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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2章综合素质检测]


第二章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2013· 四川文,5)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( A.2 3 C. 3 [答案] D [解析] |2- 3×0| 12+?- 3?2 由 y2 = 8x 可 得 其 焦 点 坐 标 (2,0) , 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 d = =1. B.2 D.1 )

x2 y2 2.已知椭圆 2+ =1(a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 经过焦点 F1,则 a 25 △ABF2 的周长为( A.10 C.2 41 [答案] D [解析] 由椭圆定义可知,有|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, ∴△ABF2 的周长 L=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a. 由题意可知 b2=25,2c=8,∴c2=16 a2=25+16=41,∴a= 41,∴L=4 41,故选 D. x2 y2 3.椭圆 2+ =1 的一个焦点为(0,1),则 m=( m 3-m A.1 C.-2 或 1 [答案] C [解析] ∵焦点在 y 轴上,∴3-m>m2. 由 3-m-m2=1 得 m=1 或-2,∴选 C. x2 y2 4.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程 a b 为( ) A.y=± 2x B.y=± 2x ) ) B.20 D.4 41

-1± 17 B. 2 -1± 17 D.-2 或 1 或 2

2 C.y=± x 2 [答案] C

1 D.y=± x 2

[解析] ∵2b=2,2c=2 3,∴b=1,c= 3,∴a2=c2-b2=3-1=2,∴a= 2,故渐 2 近线方程为 y=± x. 2 x2 y2 5. (2013· 天津理, 5)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0) a b 的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3, 则 p=( A.1 C.2 [答案] C p [解析] ∵e=2,∴b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为 y=± 3x,不妨设 A=(- , 2 3p p 3p p 1 p ),B(- ,- ),则 AB= 3p,又三角形的高为 ,则 S△AOB= × × 3p= 3,即 p2 2 2 2 2 2 2 =4,又 p>0,∴p=2. x2 y2 x2 y2 6. 已知 a>b>0, e1, e2 分别为圆锥曲线 2+ 2=1 和 2- 2=1 的离心率, 则 lge1+lge2( a b a b A.大于 0 且小于 1 C.小于 0 [答案] C [解析] ∵lge1+lge2=lg =lg a2-b2 a2+b2 +lg a a B.大于 1 D.等于 1 ) ) 3 B. 2 D.3

a4-b4 a2 <lg 2=lg1=0,∴lge1+lge2<0. a2 a

x2 y2 7.(2014· 长春市期末调研)经过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为 60° 的直 a b 线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率为( A.2 C. 2 [答案] A [解析] 由条件知,双曲线的渐近线与此直线平行, b ∴ =tan60° = 3,∴b= 3a,代入 a2+b2=c2 中得 4a2=c2,∴e2=4,∵e>1,∴e=2, a 故选 A. B. 3 D. 5 )

x2 y2 8.(2014· 天津理,5)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x a b +10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100 [答案] A [解析] 由于一个焦点在直线 y=2x+10 上,则一个焦点为(-5,0),又由渐近线平行于 b 直线 y=2x+10.则 =2,结合 a2+b2=c2,c=5 得,a2=5,b2=20, a x2 y2 ∴双曲线标准方程为 - =1,选 A. 5 20 9.(2013· 新课标Ⅱ理,11)设抛物线 C:y2=3px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y =4x 或 y =8x C.y2=4x 或 y2=16x [答案] C 3 y2 0 [解析] 由已知 F( p,0),A(0,2),M( ,y0), 4 3p ∵AF⊥AM,∴kAF· kAM=-1, 即 2-y0 2 × 2 =-1, 3 y0 - p - 4 3p
2 2 2

)

x2 y2 B. - =1 20 5 3x2 3y2 D. - =1 100 25

)

B.y =2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

16 2 ∴y0 -8y0+16=0,∴y0=4,∴M( ,4), 3p ∵|MF|=5,∴5= 3 16 ∴( p- )2=9. 4 3p ∴ 3p 16 3p 16 - =3 或 - =-3, 4 3p 4 3p ① 3 16 ? p- ?2+16, 4 3p

∴9p2-36p-64=0, 或 9p2+36p-64=0, 4 16 由①得∴p=- (舍),p= . 3 3 4 16 由②得 p= (p=- 舍), 3 3 ∴C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.

