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2013等差等比数列高考题


2013 等差数列高考题

a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 1. (重庆文 1) 在等差数列 ?an ? 中,
= A.12 B.14 C.16 D.18

和, n ? N ,若 a3 ? 16, S 20 ? 20,则 S10 的值为
*

2.(重庆理 11)在等差数列 {an }

中,

_______ 11.(湖北理科 13 文科 9) 《九章算术》 “竹九节”问题: 现有一根 9 节的竹子,自上而下各节 的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节 的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升.
* 12. (湖南理科 12) 设 Sn 是等差数列 {an }( n ? N ) 的前

a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ____
3.(江西文科 5).设 ?an ?为等差数列,公差 d ? ?2 ,

n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S5 ? ______
13. (江苏 13) 设 1 ? a1 ? a2 ? … ? a7 , 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的 等差数列,则 q 的最小值是 .

Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( )A.18 B.20
C.22 D.24

S2 ? S6 , 4. (辽宁文 15) Sn 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,

a4 ? 1 ,则 a5 ? ____________。
5(广东 11)等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的 和.若 a1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,则 k ? .

14.(陕西理 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路 一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开始 时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 使每位同学从各 自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小, 这 个最小值为 (米) . 15.(陕西文 10) 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人

6. ( 江 西 理 科 5 ) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足: S n ? S m ? S n? m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? ( A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 )

植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中 放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号, 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总 和最小,树苗可以放置的两个最佳 坑位的编号为( .... (A)⑴和⒇(B)⑼和⑽(C) ⑼和 ⑾(D) ⑽和⑾ 16. ( 福 建 文 科 17 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , )

7.(四川理科 8)数列 ?an ?的首项为 3 , ?bn ?为等差数
* 列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N ) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,

则 a8 (A)0 (B)3 (C)8 (D)11

a1 ? 1, a3 ? ?3
(I)求数列 ?an ?的通项公式; (II) 若数列 ?an ?的前 k 项和 S k ? ?35 , 求 k 的值. 17. ( 辽宁理 17 )已知等 差数列 ?an ? 满 足 a2 ? 0 ,

8.(天津理 4)已知 ?an ? 为等差数列,其公差为 ? 2 , 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为 ?an ? 的前 n 项 和, n ? N ,则 S10 的值为
*

A. ? 110 B. ? 90

C.90

D.110

9.(全国大纲理 4、文 6)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ? 2 ? Sk ? 24 ,则 k ? (A)8 (B)7 (C)6 (D)5

a6 ? a8 ? ?10
(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?

10.(天津文 11)已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项

? an ? 的前 n 项和。 n ?1 ? ?2 ?

18.(江西理科 18)已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ?,满



a1 ? a(a ? 0), b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 .
(1)若 a =1,求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?an ?唯一,求 a 的值. 19.(四川文科 20)已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比 的等比数列, Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1 、 S3 、 S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm 、 Sn 、 Sl 成等差数列时,求证:对任 意自然数 k, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列. 1.答案:D 解析:由等差数列的通项公式容易知 an ? 2(n ? 1) ,

? a8 ? (a8 ? a7 ) ? (a7 ? a6 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? b7 ? b6 ? ? ? b1 ? a1

?

7(b1 ? b7 ) ? a1 ? 7a4 ? a1 ? a1 ? 3 2

8.答案:D 9.【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应 用. 【解析】解法一
Sk ? 2 ? Sk ? [(k ? 2) ?1 ? (k ? 2)(k ? 1) k (k ? 1) ? 2] ? [k ?1 ? ? 2] ? 4k ? 4 ? 24 2 2

,解得 k ? 5 . 解法二: 解得解得 Sk ? 2 ? Sk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? [1 ? (k ? 1) ? 2] ? (1 ? k ? 2) ? 4k ? 4 ? 24 ,

? a10 ? 2 ? 9 ? 18
2.答案:74 解析:有等差数列的性质得:

k ?5.
10.答案:110 11.【答案】

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2(a3 ? a7 ) ? 74
3. 答 案 : B 解析:

67 66

S10 ? S11 , 则 a11 ? 0 ,

解析:设该数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意

? a11 ? a1 ? 10 d ? 0,? a1 ? 20
4.答案: ? 1 5. 方 法 1 : 由 S9 ? S4 得 9 ? 36d ? 4 ? 6d , 求 得

?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 3 ,即 ? ?a7 ? a8 ? a9 ? 4
4 ? a1 ? 7d ? ? ? 3 ,则 ? ?d ? 7 ? 66 ?

?4a1 ? 6d ? 3 ,解得 ? ?3a1 ? 21d ? 4

1 d ? ? ,则 6

1 1 ak ? a4 ? 1 ? (k ? 1) ? (? ) ? 1 ? 3 ? (? ) ? 0 , 解 得 6 6 k ? 10
方法 2:由 S9 ? S4 得 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 , 即 5a7 ? 0 , a7 ? 0 ,即 a10 ? a4 ? 2a 7 ? 0 ,即 k ? 10 6. 答 案 : A 解 析 : 令 m ?1 , 则

a5 ? a1 ? 4d ? a1 ? 7d ? 3d ?
该填

4 21 67 ? ? ,所以应 3 66 66

67 . 66

12.答案:25 解析:由 a1 ? 1, a4 ? 7 可得

S n ?1 ? S n ? S1 ? a1 ? 1 , ? ?S n ? 是 等 差 数 列 , 则 有 S n ? S1 ? (n ? 1) ? n ,? a10 ? S10 ? S9 ? 1
7.答案:B 解 析 : ?bn ? 为 等 差 数 列 , 设 公 差 为 d , 则

a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ? 1,

(1 ? 9) ? 5 ? 25 。 2 13.答案: 3 3
所以 S5 ? 解析:由 1 ? a1 ? a2 ? … ? a7 得:

b ? b 14 d ? 10 3 ? ?2, 10 ? 3 7

1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q 2 ? a2 ? 2 ? q 3 ,又 a2 ? 1
2 3 所以 q ? 1 且 q ? 2 且 q ? 3 ,故 q ? 3 3 。

