tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

吉林省延边二中2014-2015学年高二数学上学期9月月考试卷(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

吉林省延边二中 2014-2015 学年高二上学期 9 月月考数学试 卷
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,每题只有一项是符合要求的) 1. (4 分)有关数列的表达: ①数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点; ②数列的项是有限的; ③若一个数列是递减的,则这个数列一定是有穷数列; 其中正确的个数() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (4 分)数列 1,x,x ,x ,?,x A. B.
2 3 n﹣1

(x≠0)前 n 项和为() C. D. 以上都不对

3. (4 分)在等差数列{an}中,设 S1=a1+a2+?+an,S2=an+1+an+2+?+a2n,S3=a2n+1+a2n+2+?+a3n,则 S1,S2,S3 关系为() A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 都不对 4. (4 分)数列{an}的通项公式为 an=3n ﹣28n,则数列{an}各项中最小项是() A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 5. (4 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+?log3a10=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 6. (4 分)在△ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于() A. 1:2:3 B. 3:2:1 C. 2: :1 D. 1:
2

:2

7. (4 分)在△ABC 中,若 lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2,则△ABC 的形状是() A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 8. (4 分)在△ABC 中,若(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc,则 A=() A. 90° B. 60° C. 135°

D. 150°

9. (4 分)符合下列条件的三角形有且只有一个的是() A. a=1,b=2,c=3 B. a=1,b= ,∠A=30° C. a=1,b=2,∠A=100° D. b=c=1,∠B=45° 10. (4 分)等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,且 S6<S7,S7>S8,则(1)此数列的公差 d<0; (2)S9 一定小于 S6; (3)a7 是各项中最大的项; (4)S7 一定是 Sn 中的最大值,正确的 个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 11. (4 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 12. (4 分)在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°, 那么这座塔吊的高是() A. B. C. D.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分.将最简答案填在答题纸相应位置) 13. (4 分)在△ABC 中,若 b=2,B=30°,C=135°,则 a=. 14. (4 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2 ,则 a10=. 15. (4 分){an}是等差数列,a4=﹣20,a16=16,则|a1|+|a2|+?+|a20|=.
n

16. (4 分)△ABC 中,已知 BC=12,A=45°,cosB=

,则 AB=.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 56 分). 17. (10 分)在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. = .

18. (10 分) (1)在等比数列{an}中,a5=162,公比 q=3,前 n 项和 Sn=242,求首项 a1 和项 数 n. (2)数列{an}中,an= ,求数列{an}的前 n 项的和 Sn.

19. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(cosA﹣ cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.
2

sinA)

20. (12 分)已知 f(x)=(x﹣1) ,g(x)=10(x﹣1) ,数列{an}满足 a1=2, (an+1﹣an)g (an)+f(an)=0. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)若 ,当 n 取何值时,bn 取最大值,并求出最大值.

21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项的和 Sn,点(n,Sn)在函数 f(x)=2x +4x 图象上,

2

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)求数列{an}的通项公式; ﹣x (2)若函数 g(x)=2 ,数列{bn}满足 bn=g(n) ,记 cn=an?bn,求数列{cn}前 n 项和 Tn; (3)是否存在实数 λ ,使得当 x≤λ 时,f(x)=﹣x +4x﹣ 若存在,求出最大的实数 λ ,若不存在,说明理由.
2

≤0 对任意 n∈N 恒成立?

*

吉林省延边二中 2014-2015 学年高二上学期 9 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,每题只有一项是符合要求的) 1. (4 分)有关数列的表达: ①数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点; ②数列的项是有限的; ③若一个数列是递减的,则这个数列一定是有穷数列; 其中正确的个数() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. * 分析: ①由于自变量 n∈N ,即可判断出; ②数列的项是有限的,也可能是无限的; ③若一个数列是递减的,则这个数列一定是有穷数列,不一定,例如 解答: 解:①数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点,正确; ②数列的项是有限的,也可能是无限的,不正确; ③若一个数列是递减的,则这个数列一定是有穷数列,不一定,例如 综上可得:只有①正确. 故选:B. 点评: 本题考查了数列的函数特点性质,属于基础题. 2. (4 分)数列 1,x,x ,x ,?,x A. B.
2 3 n﹣1





