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2011届高考数学第一轮复习精练检测试题10 三角函数


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高三数学一轮复习精练: 高三数学一轮复习精练:三角函数
一、选择题 1.已知 ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c 若 a = c =

6 + 2 且 ∠A = 75o ,则

>b=
A.2 B.4+ 2 3 C.4— 2 3 D. 6 2

2.如果函数 y=3 cos ( 2 x+φ ) 的图像关于点 (A)

4π ,0 中心对称,那么 | | 的最小值为(C) 3

π
6

(B)

π
4

(C)

π
3

(D)

π
2

3.将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 式是( A. y = cos 2 x ). B. y = 2 cos 2 x

π
4

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

C. y = 1 + sin( 2 x +

π
4

)

D. y = 2sin 2 x

4.已知函数 f ( x) = 3 sin ω x + cos ω x(ω > 0) ,y = f ( x) 的图像与直线 y = 2 的两个相邻交点的 距离等于 π ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [ kπ



π
12

, kπ +

5π ], k ∈ Z 12

(B) [ kπ

+

5π 11π , kπ + ], k ∈ Z 12 12

(C) [kπ

π

, kπ + ], k ∈ Z 3 6

π

(D) [ kπ +

π
6

, kπ +

2π ], k ∈ Z 3

5.若函数 f ( x ) = (1 + 3 tan x ) cos x , 0 ≤ x <

π
2

,则 f ( x ) 的最大值为 D. 3 + 2

A.1

B. 2

C. 3 + 1

6.已知函数 f ( x ) = sin( wx +

π
4

)( x ∈ R, w > 0) 的最小正周期为 π , y = f ( x) 的图像向左 将

平移 | | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 的一个值是( ) A

π
2

B

7.函数 y = cos(2 x +

π
6

3π 8

C

π
4

D

π
8

) 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式为 y = f ( x ), 当

y = f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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A.(

π
6

, 2)

B.(

π
6

, 2)

C.( , 2) 6

π

D.( , 2) 6

π

8. 若 将 函 数 y = tan ω x +



π

(ω > 0 ) 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 , 与 函 数 6 4

π

π y = tan ω x + 的图像重合,则 ω 的最小值为 6
A. 9. (

1 6


B.

α=

π
6

1 4


C. 是

1 3


D.

1 2
” 的

+ 2 kπ ( k ∈ Z )

cos 2α =

1 2

) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + )的图象如图所示, f ( ) = ( A)

π

2 3

(B)

2 3

(C) -

1 2

2 ,则 f (0) = 2 3 1 (D) 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11.有四个关于三角函数的命题:

p1 : x∈ R, sin 2

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p3 : x ∈ [ 0, π ] ,

1 cos 2 x =sinx 2

p4 : sinx=cosy x+y=
其中假命题的是 (A) p1 , p4

π
2
(3) p1 , p3 (4) p2 , p4

(B) p2 , p4

12. 已 知 函 数 f ( x) = sin( x +

π
4

)( x ∈ R, > 0) 的 最 小 正 周 期 为 π , 为 了 得 到 函 数

g ( x) = cos x 的图象,只要将 y = f ( x) 的图象
A 向 左 平 移

π
8

个 单 位 长 度

B 向 右 平 移

π
8

个 单 位 长 度

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C 向左平移 二、填空题

π
4

个单位长度

D 向右平移

π
4

个单位长度

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13.在锐角 ABC 中, BC = 1, B = 2 A, 则 为 .

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值范围

14.已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + φ ) 的图像如图所示, 则f

7π = 12

。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

15.在极坐标系中,由三条直线 θ = 0 , θ = ____. 16.当 0 ≤ x ≤ 1时 ,不等式 sin

π
3

, ρ cos θ + ρ sin θ = 1 围成图形的面积是

πx
2

≥ kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.


17.函数 f ( x) = 2 cos 2 x + sin 2 x 的最小值是

三、解答题(共 88 分) 18. ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足

cos

r A 2 5 uuu uuur = , AB AC = 3 . 2 5

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(I)求 ABC 的面积;

(II)若 b + c = 6 ,求 a 的值.

