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《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件2[1]


分类计数原理 分步计数原理(二 与 分步计数原理 二)

1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在 、分类加法计数原理:完成一件事, 类办法, 类办法 类办法中有m 在第2类办法中有 第1类办法中有 1种不同的方法 在第 类办法中有 2 类办法中有 种不同的方法,在第 类办法中有m 种不同的方法……在第 类办法中有mn种不同的方法. 在第n类办法中 种不同的方法 在第 类办法中有 种不同的方法. 1 那么 完成这件事共有 N = m + m2 +L+ mn种不同的方 法. 分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n 2、分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步 做第1步有m 种不同的方法,做第2步有m 骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 方法 ,做第n步有m 种不同的方法. 种不同的方法. 事共有 N = m × m2 ×L× mn种不同的方法. 1
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点: 共同点:回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点:分类加法计数原理与分类有关, 不同点:分类加法计数原理与分类有关, 分步乘法计数原理与分步有关。 分步乘法计数原理与分步有关。

分类计数原理
区别1 区别 完成一件事,共有 类 完成一件事,共有n类 办法,关键词“分类” 办法,关键词“分类”

分步计数原理
完成一件事,共分 个 完成一件事,共分n个 步骤,关键词“分步” 步骤,关键词“分步” 每一步得到的只是中间结果, 每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能独立完成这件 事,缺少任何一步也不能完成 这件事, 这件事,只有各个步骤都完成 才能完成这件事。 了,才能完成这件事。 各步之间是互相关联的。 各步之间是互相关联的。 互相关联的

每类办法都能独立地完成 这件事情,它是独立的、 这件事情,它是独立的、 区别2 一次的、 区别 一次的、且每次得到的是 最后结果, 最后结果,只须一种方法 就可完成这件事。 就可完成这件事。 区别3 区别 各类办法是互相独立的 各类办法是互相独立的。 互相独立

即:类类独立,步步关联。 类类独立,步步关联。

五名学生报名参加四项体育比赛, 例1. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人 限报一项,报名方法的种数为多少? 限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争 夺这四项比赛的冠军, 夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多 少种? 少种?
名学生中任一名均可报其中的任一项, 解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 :( ) 名学生中任一名均可报其中的任一项 个学生都有4种报名方法 种报名方法, 名学生都报了项目才能算完成 个学生都有 种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . 这一事件故报名方法种数为 × × × × (2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 )每个项目只有一个冠军, 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有 种 故有n=5×5×5×5= 54 种 . ×

给程序模块命名, 个字符, 例2.给程序模块命名,需要用 个字符,其中首个字 给程序模块命名 需要用3个字符 符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字 ~9, 符要求用字母 或 ,后两个要求用数字1~ , 问最多可以给多少个程序命名? 问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。

种不同的选法, 解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 首字符共有 = 种不同的选法 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 中间字符和末位字符各有 种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有 × × = 根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法 种不同的选法

答:最多可以给1053个程序命名。 最多可以给1053个程序命名。 1053个程序命名

核糖核酸( 例3.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个 核糖核酸 )分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子 分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链, 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用A, , , 表 为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用 ,C,G,U表 在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位 分子中, 示,在一个 分子中 各种碱基能够以任意次序出现, 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由 个碱基组 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类 分子由100个碱基组 分子由 那么能有多少种不同的RNA分子? 分子? 成,那么能有多少种不同的 分子

分析:用 个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从 、 个碱基组成的长链, 分析 用100个位置表示由 个位置表示由 个碱基组成的长链 每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。 中任选一个来占据。 、 、 中任选一个来占据
……
4种 4种 4种 4种

个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U 个位置, 解:100个碱基组成的长链共有 个碱基组成的长链共有 个位置 在每个位置中, 、 、 、 中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法 根据分步计数原理, 种填充方法。 中任选一个来填入,每个位置有 种填充方法。根据分步计数原理,共有