(x≠ 0)前 n 项和为() C. D. 以上都不对

考点: 专题: 分析: 解答:

数列的求和. 等差数列与等比数列. 分 x=1 与 x≠1 两种情况分别求解,利用等比数列求和公式即可得出结论. 解:当 x=1 时,sn=n,
2 n﹣1

当 x≠1 时,sn=1+x=x +?+x

=

=



3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 D. 点评: 本题主要考查等比数列的前 n 项和公式的应用, 注意公比 q 为 1 的情况不要忽略了, 属于基础题. 3. (4 分)在等差数列{an}中,设 S1=a1+a2+?+an,S2=an+1+an+2+?+a2n,S3=a2n+1+a2n+2+?+a3n,则 S1,S2,S3 关系为() A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 都不对 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意 S1+S3 重新组合后,由等差数列的性质可得其和等于 S2,由等差数列的定义 可得答案. 解答: 解:由题意可得 S1+S3=(a1+a2+?+an)+(a2n+1+a2n+2+?+a3n) =(a1+a2n+1)+(a2+a2n+2)+?+(an+a3n) =2an+1+2an+2+?+2a2n=2S2, 故 S1,S2,S3 成等差 数列, 故选 A 点评: 本题考查等差数列的性质和等差数列的判定,属中档题. 4. (4 分)数列{an}的通项公式为 an=3n ﹣28n,则数列{an}各项中最小项是() A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设 an 为数列的最小项,则 案. 解答: 解:设 an 为数列的最小项,则 , ,解不等式组可得 n 的范围,进而可得答
2

代入数据可得



解之可得

≤n

,故 n 唯一可取的值为 5

故选 B 点评: 本题考查数列的最小项,从不等式组的角度入手是解决问题的关键,属基础题. 5. (4 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+?log3a10=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 考点: 等比数列的性质; 对数的运算性质.

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a 5a6 的值,最 5 后根据等比数列的性质求得 log3a1+log3a2+?log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+?log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质. 6. (4 分)在△ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于() A. 1:2:3 B. 3:2:1 C. 2: :1 D. 1: 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据三角形内角和定理,结合 A:B:C=1:2:3,算出 A= ,B= 且 C= ,从 ,即可

:2

而得出△ABC 是直角三角形.由三角函数在直角三角形 中的定义算出 c=2a 且 b= 得到 a:b:c 的值. 解答: 解:∵在△ABC 中,A:B:C=1:2:3, ∴设 A=x,则 B=2x,C=3x, 由 A+B+C=π ,可得 x+2x+3x=π ,解之得 x= ∴A= ,B= 且 C= ,可得△ABC 是直角三角形 =

∵sinA= = ,∴c=2a,得 b=

因 此,a:b:c=1: :2 故选:D 点评: 本题给出三角形三个角的比值, 求它的三条边之比. 着重考查了三角形内角和定理、 三角函数在直角三角形中的定义等知识,属于基础题. 7. (4 分)在△ABC 中,若 lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2,则△ABC 的形状是() A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: 利用对数的运算法则可求得 =2,利用正弦定理求得 cosB,同时根据余

弦定理求得 cosB 的表达式进而建立等式,整理求得 b=c,判断出三角形为等腰三角形. 解答: 解:∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2, ∴ =2,

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由正弦定理可知 ∴ = , =

∴cosB=

∴cosB=

=



整理得 c=b, ∴△ABC 的形状是等腰三角形. 故选 D 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 解题的关键是利用正弦定理和余弦定 理完成了边角问题的互化. 8. (4 分)在△ABC 中,若(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc,则 A=() A. 90° B. 60° C. 135°

D. 150°

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 把已知条件的左边利用平方差公式化简后,与右边合并即可得到 b +c ﹣a =bc,然 2 2 2 后利用余弦定理表示出 cosA 的式子,把化简得到的 b +c ﹣a =bc 代入即可求出 cosA 的值, 然后根据 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 2 2 2 2 2 解答: 解:由(a+b+c) (b+c﹣a)=(b+c) ﹣a =b +2bc+c ﹣a =3bc, 2 2 2 化简得:b +c ﹣a =bc, 则根据余弦定理得:cosA= = = ,