19.(本小题共 13 分) 在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B = (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ABC 的面积. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

π
3

, cos A =

4 ,b = 3 。 5

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20. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

π
3

)+sin x. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2

(2) 设 A,B,C 为 ABC 的三个内角, cosB= 若

1 c 1 ,f ( ) = , C 为锐角, sinA. 且 求 3 2 4

21.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A = (1)求 C ; (2)若 CB CA = 1 + 3 ,求 a , b , c .

π
6

, (1 + 3)c = 2b .

uuu uuu r r

22.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) = (sin ω x + cos ω x) 2 + 2 cos 2 ω x(ω > 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ω 的最小正周期.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若函数 y = g ( x) 的图像是由 y = f ( x) 的图像向右平移

2π . 3

π
2

个单位长度得到,求

y = g ( x) 的单调增区间.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ), x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, 0 < < 图象上一个最低点为 M (

π
2

)的周期为 π ,且

2π , 2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ∈ [0,

π
12

] ,求 f ( x) 的最值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

24.(本小题满分 12 分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ), 其中 ω > 0 , | |< ( I ) 若

π


2 3π cos cos, sin sin = 0, 4 4

π









w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

π
3

,求

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。

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参考答案 一、选择题(12 小题,每题 5 分) 1—5 ACBCB 6—10 DBDAB 1.【答案】A 【解析】sin A = sin 75 = sin(30 + 45 ) = sin 30 cos 45 + sin 45 cos 30 =
0 0 0 0 0 0 0

11—12 AA

2+ 6 4

由a = c =

6 + 2 可知, ∠C = 750 ,所以 ∠B = 300 , sin B =
a sin B = sin A 2+ 6 1 × = 2 ,故选 A 2+ 6 2 4

1 2

由正弦定理得 b =

2.【答案】:C 【解析】: Q 函数 y=3 cos ( 2 x+φ ) 的图像关于点

4π ,0 中心对称 3

∴2

4π 4π π + φ = kπ ∴φ = kπ 2 (k ∈ Z ) 由此易得 | φ |min = .故选 C 3 3 3

3.【答案】:B 【解析】:将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移

π
4

个单位,得到函数 y = sin 2( x +

π
4

)即

y = sin(2 x + ) = cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2 y = 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x ,故选 B.
答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4.【答案】:C 【解析】: f ( x ) = 2 sin(ω x + 由 2 kπ

π

π
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T = π ,∴ ω = 2 ,

π
2

≤ 2x +

π
6

≤ 2k π +

π
2

得, kπ

π
3

≤ x ≤ kπ +

π
6

, k ∈ z ,故选 C

5.【答案】:B

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【解析】:因为 f ( x ) = (1 + 3 tan x ) cos x = cos x + 3 sin x = 2 cos( x 当x=

π
3

)

π
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

6.【答案】D 【解析】由已知,周期为 π = 函数, sin[ 2( x + ) +

π
4

2π , w = 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶 w

] = ± cos 2 x ,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的 运用。 7.【答案】B 【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设 a = ( x′, y ′) ,根据定义

v

y y ′ = cos[2( x x′) + ] 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x′ , y′ 。 6
8.【答案】D

π

π 向右平移 6 个单位 π π π 【解析】: y = tan ω x + y = tan[ω ( x ) + ] = tan ω x + → 6 4 6 4


π

π
4



π
6

ω + kπ =

又Q ω > 0 ∴ ωmin (A)

4 3

1 ∴ω = 6k + (k ∈ Z ) , 6 2 1 = .故选 D 故选 2 5 3 (B) (C) 4 4

π

(D)

4 5

9.【答案】 9.【答案】A 解析】 【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知 识、基本运算的考查. 当α =

π

π π 1 + 2kπ ( k ∈ Z ) 时, cos 2α = cos 4kπ + = cos = , 6 3 3 2
1 π π 时,有 2α = 2kπ + α = kπ + ( k ∈ Z ) , 2 3 6

反之,当 cos 2α =

或 2α = 2kπ 10.【答案】B

π

3

α = kπ

π

6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.

