在圆内,又圆在 m +n
2

)

B.椭圆 D.抛物线

) B.2 个 D.0 个

椭圆内,∴点(m,n)在椭圆内,故过点(m,n)的直线与椭圆有两个交点. x2 y2 4.(2011· 金华十校)方程为 2 + 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 a b → → → F1、F2,D 是它短轴上的一个端点,若 3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] D x2 y2 5.(2010· 宁波余姚)如果 AB 是椭圆 2 + 2=1 的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆 a b 的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·OM 的值为( k A.e-1 C.e2-1 [答案] C [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0),
2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 由点差法, 2+ 2=1, 2 + 2=1,作差得 a b a b

)

1 B. 3 1 D. 5

)

B.1-e D.1-e2

?x1-x2??x1+x2? ?y2-y1??y2+y1? = , a2 b2

y2-y1 y1+y2 -b2 c2-a2 2 ∴kAB·OM= k · = 2 = 2 =e -1. a a x2-x1 x1+x2 故选 C. x2 y2 1 6.(2011· 江西理,14)若椭圆 2 + 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2+y2=1 的 a b 2 切线, 切点分别为 A, 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, B, 则椭圆方程是________. x2 y2 [答案] + =1 5 4 1 1 [解析] 点?1,2?在圆外, 过点(1, )与圆相切的一条直线方程为 x=1, 一个切点为(1,0), ? ? 2 1 设另一条切线的方程为 y=m(x-1)+ , 2 1 |-m+ | 2 1+m 3 3 5 得 m=- ,故另一条切线的方程为 y=- x+ 代入圆的方程联立解得 4 4 4



2 =1

3 4 切点为?5,5?,则直线 AB 的方程为 y=-2x+2,故椭圆的上顶点坐标为(0,2).因此 c=1 , ? ? x2 y2 b=2,a= 5,所求椭圆方 程为 + =1. 5 4 3 4 [点评] 直接设另一条切线的切点为(m,n),解得切点坐标( , )更简便. 5 5


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