又 A∈(0,180°) ,所以 A=60°. 故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值, 考查了整体代换的数学思想, 是一道综 合题. 9. (4 分)符合下列条件的三角形有且只有一个的是() A. a=1,b=2,c=3 B. a=1,b= ,∠A=30° C. a=1,b=2,∠A=100° D. b=c=1,∠B=45° 考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: A 无解,因为三角形任意两边之和大于第三边,而这里 a+b=c. B 有 2 个解,由正弦定理可得 sinB= ,故 B=45°,或 B=135°.

C 无解,由于 a<b,∴A=100°<B,∴A+B>200°,这与三角形的内角和相矛盾. D 有唯一解,∵b=c=1,∠B=45°,∴∠C=45°,∴∠A=90°.

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:A 无解,因为三角形任意两边之和大于第三边,而这里 a+b=c,故这样的三角 形不存在. B 有 2 个解,由正弦定理可得 ,∴sinB= ,故 B=45°,或 B=135°.

C 无解,由于 a<b,∴A=100°<B,∴A+B>200°,这与三角形的内角和相矛盾. D 有唯一解,∵b=c=1,∠B=45°,∴∠C=45°,∴∠A=90°,故有唯一解. 故选 D. 点评: 本题考查正弦定理的应用,三角形的解的个数判断,根据三角函数的值求角.根据 三角函数的值求角是解题的难点. 10. (4 分)等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,且 S6<S7,S7>S8,则(1)此数列的公差 d<0; (2)S9 一定小于 S6; (3)a7 是各项中最大的项; (4)S7 一定是 Sn 中的最大值,正确的 个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知可得 a7>0,a8<0;①d=a8﹣a7<0,②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8<0,③由于 d<0, 所以 a1 最大,④结合 d<0,a7>0,a8<0,可得 S7 最大;可得答案. 解答: 解:由 S6<S7,S7>S8 可得 S7﹣S6=a7>0,S8﹣S7=a8<0 所以 a8﹣a7=d<0①正确 ②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8<0,所以②正确 ③由 于 d<0,所以 a1 最大③错误 ④由于 a7>0,a8<0,s7 最大,所以④正确 从而正确的是:①②④, 故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的性质,通过对等差数列性质的研究,培养学生 探索、 发现的求知精神,养成探索、总结的良好习惯. 11. (4 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的通项公式化简 a1+a4+a7=39 和 a3+a6+a9=27,分别得到①和②,用② ﹣①得到 d 的值,把 d 的值代入①即可求出 a1,根据首项和公差即可求出前 9 项的和 S9 的 值. 解答: 解:由 a1+a4+a7=3a1+9d=39,得 a1+3d=13①, 由 a3+a6+a9=3a1+15d=27,得 a1+5d=9②, ②﹣①得 d=﹣2,把 d=﹣2 代入①得到 a1=19, 则前 9 项的和 S9=9×19+ 故选 B. ×(﹣2) =99.

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值, 是一道中 档题. 12. (4 分)在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°, 那么这座塔吊的高是() A. B. C. D.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 设楼高 AB=10 米,塔高为 CE,则∠DAE=60°,∠DAC=45°,CD=AB,在直角三角形 ADE 中可求得 DE,从而可得出塔吊的高度. 解答: 解:由题意,设楼高 AB=10 米,塔高为 CE ∵测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45° ∴∠DAE=60°,∠DAC=45°,∴ABCD 是正方形,

