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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用练习 新人教A版选修1-2


1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

一、选择题 1.下列关于等高条形图的叙述正确的是( )

A.从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系 B.从等高条例形图中可以看出两个变量频数的相对大小 C.从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系 D.以上说法都不对 [答案] C [解析] 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系, 故 A 错. 在等高条形图中 仅能找出频率,无法找出频数,故 B 错. 2. 在 2×2 列联表中, 两个比值________相差越大, 两个分类变量之间的关系越强( A. C. )

a a

a+b c+d a+d b+c




c c

B. D.

a a

c+d a+b b+d a+c




c c

[答案] A [解析]

a c 与 相差越大, 说明 ad 与 bc 相差越大, 两个分类变量之间的关系越强. a+b c+d
)

3. 独立性检验中, 不需要精确计算就可以粗略地判断两个分类变量是否有关的是( A.散点图 C.假设检验的思想 [答案] B B.等高条形图 D.以上都不对

[解析] 等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关, 但无法精确地给出结论的 可靠程度,故选 B. 4.在一个 2×2 列联表中,由其所给的数据计算得 K =5.672,则其两个变量间有关系 的可能性为( A.99% C.90% [答案] B [解析] 如果 K >3.841 时,有 95%的把握判定变量 A,B 有关联,故选 B 最为恰当.对 于独立性检验的应用,我们应记下上述理解之中的 b,c,d,同时要注意特殊结论 K ≤2.706 时,可以认为两个变量之间无关联. 5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )
2 2 2

) B.95% D.无关系

①若 K 的观测值满足 K ≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有 关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有 95%的把握 认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误 A.① C.③ [答案] C [解析] ①推断在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病,说法错误,排除 A,B,③正 确.排除 D,选 C. 6.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其 2×2 列 联表为: B.①③ D.②

2

2

y1 x1 x2
总计

y2 b d b+d

总计

a c a+c

a+b c+d a+b+c+d
)

以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=5,b=4,c=3,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 [答案] D [解析] 比较| B.a=5,b=3,c=4,d=2 D.a=2,b=3,c=5,d=4

a c - |. a+b c+d

5 3 2 选项 A 中,| - |= ; 9 5 45 5 4 1 选项 B 中,| - |= ; 8 6 24 2 4 2 选项 C 中,| - |= ; 5 9 45 2 5 7 选项 D 中,| - |= .故选 D. 5 9 45 二、填空题 7.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以下的人,调查结果如 下表: 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 43 13 未患慢性气管炎 162 121 合计 205 134

合计
2

56

283

339

根据列表数据,求得 K 的观测值 k=________. [答案] 7.469 8.调查者通过随机询问 72 名男女中学生喜欢文科还是理科,得到如下列联表(单位: 名) 性别与喜欢文科还是理科列联表 喜欢文科 男生 女生 总计 8 20 28 喜欢理科 28 16 44 总计 36 36 72

中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系.(填“有”或“没有”) [答案] 有 [ 解析 ] 通过计算 K 的观测值 k =
2

72×?16×8-28×20? ≈8.42>7.879.故我们有 36×36×44×28

2

99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系. 9.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下 表: 专业性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

K2=

50×?13×20-10×7? ≈4.844, 23×27×20×30
2

2

因为 K ≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ________. [答案] 5% [解析] ∵k>3.841,所以有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关,出错的可能性 为 5%.

三、解答题 10.某推销商为其保键药品做广告,在广告中宣传:“在服用该药品的 105 人中有 100 人未患 A 疾病”.经调查发现,在不服用该药品的 418 人中仅有 18 人患 A 疾病.请用所学 知识分析该药品对预防 A 疾病是否有效. [解析] 将问题中的数据写成如下 2×2 列联表:

患 A 疾病 服用该药品 不服用该药品 合计 将上述数据代入公式 K =
2

不患 A 疾病 100 400 500

合计 105 418 523

5 18 23

n?n11n22-n12n21?2 2 中 , 计 算 可 得 K ≈0.0414 , 因 为 n1+n2+n+1n+2

0.0414<3.841,故没有充分理由认为该保健药品对预防 A 疾病有效.