2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
11.【答案】A
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【解析】: p1 : x ∈ R, sin 成 立 ;

2

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时 2 2 2
是 真 命 题 ,

p3

Q x ∈ [ 0, π ] , sin x ≥ 0, ∴

1 cos 2 x = sin 2 x = sin x = sin x =sinx; p4 是假命题, 2

如x=

π
2

,y=2π 时,sinx=cosy,但x+y ≠

π
2

。选 A.

12.【答案】A 【解析】由题知 ω = 2 ,所以

f ( x ) = sin( 2 x +

π
4

) = cos[

π
2

(2 x +

π
4

)] = cos( 2 x

π
4

) = cos 2( x

π
8

) ,故选择 A。

【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 二、选择题(5 小题,每小题 4 分) 13. 2

( 2, 3)

14.0

15.

3 3 4

16. k≤1

17. 1 2

13.【答案】2 【 解 析

( 2, 3)
】 设

∠A = θ , B = 2θ .













AC BC AC AC = ,∴ =1 = 2. sin 2θ sin θ 2 cos θ cos θ
由锐角 ABC 得 0 < 2θ < 90 0 < θ < 45 ,
o o o o

又 0 < 180 3θ < 90 30 < θ < 60 ,故 30 < θ < 45
o o o o o

o

o

2 3 < cos θ < , 2 2

∴ AC = 2 cos θ ∈ ( 2, 3).
14.【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T= ( f(x)=0,即 2 sin(3 × 0。 15.【答案】

2 3

5π π 2π 2π π )= = ,故 ω =3,又 x= 时, 4 4 3 ω 4

π
4

+ φ )=0,可得 φ =

π
4

,所以, f

7π π 7π + )= = 2 sin(3 × 12 4 12

3 3 4

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三

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条直线的图象如右图,可求得 A(

3 1 3 3 , ),B(1,0),三角形 AOB 的面积为: 2 2

1 3 3 3 3 × 1× = 4 2 2
16.【答案】k≤1 【解析】作出 y1 = sin 等式 sin

πx
2

与 y 2 = kx 的图象,要使不

πx
2

≥ kx 成立,由图可知须 k≤1。

17.【答案】 1 2 【解析】 f ( x ) = cos 2 x + sin 2 x + 1 = 三、解答题(7 大题,共 88 分) 18. 解 析 : ( I ) 因 为 cos

2 sin(2 x + ) + 1 ,所以最小值为: 1 2 4

π

A 2 5 3 4 2 A = , ∴ cos A = 2 cos 1 = , sin A = , 又 由 2 5 2 5 5
bc cos A = 3,
∴ bc = 5
, ∴ S ABC =

uuu uuur r AB AC = 3

, 得

1 bc sin A = 2 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( II ) 对 于 bc = 5 , 又 b + c = 6 , ∴ b = 5, c = 1 或 b = 1, c = 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A = 20 ,∴ a = 2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公 解析】 式等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B = ∴C =

π
3

, cos A =

2π 3 A,sin A = , 3 5

4 , 5

∴ sin C = sin

3 1 3+ 4 3 2π A = cos A + sin A = . 2 10 3 2 3 3+ 4 3 ,sin C = , 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A = 又∵ B =

, b = 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ∴a = = . sin B 5 1 1 6 3 + 4 3 36 + 9 3 ab sin C = × × 3 × = . 2 2 5 10 50

π

∴△ABC 的面积 S =

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20. 解: (1) f(x)=cos(2x+

π
3

)+sin 2 x.= cos 2 x cos

π
3

sin 2 x sin

π
3

+

1 cos 2 x 1 3 = sin 2 x 2 2 2

所以函数 f(x)的最大值为

1+ 3 ,最小正周期 π . 2
所以 sin C =

(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 sin C =- , 2 2 4

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以

C=

π
3

,

又因为在 ABC 中, cosB=

1 , 3

所以

sin B =

2 3, 3

所以

sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C =

2 1 1 3 2 2+ 3 2× + × . = 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的 性质以及三角形中的三角关系. 21. 解:(1)由 (1 + 3)c = 2b 得

b 1 3 sin B = + = c 2 2 sin C

sin(π
则有

π

6 sin C

C)