∴CD=AB=10 米 再由∠DAE=60°,在直角三角形 ADE 中可求得 DE=ADtan60°=10



∴塔高为 DE+CD=10+10 = 米 故选 B. 点评: 解三角形的应用一般是求距离(长度问题,高度问题等)解题时要注意综合利用所 学的知识与题设中的条件,求解三角形的边与角. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分.将最简答案填在答题纸相应位置) 13. (4 分)在△ABC 中,若 b=2,B=30°,C=135°,则 a= ﹣ . 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 计算题;压轴题. 先根据 B 和 C 求得 A,进而根据正弦定理求得 a. 解:A=180°﹣30°﹣135°=15°,

sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=

8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 根据正弦定理得 ∴a= = = ﹣

故答案为 ﹣ 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题. 14. (4 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2 ,则 a10=1023. 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. n 由已知递推式 an+1=an+2 ,利用累加求和及等比数列的前 n 项和公式即可求出. n 解:∵数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2 ,
1 2 n﹣1 n

∴an=a1+(a2﹣a1)+?+(an﹣an﹣1)=1+2 +2 +?+2
10

=

=2 ﹣1. (n∈N ) .

n

*

∴a10=2 ﹣1=1023. 故答案为:1023. 点评: 本题主要考查了等比数列的前 n 项和. 正确理解递推式, 熟练掌握“累加求和”方 法及等比数列的前 n 项和公式是解题的关键. 15. (4 分){an}是等差数列,a4=﹣20,a16=16,则|a1|+|a2|+?+|a20|=300. 考点: 等差数列的性质;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,由等差数列的性质,可以求得等差数列{an}的公差与首项,可得其通项 公式,分析可得当 n≤10 时,an<0,当 n≥11 时,an>0,则|a1|+|a2|+?+|a20|=(﹣a1)+ (﹣a2)+(﹣a3)+?(﹣a10)+a11+a12+a13+?+a20,进而可变形为 S20﹣2S10,由等差数列前 n 项和公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,由等差数列的性质,可得 a16﹣a4=12d=16﹣(﹣20)=36, 则 d=3, a1=a4﹣3d=﹣29, 则 an=a1+(n﹣1)d=﹣32+3n, 分析可得当 n≤10 时,an<0, 当 n≥11 时,an>0, 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 由通项公式可得 a10=﹣2,a20=28, 则|a1|+|a2|+?+|a20|=(﹣a1)+(﹣a2)+(﹣a3)+?(﹣a10)+a11+a12+a13+?+a20=S20﹣ 2S10= ﹣2× =300;

故答案为 300. 点评: 本题考查等差数列的性质, 关键是分析出{an}中符号发生改变的项, 其次注意将 (﹣ a1)+(﹣a2)+(﹣a3)+?(﹣a10)+a11+a12+a13+?+a20=变形为 S20﹣2S10.

9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 16. (4 分)△ABC 中,已知 BC=12,A=45°,cosB= ,则 AB= .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 cosB 的值求出 sinB 的值,利用正弦定理求出 AC 的长,再利用余弦定理即可求 出 AB 的长. 解答: 解:∵△ABC 中,BC=12,A=45°,cosB= ∴sinB= = , ,

由正弦定理

=

得:AC=

=

=



由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB,即 解得:AB= 故答案为: (负值舍去) .

2

2

2

=AB +144﹣

2

AB,

点评 : 此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解 本题的关键. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 56 分). 17. (10 分)在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. = .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)已知等式左边利用正弦定理化简,求出 sinC 的值,根据 C 为锐角,即可确定 出 C 的度数; (2)由三角形面积公式列出关系式,将 c,sinC 及已知面积代入求出 ab 的值,利用余弦定 理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 ab 的值代入求出 a+b 的值即可. 解答: 解: (1)∵ ∴ = ,即 sinC= = , ,由正弦定理得 = ,

∵△ABC 是锐角三角形, ∴C= ;

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)∵c= ∴ absin ∴ab=6, 由余弦定理得 a +b ﹣2abcos
2 2 2

,C= = ,

,△ABC 的面积为



=(a+b) ﹣3ab=7,

2

∴(a+b) =25, ∴a+b=5. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 18. (10 分) (1)在等比数列{an}中,a5=162,公比 q=3,前 n 项和 Sn=242,求首项 a1 和项 数 n. (2)数列{an}中,an= ,求数列{an}的前 n 项的和 Sn.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意联立方程组即可求得结论; (2)an= = ( ﹣ ) ,利用裂项法求和即得结论.

