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1.1空间几何体的结构


1.1.空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、导入:
在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分。比 如说:我们的课桌,垃圾桶、粉笔、黑板等等。如果我们只考虑这些 物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的 空间图形就叫做空间几何体。 下面请同学们仔细观察以下这些图形,看看它们都有什么特征,并 把它们分成两

类。给你们一个提示,根据围成几何体的面是否都是平 面来分类。

图 1.1-1

通过观察,我们可以发现(2)、(5)、(7)、(9)、(13)、 (14)、(15)、(16)具有同样的特点:组成几何体的每个面都是

平面图形,并且都是平面多边;(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、 (10)、(11)、(12)具有同样的特点:组成它们的面不全是平面 图形。 由此我们引入一个多面体的概念,一般的,我们把若干个平面多边 形围成的几何体叫做多面体(图 1.1-2)。围成多面体的各个多边形 叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。棱与棱的公 共点叫做多面体的顶点。 选图 1.1-1 中几个图形, 请同学们说出分别是几面体, 各个面和顶点。 我们把由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所成 的封闭几何体叫做旋转体(图 1.1-3)。 轴:形成旋转体所围绕的定直线。

图 1.1-2

图 1.1-3

二、正课 接下来我们学习几种基本的空间几何体。 1.棱柱 大家来看一下图(1)这个图形,观察一下这个图形有什么特点。

图(1)

图中面 ABCDEF 与面 A’B’C ’D’E’F’的位置关系如何(平行)?其余各面 是几边形 (四边形) ?其余各面的公共边位置关系如何 (互相平行) ? 这样的图形我们叫做棱柱。我们来总结一下它的定义。 (1)定义: 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面。 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。 不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。 两个底面的距离叫做棱柱的高。 (2)棱柱的特征: A.两底面是对应且平行的全等多边形。 B.其余各面都是平行四边形。 C.每相邻领个平行四边形的公共边互相平行,即侧棱平行且相等。 D.两个底面与平行与底面的截面是全等的多边形。

E.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 注: 有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几何体不一定是 棱柱,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个平 行四边形的公共边都互相平行”如图(2)。

图(2) (3)棱柱的分类: 根据底面多边形的边数,我们可以将棱柱分为三棱柱、四棱柱,五棱 柱等等。如图(3)所示。

图(3) 以上三个例子中侧棱都是垂直于底面的,我们叫这种棱柱为直棱柱, 那侧棱与底面不垂直的我们叫做斜棱柱。特别的,底面是正多边形的 直棱柱叫做正棱柱(注意前提是直棱柱)。(手画)

综上所述,棱柱分为直棱柱和斜棱柱,直棱柱又分为正棱柱和一般 的直棱柱。 (4)棱柱的记法: 用表示底面个顶点的字母表示棱柱。 如图(3)中三、四、五棱柱分别可表示为棱柱 ABC-A’B’C ’, 棱柱 ABCD-A’B’C ’D’,棱柱 ABCDE-A’B’C ’D’E’。 例 1. 下面这些几何体中,哪些是棱柱?

例 2. 已知长方体 ABCD-A’B’C ’D’,E、F 分别为 A’B’和 C ’D’的中点(画 图)。 (1)这个长方体是棱柱么?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面 BCEF 把这个长方体分成两部分, 各部分几何体的形状是 什么? 2.棱锥

再来看这个图形,底面和侧面有什么特点呢?

图(4)

(1)定义: 一般地, 有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 例:有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥对吗? 这种说法是错误的,因为棱锥仅有一个点,它是各侧面的公共顶点, 与底面多边形的顶点不同。如图(5)中有一个面是多边形,其余各 面都是三角形,但它不是棱锥,因为有两个顶点。

图(5)

注:棱锥的高只有一条,而棱柱的高有无数条。 (2)棱锥的结构特征: A.侧面都是三角形。 B.平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面的距离与

高的比的平方。 (3)棱锥的分类: 跟棱柱一样, 根据底面多边形的边数我们将棱锥分为三棱锥、 四棱锥、 五棱锥等等。其中三棱锥又叫四面体。 特殊的棱锥:正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶点在底面上的射影是底面的 中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 也就是说一个棱锥是正棱锥必须满足两个条件:一是底面是正多边 形;二是顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。 正多边形:外心与内心重合的多边形。 正三角形:外心、内心、垂心、重心有任意两个重合的三角形。 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。外接圆的圆心。 内心是三角形的三个内角平分线的交点。内接圆的圆心。 重心是三角形三条中线的交点。 垂心是三角形三条高或其延长线的交点。 注:不能说各条边相等的多边形就是正多边形。 (4)棱锥的记法: 用表示顶点和底面个顶点的字母表示,如图( 4 )中的棱锥可记为 P-ABCD。 例 2:下列命题中,真命题是( ) A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱 锥。