一、选择题 1.对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是( A.判断模型的拟合效果 B.对两个变量进行相关分析 C.给出两个分类变量有关系的可靠程度 D.估计预报变量的平均值 [答案] C [解析] 独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度. 2.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ^ ②设有一条直线的回归方程为y=3-5x, 变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单位; ^ ^ ^ - - ③线性回归直线y=bx+a必过点( x , y ); ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则有 99%的把握确认这两个变量间有 关系.其中错误的个数是( A.0 C.2 本题可以参考独立性检验临界值表: ) B.1 D.3
2

)

P(χ 2≥k0) k0 P(χ ≥k0) k0
[答案] B
2

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.025 5.024

0.25 1.323 0.010 6.635

0.15 2.072 0.005 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828

[解析] 一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是 反映数据的波动程度的量),①正确;回归方程中 x 的系数具备直线斜率的功能,对于回归 ^ 方程y=3-5x,当 x 增加一个单位时,y 平均减少 5 个单位,②错误;由线性回归方程的定

^ ^ ^ - - 2 义知,线性回归直线y=bx+a必过点( x , y ),③正确;因为 K =13.079>10.828,故有 99% 的把握确认这两个变量有关系,④正确,故选 B. 3.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总数 27 23 50 )

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( A.99% C.90% [答案] B [解析] 由表中数据得 k= ≈5.059>3.841. 所以约有 95%的把握认为两变量之间有关系. 50×?18×15-8×9? 26×24×27×23
2

B.95% D.无充分依据

4.某卫生机构对 366 人进行健康体检,其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的 有 16 人,不发病的有 93 人;阴性家族史者糖尿病发病的有 17 人,不发病的有 240 人,有 ______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系.( A.99.9% C.99% [答案] D [解析] 可以先作出如下列联表(单位:人): 糖尿病患者与遗传列联表 糖尿病发病 阳性家族史 阴性家族史 总计
2

) B.99.5% D.97.5%

糖尿病不发病 93 240 333

总计 109 257 366

16 17 33

根据列联表中的数据,得到 K 的观测值为

k=

366×?16×240-17×93? ≈6.067>5.024. 109×257×33×333

2

故我们有 97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系. 二、填空题 5. 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况, 在某中学随机抽出 20 名 15 至 16 周岁 的男生将他们的身高和体重制成 2×2 列联表,根据列联表中的数据,可以在犯错误的概率

不超过________的前提下认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 超重 偏高 不偏高 总计 [答案] 0.025 [解析] 根据公式 K =
2 2

不超重 1 12 13

总计 5 15 20

4 3 7

n?ad-bc?2 2 得,K 的观测值 k= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

20×?4×12-1×3? ≈5.934, 5×15×7×13 因为 k>5.024,因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为该学校 15 至 16 周岁的 男生的身高和体重之间有关系. 6.独立性检验中,两个分类变量“X 和 Y 有关系”的可信度是 95%,则随机变量 K 的 取值范围是________. [答案] (3.841,6.635] [解析] 当 K >3.841 时,有 95%的把握判断 X 与 Y 有关系,当 K >6.635 时,有 99%的把 握判断 X 与 Y 有关系, ∴3.841<K ≤6.635. 三、解答题 7.为了研究性格与血型的关系,抽取 80 名被试者,他们的血型与性格汇总如下,试判 断性格与血型是否相关. 血型性格 A型 B型 总计 O 型或 A 型 18 17 35 B 型或 AB 型 16 29 45 总计 34 46 80
2 2 2 2

[解析] 由列联表中的数据得到:

K2=

80×?18×19-16×17? ≈2.030≤2.706. 35×45×34×46

2

认为没有充分的证据显示“血型与性格有关系”. 8.打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查所得的数据, 试问:每一晚都打鼾与患心脏病有关吗? 患心脏病 每一晚都打鼾 不打鼾 30 24 未患心脏病 224 1 355 合计 254 1 379

合计

54

1 579

1 633

[解析] 假设每一晚都打鼾与患心脏病无关系,则有

n?ad-bc?2 ∴K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2



1 633×?30×1 355-224×24? =68.033. 254×1 379×54×1 579

2

∵68.033>10.828. ∴有 99%的把握说每一晚都打鼾与患心脏病有关.



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