4 ×4×244 4=4100 种不同的 种不同的RNA分子 分子. 分子 1 444 ×L× 3
100 个 4

电子元件很容易实现电路的通与断、 例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 电子元件很容易实现电路的通与断 状态,而这也是最容易控制的两种状态。 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或 两种数字的计数法 即二进制, 两种数字的计数法, 用了每一位只有 或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码, 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示, 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成, 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? )一个字节( 位 最多可以表示多少个不同的字符? 个汉字, (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了 )计算机汉字国标码( 码 包含了6763个汉字,一个 个汉字 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码, 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用 多少个字节表示? 多少个字节表示? 如00000000,10000000, , , 11111111.
2种 2种 2种 2种 第1位 第2位 第3位 第8位

……

例5.计算机编程人员在编 计算机编程人员在编 开始 写好程序以后要对程序进 行测试。 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路( 到底有多少条执行路(即 子模块3 子模块2 子模块1 28条执行路径 45条执行路径 程序从开始到结束的线), 程序从开始到结束的线),18条执行路径 以便知道需要提供多少个 测试数据。一般的, 测试数据。一般的,一个 A 程序模块又许多子模块组 成,它的一个具有许多执 行路径的程序模块。 行路径的程序模块。问: 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 这个程序模块有多少条执 行路径? 行路径?另外为了减少测 试时间, 试时间,程序员需要设法 减少测试次数, 减少测试次数,你能帮助 结束 程序员设计一个测试方式, 程序员设计一个测试方式, 以减少测试次数吗? 以减少测试次数吗?

分析: 分析:整个模块的任 意一条路径都分两步 完成: 完成:第1步是从开 步是从开 始执行到A点 始执行到 点;第2步 步 是从A点执行到结束 点执行到结束。 是从 点执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块3 或子模块 或子模块 来完成; 来完成;第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此, 完成。因此,分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径 A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

2)在实际测试中,程序 )在实际测试中, 开始 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱, 成一个黑箱,即通过只考 察是否执行了正确的子模 子模块3 子模块2 子模块1 块的方式来测试整个模块。 块的方式来测试整个模块。 28条执行路径 45条执行路径 18条执行路径 这样,他可以先分别单独 这样, 测试5个模块 个模块, 测试 个模块,以考察每 A 个子模块的工作是否正常。 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为: 总共需要的测试次数为: 18+45+28+38+43=172。 。 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常, 息交流是否正常,需要测 试的次数为: 试的次数为:3*2=6。 。 如果每个子模块都正常工 结束 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常, 的信息交流也正常,那么 这样,测试整个模块的次数就变为 这样,测试整个模块的次数就变为 整个程序模块就正常。 整个程序模块就正常。 172+6=178(次) (

随着人们生活水平的提高, 例6.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增 随着人们生活水平的提高 汽车牌照号码需要扩容。 长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3 照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母 个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现, 和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现, 个数字也必须合成一组出现, 3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照? 车上牌照

课堂练习
1、乘积 (a1 + a2 + a3 )(b + b2 + b3 )(c1 + c2 + c3 + c4 + c5 ) 、 1 展开后共有几项? 展开后共有几项?

2、某商场有6个门,如果某人从其中的任意一个 、某商场有 个门 个门, 门进入商场,并且要求从其他的门出去, 门进入商场,并且要求从其他的门出去,共有多 少种不同的进出商场的方式? 少种不同的进出商场的方式?

课堂练习

3.如图 该电 如图,该电
路,从A到B共 从 到 共 有多少条不 同的线路可 通电? 通电?

A

B

从总体上看由A到 的通电线路可分三类 的通电线路可分三类, 解: 从总体上看由 到B的通电线路可分三类 第一类, 第一类 m1 = 3 条 第二类, 第二类 m2 = 1 条 第三类, × 第三类 m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理 从A到B共有 所以 根据分类原理, 到 共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。 在解题有时既要分类又要分步。



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