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高考专题辅导与测试第1部分 专题一 第二讲 预测演练提能


一、选择题 1.(2013· 山东高考)函数 f(x)= A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 解析:选 A
?1-2x≥0, ? 由题意得? 所以-3<x≤0. ? ?x+3>0,

1-2x+

1 的定义域为( x+3

)

r />
2.(2013· 北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( 1 A.y= x C.y=-x2+1 B.y=e
-x

)

D. y=lg|x|

1 - 解析:选 C y= 是奇函数,选项 A 错;y=e x 是指数函数,非奇非偶,选项 B 错;y x =lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项 D 错;只有选项 C 是偶函数且在(0,+∞) 上单调递减. 3.(2013· 潍坊模拟)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面 的高度 h 随时间 t 变化的图像可能是( )

解析:选 B 由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位 时间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽,所以下面的高度增加得快,上面的高度增 加得慢,即图像应越来越平缓. 4.(2013· 安徽高考)函数 y=f(x)的图像如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同 f?x1? f?x2? f?xn? 的数 x1,x2,?,xn,使得 = =?= ,则 n 的取值范围为( x1 x2 xn )

1

A.{2,3}

B.{2,3,4}

C.{3,4}

D.{3,4,5}

解析: B 选

f?x1? f?x2? f?xn? = =?= 的几何意义是指曲线上存在 n 个 x1 x2 xn

点与坐标原点连线的斜率相等, n 为过原点的直线与曲线的交点个数, 即 由图可得 n 的取值为 2,3,4. 5.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)= f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是 ( A.f(x)为奇函数 C.f(x)+1 为奇函数 ) B.f(x)为偶函数 D.f(x)+1 为偶函数

解析:选 C 法一:根据题意,令 x1=x2=0,则 f(0)=f(0)+f(0)+1,所以 f(0)=-1. 令 x1=x,x2=-x,则 f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以 f(x)+1+f(-x)+1=0,即 f(x)+1=-[f(- x)+1]. 法二: (特殊函数法)由条件 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1 可取 f(x)=x-1, f(x)+1=x 是奇 故 函数. 2 x 6.函数 f(x)= -x 的图像大致为( 2 -1


)

2 x-1+1 1 1 解析: A 将解析式变形整理, 选 f(x)= -x =1+ -x , x>0 时, 当 f(x)=1+ -x 2 -1 2 -1 2 -1 1 ∈(-∞,0),当 x<0 时,f(x)=1+ -x ∈(1,+∞),只有 A 选项符合题意. 2 -1 7.(2013· 天津高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0,+∞)上单调递 增.若实数 a 满足 f(log2a)+f?



?

log 1 a? ≤2f(1),则 a 的取值范围是(
2

?

)

A.[1,2] 1 C.?2,2? ? ?

1 B.?0,2? ? ? D.(0,2]

2

解析:选 C 因为 log 1 a=-log2 a,且 f(x)是偶函数,所以 f(log2 a)+f?
2

?

log 1 a? =2f(log2
2

?

a)=2f(|log2 a|)≤2f(1), f(|log2a|)≤f(1), 即 又函数在[0, +∞)上单调递增, 所以 0≤|log2 a|≤1, 1 即-1≤log2 a≤1,解得 ≤a≤2. 2 8.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- 则 f(107.5)=( A.10 C.-10 ) 1 B. 10 D.- 1 10 1 ,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=4x, f?x?

1 解析:选 B 由于 f(x+3)=- ,所以 f(x+6)=f(x),即函数 f(x)的周期等于 6,又因 f?x? 为函数 f(x)是偶函数, 于是 f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)=- - 1 1 = . 4×?-2.5? 10 9.(2013· 东城模拟)给出下列命题:
1

1 1 =- = f?2.5? f?-2.5?

①在区间(0,+∞)上,函数 y=x 1,y=x 2 ,y=(x-1)2,y=x3 中有 3 个是增函数; ②若 logm3<logn3<0,则 0<n<m<1; ③若函数 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图像关于点 A(1,0)对称;
? x 2 ?3 ,x≤2, 1 ④已知函数 f(x)=? 则方程 f(x)= 有 2 个实数根. 2 ?log3?x-1?,x>2, ?




其中正确命题的个数为( A.1 B.2

) C.3
1 2

D.4

解析:选 C 命题①中,在(0,+∞)上只有 y=x ,y=x3 为增函数,故①不正确;② 中不等式等价于 0>log3m>log3n,故 0<n<m<1,②正确;③中函数 y=f(x-1)的图像是把 y= f(x)的图像向右平移一个单位得到的,由于函数 y=f(x)的图像关于坐标原点对称,故函数 y 1 - =f(x-1)的图像关于点 A(1,0)对称,③正确;④中当 3x 2= 时,x=2+log3 2 <2,当 log3(x 2 1 1 -1)= 时,x=1+ 3>2,故方程 f(x)= 有 2 个实数根,④正确. 2 2
?a,a-b≤1, ? 10.(2013· 武汉模拟)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x) ? ?b, a-b>1.
1

=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值

3

范围是(

) B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2]

? 2 ?x -2,-1≤x≤2, 解析: B 由题设知 f(x)=? 选 画出函数 f(x)的图像, 如图, A(2,1), ?x-1,x<-1或x>2, ?