解答: 解: (1)由已知,得



解得 a1=2,n=5. (2)an= ∴sn= ( ﹣ ) , ∴ . = ( +?+ ﹣ ﹣ ) )= ( ﹣ ﹣ )= ( ﹣

点评: 本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式等知识, 考查学生利用裂项相消法求 数列的和的运用求解能力,属于中档题. 19. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(cosA﹣ cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 考点: 余弦定理;两角和与差的余弦函数. sinA)

11

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式第一项利用诱导公式化简 ,第二项利用单项式乘多项式法则计算, 整理后根据 sinA 不为 0 求出 tanB 的值, 由 B 为三角形的内角, 利用特殊角的三角函数值即 可求出 B 的度数; 2 (2)由余弦定理列出关系式,变形后将 a+c 及 cosB 的值代入表示出 b ,根据 a 的范围,利 2 用二次函数的性质求出 b 的范围,即可求出 b 的范围. 解答: 解: (1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ sinAcosB=0, 即 sinAsinB﹣ sinAcosB=0, ∵sinA≠0,∴sinB﹣ cosB=0,即 tanB= , 又 B 为三角形的内角, 则 B= ;

(2)∵a+c=1,即 c=1﹣a,cosB= , ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2ac?cosB,即 b =a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3(a ﹣ )+ , ∵0<a<1,∴ ≤b <1, 则 ≤b<1. 点评: 此题考查了余弦定理,二次函数的性质,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关 系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 20. (12 分)已知 f(x)=(x﹣1) ,g(x)=10(x﹣1) ,数列{an}满足 a1=2, (an+1﹣an)g (an)+f(an)=0. (Ⅰ)求证:数列{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)若 ,当 n 取何值时,bn 取最大值,并求出最大值.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 数列与函数的综合;数列的函数特性. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: ( I) 表示出 (an+1﹣an) g (an) +f (an) =0, 可化简为 为常数; (Ⅱ) (Ⅱ)由( II)可知 an﹣1= (n∈N ) ,则
*

, 可证

,作商 的单调情况,由此可的最大值;

,通过与 1 比较大小可{bn}

12

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: ( I)∵(an+1﹣an)g(an)+f(an)=0, =10(an﹣1) , ∴ 又 a1=2,可知对任何 n∈N ,an﹣1≠0, 所以 .
*

,g(an)

,即(an﹣1) (10an+1﹣9an﹣1)=0.



, 的等比数列. (n∈N ) . ,
*

∴{an﹣1}是以 a1﹣1=1 为首项,公比为 (Ⅱ)由( II)可知 an﹣1= ∴



当 n=7 时,

,b8=b7;

当 n<7 时,

,bn+1>bn;

当 n>7 时,

,bn+1<bn.

∴当 n=7 或 n=8 时,bn 取最大值,最大值为



点评: 本题考查数列与函数的综合,考查数列的函数特性,属中档题. 21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项的和 Sn,点(n,Sn)在函数 f(x)=2x +4x 图象上, (1)求数列{an}的通项公式; ﹣x (2)若函数 g(x)=2 ,数列{bn}满足 bn=g(n) ,记 cn=an?bn,求数列{cn}前 n 项和 Tn; (3)是否存在实数 λ ,使得当 x≤λ 时,f(x)=﹣x +4x﹣ 若存在,求出最大的实数 λ ,若不存在,说明理由. 考点: 数列与函数的综合;数列的求和.
2 2

≤0 对任意 n∈N 恒成立?

*

13

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)要求数列的通项公式,当 n 大于等于 2 时可根据数列的前 n 项的和减去数列 的前 n﹣1 项的和求出,然后把 n=1 代入验证; ﹣x ﹣n (2)由函数 g(x)=2 ,数列{bn}满足 bn=g(n)=2 ,利用错位相减法可得数列{cn}前 n 项和 Tn; (3)假设存在实数 λ ,使得当 x≤λ 时,f(x)=﹣x +4x﹣ 即﹣x +4x≤
2 2