=

sin

得 cot C = 1 即 C =

π
4

5π 5π cos C cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C + = + sin C 2 2 2 2

. 推出 ab cos C = 1 + 3 ;而 C =

(2) 由 CB CA = 1 + 3

uuu uuu v v

π
4

,

即得

2 ab = 1 + 3 , 2

2 ab = 1 + 3 2 则有 (1 + 3)c = 2b a c = sin A sin C
22. 解:(Ⅰ)

a = 2 解得 b = 1 + 3 c = 2

f ( x) = (sin ω x + cos ω x)2 + 2 cos 2 ω x = sin 2 ω x + cos 2 ω x + sin 2ω x + 1 + 2 cos 2ω x = sin 2ω x + cos 2ω x + 2 = 2 sin(2ω x + ) + 2 4
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π

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依 题 意 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)依题意得: g ( x ) = 由 2 kπ

2π 2π 3 = , 故 ω 的 最 小 正 周 期 为 . 2ω 3 2

π π 5π 2 sin 3( x ) + + 2 = 2 sin(3 x ) + 2 2 4 4

5π π ≤ 2k π + (k ∈ Z ) 2 4 2 2 π 2 7π (k ∈ Z ) \ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得 kπ + ≤ x ≤ kπ + 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 y = g ( x ) 的单调增区间为: [ kπ + , kπ + ] (k ∈ Z ) 3 4 3 12 2π 2π 2π , 2)得A = 2 由 T = π 得ω = = =2 23. 解析:(1)由最低点为 M ( 3 T π 2π 4π 4π 由点 M ( , 2) 在图像上得 2 sin( + ) = 2 即 sin( + ) = 1 3 3 3 4π π 11π 所以 + = 2 kπ 故 = 2 kπ (k ∈ Z ) 3 2 6
≤ 3x
又 ∈ (0,

π

π

2

) ,所以 =

π

(Ⅱ)因为 x ∈ [0, 所以当 2x+

π
12

6

所以 f ( x ) = 2 sin(2 x +

π

], 2 x +

π

π π
6 3

=

π
6

∈[ , ] 6 6 3

π π

6

)

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;

当2x+

π
6

=

, 即x =

π
12

时,f ( x)取得最大值 3 ;
3π π π sin = 0 得 cos cos sin sin = 0 4 4 4

24.解法一: (I)由 cos 即 cos(

π π
4

cos sin

4

+ ) = 0 又 | |<

π

2

,∴ =

π

(Ⅱ)由(I)得, f ( x ) = sin(ω x + 依题意, 又T =

π
4

4

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

)



T π = 2 3

, 故 ω = 3,∴ f ( x) = sin(3 x + ) ω 4

π

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

π g ( x) = sin 3( x + m) + 4
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m +

π
4

= kπ +

π
2

(k ∈ Z )

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即m =

kπ π + (k ∈ Z ) 3 12

从而,最小正实数 m = 解法二: (I)同解法一

π

12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x ) = sin(ω x + 依题意, 又T =

π
4

)



T π = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3

ω

,故 ω = 3,∴ f ( x ) = sin(3 x +

π

4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x ) = sin 3( x + m) +



π
4

g ( x) 是偶函数当且仅当 g ( x) = g ( x) 对 x ∈ R 恒成立
亦即 sin( 3 x + 3m +

π

) = sin(3 x + 3m + ) 对 x ∈ R 恒成立。 4 4

π

∴ sin(3 x) cos(3m + ) + cos(3 x) sin(3m + ) 4 4 = sin 3 x cos(3m + ) + cos 3 x sin(3m + ) 4 4
即 2 sin 3 x cos(3m +

π

π

π

π

π

∴ cos(3m +
故 3m +

π
4

4

) = 0 对 x ∈ R 恒成立。

)=0

π
4

= kπ +

π
2

(k ∈ Z )

∴m =

kπ π + (k ∈ Z ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 12

从而,最小正实数 m =

π

12

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