x2 y2 10.(2014· 淄博市临淄中学学分认定考试)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 别为 F1、F2、P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则椭圆 C 的离心率为( A. C. 3 6 3 3 1 B. 3 1 D. 2 )

[答案] C [解析] 由题意,设|PF2|=x,∵∠PF1F2=30° , ∴|PF1|=2x,∵PF2⊥F1F2,∴|F1F2|= 3x, ∴由椭圆的定义知 2a=3x,又∵2c= 3x, c 2c 3x 3 ∴离心率为 e= = = = ,故选 C. a 2a 3x 3 11.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的 直径为 60 cm,灯深 40 cm,则抛物线的标准方程可能是( 25 A.y2= x 4 45 C.x2=- y 2 [答案] C [解析] 如果设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p 45 B.y2= x 4 45 D.x2=- y 4 )

45 45 45 45 = , 所以抛物线的方程应为 y2= x, 所给选项中没有 y2= x, 但方程 x2=- y 中的“2p” 2 2 2 2 45 的值为 ,所以选项 C 符合题意. 2 x2 y2 12.(2013· 新课标Ⅰ理,10)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F a b 的直线交椭圆于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 [答案] D [解析] 设 A 点坐标的(x1,y1),B 点坐标为(x2,y2), x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9 )



? ?x y ?a +b =1.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, a2 b2

2 2 2 x2 1-x2 y2-y1 两式相减得, 2 = 2 , a b



?x1-x2??x1+x2? ?y2-y1??y2+y1? = , a2 b2

y2-y1 b2 ∵x1+x2=2,y1+y2=-2,∴k= = 2, x2-x1 a -1-0 1 b2 1 又∵k= = ,∴ 2= , 2 a 2 1-3 又∵c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9, ∴b2=9,a2=18, x2 y2 即标准方程为 + =1,故选 D. 18 9 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) x2 y2 13. 椭圆 + =1 的两焦点为 F1、 F2, 点 P 在椭圆上, 使∠F1PF2=90° 的点 P 有________ 4 3 个. [答案] 0 [解析] 设 a>b>0,c= a2-b2,以 O 为圆心,以 c 为半径画圆;当 c<b 时,圆与椭圆 无公共点,此时椭圆上无满足要求的点;当 c=b 时,圆与椭圆切于短轴的两个端点,此时 满足要求的点有两个,即椭圆短轴两个端点;当 c>b 时,椭圆与圆有四个交点,此时满足条 件的点有这四个点,这里 a2=4,b2=3,∴c=1,b= 3,因此这样的点 P 不存在. 1 14.(2014· 湖北部分重点中学高二期中)过抛物线 x2= y 的焦点作直线交抛物线于 A、B 8 两点,线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 2,则线段 AB 的长为________. [答案] 32 [解析] 分别过 A、B、F、M 作准线的垂线,垂足依次为 A1、B1、F1、M1,则|MM1|= 1 1 (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 又|MM1|=yM+ ∴|AB|= 65 . 16 1 1 65 =2+ = . 32 32 32 1 2

x2 y2 15.(2013· 辽宁理,15)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直 a b 4 线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e 5 =________. [答案] 5 7

[解析] 本题考查椭圆的几何性质,解三角形问题.

在△ABF 中,由余弦定理得, |AB|2+|BF|2-|AF|2 cos∠ABF= ,∴|BF|2-16|BF|+64=0,∴|BF|=8,设右焦点为 F1, 2|AB|· |BF| 因为直线过原点,∴|BF1|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF1|=14,∴a=7, ∵O 为 Rt△ABF 斜边 AB 的中点, 1 5 ∴|OF|= |AB|=5,∴c=5,∴e= . 2 7 x2 y2 16.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 2 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ③④ 5 3 5 [解析] 显然当 t= 时,曲线为 x2+y2= ,方程表示一个圆;而当 1<t<4,且 t≠ 时, 2 2 2 5 方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示双曲线;而当 1<t< 时,4-t>t-1>0,方程表示 2 焦点在 x 轴上的椭圆,故③④为真命题. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) y2 17.(本小题满分 12 分)(2014· 云南景洪市一中期末)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x2+ 2= b 1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差 数列. (1)求|AB|. (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. [解析] (1)求椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程式为 y=x+c,其中 c= 1-b2, y=x+c, ? ? 设 A(x1,y1),B(x1,y1),则 A、B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ? ?x +b2=1, 消去 y 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.

