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第二章多面体与旋转体球的表面积


高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 球的表面积教案

教学目标 1.使学生理解球的表面积公式的推导方法,并能熟记公式内容; 2.在引理的论证过程中,进一步要求学生树立转化的思想(把空间问题转化为平面问 题); 3.通过寻求如何研究球表面积的方法,培养学生应用无限分割和极限思想的意识,进 而在实施推导公式的过程中,对学生进行“以直代曲”的辩证唯物主义思想教育. 教学重点和难点 本节教材的重点是掌握球的表面积的计算公式, 而如何推导球的表面积公式是本节的难 点. 教学设计过程 一、新课引入 师:(手持模型)今天,我们要研究的课题就是如何求得球的表面积.下面,请同学们 各抒己见.(板书课题) 生甲:(脱口而出)可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法,设法剪开球面,使其 展成平面图形而求得结果. (同学们立即反驳,此办法不可能实现) 生甲:(申辩)如果像家里削水果皮那样(想象水果是个球体),球的表面就会被削下 来,然后展开,再进行计算. 生乙:削下来的球表面是螺旋状连接的,根本无法展平.另外,条形表面也有一定的弯 曲度. 生甲:那可以把条形表面尽可能地削得窄一点,弯曲度也会随之变小,也就接近平面图 形了. 生丙:(好像受到了启发)我们要求球的表面积,可以先求半球面的大小.用一组平行 于底面圆的平面去截球面,随着平行平面间距离的逐渐减小,原来弯曲的球面就转化为 一族圆柱侧面的总和,圆柱侧面积有计算公式,那么再找到这一族圆柱侧面积之间的大 小关系,最后求出这所有圆柱侧面积之和,我们要求的球表面积就可以解决了.

生丁: 我想用一些很小的正方形去贴满球体表面, 那么只要求出这些小正方形的面积和, 问题也可以解决. ?? 师:同学们的想法都很好.要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开 的办法了,因为对球体而言,无论怎样剪开,它还是曲面,不可能成为平面图形. 大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案,都有一个共同的想法,这就是我们 将要在高二进一步学习的极限思想.若把球表面无限分割,将会得到许多近似于平面图 形的图形. 问题解决已有些眉目,再让咱们大家集思广议,完善求解方法. (课堂内鸦雀无声) (需引导一下) 二、新课 师:回忆一下,在平面几何的学习过程中,求圆的周长公式,我们采取了什么办法? 生:是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的. 师:当边数逐渐增加时,正多边形的周长就越来越接近圆的周长.当边数无限增加时, 圆内接正多边形的周长就是圆的周长,这正是“以直代曲”的尝试. 我们是否可以对此方法稍加改造,来完成球的表面积计算公式的推导? 生丙:我想用球的内接圆柱的侧面积来近似求球表面积,只要用越来越多的平行平面把 球分割,那么所得到的许多个内接圆柱的侧面积的全体就越来越接近球的表面积了. 师:只能用球的内接圆柱去研究吗? 生:圆台也可以. 师:下面,我们以圆台为例,证明一个预备定理.目的是求出球内接圆台的侧面积公式. (板书引理) 引理 球面内接圆台(圆台上、下底面是球的两个平行截面)的高为 h,球心到母线的距

离为 P,那么圆台的侧面积为 2π Ph.

下一步,求半球面的面积.用 n-1 个平行于半球大圆面的平面将半球分为 n 个部分,使 每一部分的母线都相等, 则球心到它们的母线的距离都是 p, 而它们的高分别为 h1, h2,

h3,?,hn.

如果平行平面无限增加,这些圆台、圆锥的侧面和就无限地接近于半球面,同时 p 无限 地接近于 R.当 p 变为 R 时,侧面积的和 S 变为 2π R2,我们把这个和作为半球面的面

积.

例 2 口答下面问题,并说明理由. (1)球的半径扩大 n 倍,它的面积扩大多少倍? (2)球的面积扩大 n 倍,它的半径扩大多少倍? (3)球大圆的面积扩大 n 倍,球面积扩大多少倍? (4)球的面积扩大 n 倍,球的大圆面积扩大多少倍? 生:设球半径为 R.

(1)因球半径扩大 n 倍,S 球面=4π (nR)2=n2×4π R2,即球面积扩大 n2 倍.

四、小结 在本节课内,我们讲了 (1)球表面积等于它的大圆面积的 4 倍.

(2)“以直代曲”的研究方法. (3)无限分割和逐次逼近的数学方法. 五、作业 1.课本 p.92.6, 2.课本 p.92.7, 3.课本 p.92.8, 4.两底面半径为 r1 和 r2(r1<r2)的圆台中有一个内切球,求这个球的表面积.(4 π r1r2) 5. (思考题) 球面上有四个点 P, A, B, C, 如果 PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a, 求这个球面的面积.(3π a2) (提示:把 PA,PB,PC 看成正方体内相交于一点的三条棱.因 P,A,B,C 在球面 上,则此正方体内接于球.正方体的对角线恰为球的直径) 课堂教学设计说明 这堂课的知识量不算很大,主要任务就是完成球表面积公式的推导.作为生活常识,学 生们大部分都已经知道了公式的内容.那么采用什么办法去吸引学生的注意力,激发学 生的学习兴趣,使这堂课上得比较生动活泼呢?这是我在准备教案前首先想到的问 题.其次,要想求出球的表面积,还需先证明一个引理.一部分学生在预习中可能会产 生这样的疑问:为什么非要找一个球的内接圆台,而不是内接圆柱,内接圆锥?为什么 此内接圆台还必须知道球心到母线的距离 P,而不是底面圆的半径 r?我为了处理好这 两个大问题,就设计了一个教学过程的粗线条:先准备让学生自由讨论,(我借机,听 取学生的想法,同时找一个没有预习课本,而又出现的是常见错误想法的同学,先汇报 思考结果) 再讲评总结的方式, 一步步地引出学生们自行产生的无限分割和极限思想. 由 于学生更熟悉圆柱的结构,用圆柱的侧面积去逼近球表面的想法会很自然地产生.我在 肯定此想法的基础上,引导学生去用圆台的侧面积逼近球的表面积的想法就容易了.对 于球来说,它的基本元素是球半径,球面上任意一点到球心的距离都一样.所以,要找 的球表面的相似体也要抓住这一性质. 课堂习题的配备,主要想让学生了解到:要求 球表面积只要抓住球半径即可.无论所给具体题目的条件如何变化,始终从公式出发, “缺什么,找什么,要什么,求什么”,紧紧围绕能求出球半径的目的而思考.


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