B.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。 C.底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥。 D.底面是三角形,并且侧棱都相等的正三棱锥。 解析: A.到三角形各顶点距离相等的点是三角形的外心(外接圆),该三角 形不一定是正三角形。错误 B.三角形 ABC 若 PA=PB=AB=BC=AC≠PC,则△PAB、△PBC、△PAC 都 为等腰三角形,但它不是正棱锥。错误 C. 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形即 可。错误 D.顶点在底面上的射影为底面三角形的外心,又底面三角形为正三角 形,因此外心即中心。正确

3.棱台 同样的,我们来观察这个图形,它和棱锥有什么关系?

图(6)

(1)定义: 我们可以发现实线部分图形是用一个平行于棱锥底面的平面去截

棱锥而得到的,我们把底面与截面之间的部分称为棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的上底面和下底面。 (2)结构特征: A.上、下底面是相似多边形且互相平行。 B.各侧棱延长后必交于一点(因原先就是棱锥)。 (3)棱台的分类: 由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台,分别叫做三棱台、四棱台、 五棱台等等。由正棱锥截得的棱台叫正棱台。 (4)棱台的表示方法: 用表示棱台各顶点的字母表示,如图(6)表示的棱台可表示为棱台 ABCD-A’B’C ’D’。 例 3.判断下列几何体是不是棱台,并说明理由。

下面我们来讲旋转体。 4.圆柱 观察这个图形,它是以哪条线为旋转轴?旋转哪个面得到的?

图(7)

(1)定义: 以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的面所围成的旋 转体叫做圆柱。 旋转轴叫做圆柱的轴。 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面。 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 无论旋转到什么位置,不垂直与轴的边叫做圆柱侧面的母线。 (2)结构特征: A.平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面 B.过轴的截面是全等的矩形 C.圆柱的侧面沿母线展开后的图形是矩形 (3)表示方法: 用轴的字母表示,如图(7)可表示为圆柱 AG。 注:圆柱与棱柱统称为柱体 例 4.请同学们举出生活中的圆柱。

5.圆锥 与圆柱一样,圆锥也可以看做是由平面图形旋转而成的,那么大家思

考一下,圆锥是由什么图形旋转而成的?

图(8)

(1)定义: 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的 面所圆锥围成的物体叫做圆锥 能不能仿照圆柱,给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义? (2)结构特征: A.平行于底面的截面都是圆面 B.过轴的截面是等腰三角形 C.圆锥的侧面沿母线展开后是的图形是扇形 (3)表示方法: 用轴的字母表示,如图(8)可表示为圆锥 SO。 例 说说生活当中的圆锥体。

6.圆台 想一想圆台是由什么图形旋转而成的?

图(9)

(1)定义: 与棱台相似,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之 间的部分叫做圆台. 仿照圆柱、圆锥给出圆台的轴、底面、侧面和母线的定义。 (2)结构特征: 同学们能不能根据圆柱、 圆锥的结构特征来总结一下圆台的结构特征 呢? A.平行于底面的截面都是圆面 B.过轴的截面是全等的等腰梯形 C.圆台的侧面沿母线展开后的图形是扇形 (3)表示方法: 用轴的字母表示,如图(9)可表示为圆台 OO’。 例 说说生活当中的圆台。

7.球 同样的球是由什么图形旋转而成的呢?

图(10)

(1)定义: 以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的旋转体叫 做球体。 半圆的圆心叫做球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球 的直径。 (2)结构特征: A.用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线垂直 于截面, 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 的关系: r=(R^2--d^2)^1/2 B.球的截面中,过球心的截面圆面积最大。 注:球与球面的区别:球是实心的,球面是空心的。 (3)表示方法: 用表示球心的字母 O 表示,如图(10)可表示为球 O。

1.1.2 简单几何体的结构特征
1.多面体与多面体的组合体:由两个或两个以上的多面体组合而成的 几何体。如:简画房子

2.旋转体与旋转体的组合体:由两个或两个以上的旋转体组成的几何 体。如:瓶子 3.多面体与旋转体的组合:由一个多面体与一个旋转体组合而成几何 体。如:螺丝


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