tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题四第一讲 直线与方程


专题四 第一讲
知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率

解析几何 直线与方程

(1)倾斜角:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴 范围:直线 l 倾斜角的范围是 (2)斜率公式 若直线 l 的倾斜角 α ≠90°,则斜率 k= . . . 时,规定它

的倾斜角为 0°.

之间所成的

P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上,且 x1≠x2,则 l 的斜率 k=
2.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程

适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b

不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

截距式

一般式 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行:

平面直角坐标系内的直线都适用

(ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2? (ⅱ)当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则有 l1⊥l2? (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点 .

.

直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0 ,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
?A1x+B1y+C1=0, ? ? ?A2x+B2y+C2=0 ?

的解.

4.几种距离
1

(1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P 1P 2 | = (x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2)
2 2

(2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=

|Ax0+By0+C| . A2+B2

|C1-C2| (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d= 2 . A +B2 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ) ) )

(3)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.(

(4)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-

x1)(y2-y1)表示.(

) ) )

(5)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2? l1∥l2.(

(6)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( |kx0+b| (7)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .( 2 1+k )

(8)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( 考点自测 1.直线 3x-y+a=0 的倾斜角为________.

)

2.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________. 3.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a=________. 4. 已知直线 l1: (3+m)x+4y=5-3m, l2: 2x+(5+m)y=8 平行, 则实数 m 的值为________. 典型例题 题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则 直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. 思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π ),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜

? π ? ?π ? 率求倾斜角的范围时,要分?0, ?与? ,π ?两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当 2? ?2 ? ?
π ? π? ?π ? α ∈?0, ?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α = 时,斜率不存在;当 α ∈? ,π ?时,斜率 2? 2 ? ?2 ?

k∈(-∞,0).
(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),则直线 l 的斜率为________.

2

(2)直线 xcos α + 3y+2=0 的倾斜角的范围是____________________. 题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条

件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类 讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 已知点 A(3,4),求满足下列条件的直线方程. (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等; (2)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

题型三 两条直线的平行与垂直 例 3 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 已知两直线 l1:x+ysin α -1=0 和 l2:2x·sin α +y+1=0,求 α 的值,使 得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.

题型四 距离公式的应用 例 4 正方形的中心为点 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他三边所 在直线的方程. 已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程;
3

(2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求出最大距离. (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

方法与技巧 1.直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应法则: α 0° 0 0°<α <90 ° 90° 不存在 90°<α <180 °

k

k>0

k<0

2.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1、

l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜
率一定要特别注意. 课后作业 1.已知两条直线 l1:x+y-1=0,l2:3x+ay+2=0 且 l1⊥l2,则 a=________. 2.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线 方程为________. 3. (教材改编)若 A(-3, -4), B(6,3)两点到直线 l: ax+y+1=0 的距离相等, 则 a=________. 4.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是________. 5.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 k1,k2,k3 的大小关系为________.(用“<”连接) 6.与直线 l1:3x+2y-6=0 和直线 l2:6x+4y-3=0 等距离的直线 方程是______________. 7.已知点 A(-1,1),B(2,-2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 AB 相交(包含端点的情况),则实数 m 的取值范围是______________. 8.直线 x+(a +1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是__________________. 9.若直线 l 过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点,且 AB=5,求直线 l 的方程.
2

10.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的 高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程.

4


推荐相关:

解析几何(辅优)专题四(1)圆1答案

专题五 解析几何 第一讲... 3页 免费 专题五 解析几何 第一讲... 5页 ...2 2 2 (II)直线 l方程为nx + my mn = 0 , ∵ 直线l与圆C : ( x...


乌鲁木齐教研中心2010~2011学年第二学期各学科教学进度

第三章 直线与方程 9 第四章 圆与方程 9 高二...第一讲 相似三角形的判定及有关性质 6 第二讲 ...( 专题一 5 专题二 5 专题三 5 专题四 5 专题...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com