?bn ? b3 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 8

14.【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化 为函数的最值问题. 【解】 (方法一)设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图) ,

=2000 D (10)和(11):路程和都是 2000

i 1 2 ? ? 19 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是

20

s ? (i ?1) ?10 ? (i ? 2) ?10 ? ? ? (i ? i) ?10 ? [(i ? 1) ? i] ?10 ? ? ? (20 ? i) ?10

? 10 ? [i ? i ?

i(i ? 1) (20 ? i)(i ? 1 ? 20) ? i ? (20 ? i ) ? ] 2 2

(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁 边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的 树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移 到第 10 个和第 11 个树坑旁时, 所得的路程总和达到另 一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放 在 第 一 个 树 坑 旁 , 则 有 路 程 总 和 是

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ?

? 10(i 2 ? 21i ? 210) ,所以当 i ? 10 或 11 时, s 的值最
小, 最小值是 1000, 所以往返路程的最小值是 2000 米. (方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁 边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的 树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移 到第 10 个和第 11 个树坑旁时, 所得的路程总和达到另 一个最值,所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个 树 坑 旁 , 则 有 路 程 总 和 是

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ; 2

树苗放在第 10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和 是

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ?2 2 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 ,所以路程总和最小为 2000 米. ? 10 ?
16.解: (1) an ? 3 ? 2n ; (2) k ? 7 。 17.解: (1)设等差数列 ?an ?的公差为 d ,由已知条 件可得: ?

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ?

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树 2

苗放在第 10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和是

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2
? 10 ? 9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 , 所 2 2

?a1 ? 1 ?a1 ? d ? 0 ,解得 ? ?d ? ?1 ?2a1 ? 12 d ? ?10

故数列 ?a n ? 的通项公式为 an ? 2 ? n ; (2)设 数 列 ?

以路程总和最小为 2000 米. 15.【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和;或 根据路程和的变化规律直接得出结论. 【解】选 D (方法一) 选 项 ⑴ A 和 具体分析 (20) : 结论

? an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 即 n ?1 ? ?2 ?

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 3800
(9):

a a2 a3 , 故 S1 ? 1 , 所以当 n ? 1 ? 2 ? ? ? nn 2 2 2 ?1 S a ?1 an a a 时, n ? 1 ? 2 ??? n ? ,两式相减有: 2 2 2 2 2n?1 2n Sn a ?a a a ?a a ?a , ? a1 ? 2 1 ? 3 2 2 ? ? ? n n?1n?1 ? n 2 2 2 2 2n S n ? a1 ?
又 an ? an ?1 ? ?1 所以

B

比 较 10 ?[(1 ? 2 ? ? ? 8) ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 11) 2] ? 2040 S n 1 1 1 各? 个 ? a1 ? ( ? 2 ? ? ? n?1 ) ? 路 程 2 2 2 2 和 可 (10): 1 1 知 D [1 ? ( ) n ?1 2?n n 2 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ?符 10)合 ?2 ? 1? 2 ? n ? n 1 2 2 1? 题意 =2000 2 (11):

an 2n

C

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2

2 n ?1 .18.解: (1)当 a ? 1 时,

所以 S n ?

n

b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 ,又? ?a n ?, ?bn ?
为等比数列,不妨设 ?an ?公比为 q1 ,由等比数列性质 知: b2 ? b1b3 ? ( 2 ? a 2 ) ? 2?3 ? a3 ? ,同时又有
2 2

a2 ? a1q1 , a3 ? a1q1 ? ?2 ? a1q1 ? ? 2 3 ? a1q1 ? ?2 ? q1 ? ? 2 3 ? q1 ? q1 ? 2 ? 2
2 2 2 2 2

?

?

?

?

所以: an ? 2 ? 2

?

?

n ?1

,n ?1

(2) ?an ? 要 唯 一 , ? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 由

b1 ? 1 ? a, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且
b2 ? b1b3 ?
2

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0
,(*) ? a ? 0 ? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0
2

? ? ? ?4a ? ? 4a?3a ? 1? ? 4a?a ? 1? ? 0 恒成立,
2

此时(*)式有两个不同的实数解,若要使(*)式符合条 件的解只有一个,则方程必有一个根为零, ? 当公比

1 1 。等比数列 ?an ?首项为 a ? ,此时 3 3 1 q1 ? 4 。综上: a ? 。 3
q1 ? 0 时, a ?
19.本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基 本运算能力和分析问题、解决问题的能力. ?1 解 :( 1 ) 由 已 知 , an ? a nq , 因 此 S1 ? a ,
S3 ? a(1 ? q ? q 2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q 2 ? q3 ) .

当 S1 、 S3 、 S4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 , 可得 aq ? aq ? aq 2 .? aq ? 0
3

1? 5 . 2 (2)若 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am ? k 、

? q 2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

an ? k 、 al ? k 显然成等差数列.

若 q ? 1 , 由 Sm 、 Sn 、 Sl 成 等 差 数 列 可 得
Sm ? Sl ? 2 S,即 n

a(q m ? 1) a(ql ? 1) 2a(q n ? 1) . ? ? q ?1 q ?1 q ?1
qm ?
m l






k ?1

? ql2
n ? k ?1

qn .







am? k ? al ? k ? aq

(q ? q ) ? 2aq

? 2an ? k .

所以, am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列.

40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? 1
42. 等 比 差 数 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为 列

?b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n , ( q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?


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