-2c 1-2b2 则 x1+x2= . 2,x1x2= 1+b 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 8 则 =(x1+x2)2-4x1x2 9 = 4?1-b2? 4?1-2b2? 8b4 - = , ?1+b2?2 1+b2 1+b2 2 . 2

解得 b=

18.(本小题满分 12 分)(2014· 银川九中一模)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程. (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明 理由. [解析] 设所求圆的半径为 r,则圆的方程为(x-2)2+y2=r2. 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m), 4+m =r , ? ? ?m=2, 则?|2-0+m| 解得? =r, ?r=2 2. ? 2 ? 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m.
? ?y=-x-m, 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ?x =4y. ?
2 2

Δ=42-4×4m=16(1-m). ①当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; ②当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 19.(本小题满分 12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,一条渐近 线方程为 y=x,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求MF1· MF2. [解析] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程. ∵双曲线的一条渐近线方程为 y=x, ∴设双曲线方程为 x2-y2=λ.

把点(4,- 10)代入双曲线方程得,λ=6. ∴所求双曲线方程为 x2-y2=6. (2)双曲线的焦点为 F1(-2 3,0)、F2(2 3,0). ∵M 点在双曲线上,∴32-m2=6,m2=3. → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m)=(-3)2-(2 3)2+m2=0. x2 y2 20.(本小题满分 12 分)(2014· 安徽文,21)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 [解析] (1)由|AF1|=3|F1B|及|AB|=4 得|AF1|=3,|F1B|=1, 又∵△ABF2 的周长为 16, ∴由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. ∴|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义知:|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k, 在△ABF2 中,由余弦定理得, |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B, 6 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k), 5 ∴(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0, ∴a=3k, 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k, ∴|BF2|2=|F2A|2+|AB|2 ∴F2A⊥AB,F2A⊥AF1, ∴△AF1F2 是等腰直角三角形, 从而 c= 2 c 2 a,所以椭圆离心率为 e= = . 2 a 2

x2 y2 21.(本小题满分 12 分)(2014· 重庆万州分水中学期中)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心 a b 率 e= 3 ,a+b=3. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A、B、D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N, 直线 AD 交 BP 于点 M, 设 BP 的斜率为 k, MN 的斜率为 m, 证明 2m-k 为定值.

2 2 3 c c2 a -b b2 3 [解析] (1)∵e= = ,∴ 2= 2 =1- 2= ,∴a=2b, 2 a a a a 4

再由 a+b=3 得 a=2,b=1, x2 ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 1 (2)因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则 BP 方程为 y=k(x-2)(k≠0 且 k≠± ),① 2 8k2-2 x2 4k 将①代入 +y2=1,解得 P( 2 ,- 2 ), 4 4k +1 4k +1 1 又直线 AD 的方程为 y= x+1,② 2 4k+2 4k ①与②联立解得 M( , ), 2k-1 2k-1 8k2-2 4k-2 4k 由 D(0,1),P( 2 ,- 2 ),N(x,0)三点共线可得 N( ,0),所以 MN 的斜率为 4k +1 4k +1 2k-1 2k+1 2k+1 1 m= ,则 2m-k= -k= (定值). 4 2 2 22.(本小题满分 14 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为 其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. [解析] (1)设椭圆的方程 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 ∵F(2,0)是椭圆的右焦点,且椭圆过点 A(2,3),
?c=2, ?c=2, ? ? ∴? ∴? ∵a2=b2+c2, ? ? 2 a = 3 + 5 = 8 , a = 4. ? ?

x2 y2 ∴b2=12,故椭圆方程为 + =1. 16 12

3 y= x+t, 2 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程 y= x+t.由 2 2 x y2 + =1. 16 12

? ? ?

消去 y,得 3x2+3tx

+t2-12=0. ∵直线 l 与椭圆有公共点, ∴Δ=(3t)2-12(t2-12)≥0,解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离等于 4, 可得, |t| =4,∴t=± 2 13. 9 +1 4

由于± 2 13?[-4 3,4 3], 故符合题意的直线 l 不存在.



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