≤0 对任意 n∈N 恒成立,

*

对任意 n∈N 恒成立,由

*

=4﹣
*

是递增数列,能推导出存在最大的实

数 λ =1,使得当 x≤λ 时,f(x)≤cn 对任意 n∈N 恒成立. 2 解答: 解: (1)由题意,Sn=2n +4n, 当 n=1 时,a1=S1=6, n≥2 时, 2 2 an=Sn﹣Sn﹣1=(2n +4n)﹣[2(n﹣1) +4(n﹣1)]=4n+2, 当 n=1 时,a1=S1=4+2=6,也适合上式 * ∴数列{an}的通项公式为 an=4n+ 2,n∈N ; ﹣x (2)∵函数 g(x)=2 , ﹣n ∴数列{bn}满足 bn=g(n)=2 , 又∵cn=an?bn, ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣n ∴Tn=6×2 +10×2 +14×2 +?+(4n+2)×2 ,?①, ∴ Tn=6×2 +10×2 +?+(4n﹣2)×2 +(4n+2)×2 ①﹣②得: Tn=6×2 +4(2 +2 +?+2 )﹣(4n+2)×2 ∴Tn=10﹣(2n+5) ,
2 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣n ﹣(n+1) ﹣2 ﹣3 ﹣n ﹣(n+1)

,?②,

=5﹣(2n+5)



(3)假设存在实数 λ ,使得当 x≤λ 时,f(x)=﹣x +4x﹣ 即﹣x +4x≤ ∵an=4n+2, ∴cn= =
2 2

≤0 对任意 n∈N 恒成立,

*

对任意 n∈N 恒成立,

*

=4﹣

是递增数列,
2

所以只要﹣x +4x≤c1,即 x ﹣4x+3≥0, 解得 x≤1 或 x≥3. * 所以存在最大的实数 λ =1,使得当 x≤λ 时,f(x)≤cn 对任意 n∈N 恒成立. 点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法, 考查数列不等式的应用, 解题时 要认真审题,注意错位相消法和等价转化思想的合理运用.

14


推荐相关:

吉林省延边二中2014-2015学年高一上学期9月段考数学试...

(a) ,求 m 的取值范围. 2 x 吉林省延边二中 2014-2015 学年高一上学期 9 月考数学 试卷参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,选项...


吉林省延边二中2014-2015学年高二上学期12月段考数学试...

吉林省延边二中2014-2015学年高二上学期12月段考数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。吉林省延边二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月段考...


吉林省延边二中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文

吉林省延边二中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区...4 C. 8 D. 16 1 9. 设命题甲: | x ? 1|? 2 ,命题乙: x ? 3 ...


吉林省延边二中2014-2015学年高二上学期12月段考数学试...

(0,﹣1) ,当|AM|=|AN| 时,求实数 m 的取值范围. . 吉林省延边二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月段考数学 试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择...


吉林省延边二中2014-2015学年高一上学期9月段考数学试卷

(a) ,求 m 的取值范围. 2 x 吉林省延边二中 2014-2015 学年高一上学期 9 月考数学 试卷参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,选项...


吉林省延边二中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(...

吉林省延边二中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。(时间 120 分,满分 140 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,...


吉林省延边二中2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

吉林省延边二中2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理_数学_高中教育_教育专区。延边第二中学 2015——2016 学年度第一学期期中考试 高二数学 (理)试卷 (时间 ...


吉林省吉林一中2014-2015学年高二上学期九月月考数学理...

吉林省吉林一中2014-2015学年高二上学期九月月考数学理考卷Word版含解析2014-2015 学年度 吉林一中高二 9 月考 数学理考卷第 I 卷(选择题) 本试卷第一部分共...


吉林省延吉市延边二中2014-2015学年高二上学期段考化学...

(4)写出平衡常数表达式 K=,并计算在 T℃时的化学平衡常数 K=. 吉林省延吉市延边二中 2014-2015 学年高二上学期段考化 学试卷(9 月份)参考答案与试题解析 ...


吉林省延边二中2015-2016学年高二数学上学期期末考试试...

吉林省延边二中2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理_数学_高中教育_教育...延边第二中学 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二年级数学(理科)试卷一、...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com