B(2,2),C(-1,-1),D(-1,-2).从图像中可以看出,直线 y=c 与函数的图像有且只有 两个公共点时,实数 c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

二、填空题 11.(2013· 江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等 式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 解析:由于 f(x)为 R 上的奇函数,所以当 x=0 时,f(0)=0;当 x<0 时,-x>0,所以 f(-

?x -4x,x>0, ? 2 2 x)=x +4x=-f(x),即 f(x)=-x -4x,所以 f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0. ?
2 2 ? ? ?-x -4x>x, ?x -4x>x, 由 f(x)>x,可得? 或? ? ? ?x>0 ?x<0,

2

解得 x>5 或-5<x<0, 所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞). 答案:(-5,0)∪(5,+∞) 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则 f(-2) =________. 解析:令 x=y=0,得 f(0)=0;令 x=y=1,得 f(2)=2f(1)+2=6.由 0=f(2-2)=f(2)+ f(-2)-8 得 f(-2)=2. 答案:2 13.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程 f(x)=f(2x-3)的所有实数 根的和为________. 解析:由于函数 f(x)为偶函数,则 f(|x|)=f(|2x-3|),又函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 则|x|=|2x-3|,整理得 x2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3,故 x1+x2=4. 答案:4

4

1 14.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y= (x>0)图像上一动点.若 x 点 P,A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的所有值为________. 1 1 1 1 1 解析:设 P?x,x?,x>0,则|PA|2=(x-a)2+?x-a?2=x2+ 2-2a?x+x?+2a2=?x+x?2 ? ? ? ? ? ? ? ? x 1 -2a?x+x?+2a2-2. ? ? 1 令 t=x+ ,则由 x>0,得 t≥2. x 所以|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2, 由 PA 取得最小值 2 2,得

?a≤2, ?a>2, ? 2 2 2 或? 2 ?2 -4a+2a -2=?2 2? ?a -2=?2 2?2,
解得 a=-1 或 a= 10. 答案:-1 或 10

?a,x=1, ? 15.函数 f(x)=??1?|x-1| 若关于 x 的方程 2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0 有五 +1,x≠1, ??2? ?
个不同的实数解, 则 a 的取值范围是________. 3 解析:由 2f2(x)-(2a+3)· f(x)+3a=0 得 f(x)= 或 f(x)=a.由已知画出函数 f(x)的大致图 2 像, 结合图像不难得知, 要使关于 x 的方程 2f2(x)-(2a+3)· f(x)+3a=0 有五个不同的实数解, 3 即要使函数 y=f(x)的图像与直线 y= , y=a 共有五个不同的交点, 结合图形分析不难得出, 2 3 3 a 的取值范围是?1,2?∪?2,2?. ? ? ? ?

3 3 答案:?1,2?∪?2,2? ? ? ? ? 16.(2013· 成都模拟)给定区间 D,对于函数 f(x),g(x)及任意的 x1,x2∈D(其中 x1>x2), 若不等式 f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)恒成立, 则称函数 f(x)相对于函数 g(x)在区间 D 上是“渐先 函数”.已知函数 f(x)=ax2+ax 相对于函数 g(x)=2x-3 在区间[a,a+2]上是渐先函数,则 实数 a 的取值范围是________.
5

解析: a≤x2<x1≤a+2, 设 由题意知 f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)恒成立, ax2+ax1-(ax2+ 即 1 2 ax2)>2x1-3-(2x2-3)恒成立,即 a(x1-x2)(x1+x2+1)>2(x1-x2).因为 x1>x2,故不等式转化 为 a(x1+x2+1)>2 恒成立.因为 a≤x2<x1≤a+2,所以 2a+1<x1+x2+1<2a+5,故当 a>0 -1+ 17 时,不等式恒成立转化为 a(2a+1)≥2,即 2a2+a-2≥0,解得 a≥ ;当 a<0 时, 4 -5- 41 不等式恒成立转化为 a(2a+5)≥2,即 2a2+5a-2≥0,解得 a≤ .所以 a 的取值范 4 -5- 41? ?-1+ 17 ? ? 围是?-∞, ?∪? ,+∞?. 4 4 ? ? ? ? -5- 41? ?-1+ 17 ? ? 答案:?-∞, ?∪? ,+∞? 4 4 ? ? ? ?

6


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