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高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)


2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
一.选择题(共 11 小题) 1. (2014?湖南)若 0<x1<x2<1,则( A. C.x2 ﹣ >x1 >lnx2﹣lnx1 B. D.x2 ﹣ <x1 ) <lnx2﹣lnx1

2. (2005?天津)若函数 f(x)=loga(x ﹣ax) (a>0,a≠1)在区间 增,则 a 的取值

范围是( A. B. ) C. D.

3

内单调递

3. (2009?上海)函数

的反函数图象是(



A.

B.

C.

D. 4. (2008?天津)设 a>1,若对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ]满足方程 logax+logay=3, 这时 a 的取值集合为( ) A.{a|1<a≤2} B.{a|a≥2} C.{a|2≤a≤3} D.{2,3} 5. (2005?山东)0<a<1,下列不等式一定成立的是( )
2

A.|log(1+a) (1﹣a)|+|log(1﹣a) (1+a)|>2; B.|log(1+a) (1﹣a)|<|log(1﹣a) (1+a)|; C.|log(1+a) (1﹣a)+log(1﹣a) (1+a)|<|log(1+a) (1﹣a)|+|log(1﹣a) (1+a)|; D.|log(1+a) (1﹣a)﹣log(1﹣a) (1+a)|>|log(1+a) (1﹣a)|﹣|log(1﹣a) (1+a)|

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6. (2005?天津)设 f (x)是函数 f(x)= (a ﹣a ) (a>1)的反函数,则使 f (x) >1 成立的 x 的取值范围为( A. ( ,+∞) ) ) C. ( ,a) D.[a,+∞)

﹣1

x

﹣x

﹣1

B. (﹣∞,

7. (2004?天津)函数 A. C.

(﹣1≤x<0)的反函数是( B. D.



8. (2004?江苏)设 k>1,f(x)=k(x﹣1) (x∈R) .在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f (x)的图象与 x 轴交于 A 点,它的反函数 y=f (x)的图象与 y 轴交于 B 点,并且这两个 函数的图象交于 P 点.已知四边形 OAPB 的面积是 3,则 k 等于( ) A.3 B. C. D.
x
﹣1

9. (2006?天津)已知函数 y=f(x)的图象与函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象关于直线 y=x 对称,记 g(x)=f(x)[f(x)+f(2)﹣1].若 y=g(x)在区间 实数 a 的取值范围是( ) C. D. 上是增函数,则

A.[2,+∞)B. (0,1)∪(1,2)

10. (2011?湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减 少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太 贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0 ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 )

的含量.已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是﹣10In2(太贝克/年) ,则 M(60)=( A.5 太贝克 B.75In2 太贝克 C.150In2 太贝克 D.150 太贝克

11. (2014?湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率 为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D. ﹣1

二.填空题(共 12 小题)

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12. (2013?北京)函数

的值域为



13. (2011?湖北)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中 A 是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振 幅是 1000,此时标准地震的振幅 A0 为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地 震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 倍.

14. (2007?上海)函数

的反函数是



15. (2006?江苏)不等式
x

的解集为



16. (2005?北京)设函数 f(x)=2 ,对于任意的 x1,x2(x1≠x2) ,有下列命题 ①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ;②f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ;③ ;

④ .

.其中正确的命题序号是

17. (2004?广东) 函数

的反函数 f (x) =

﹣1



18. (2011 秋?岳阳楼区校级期末)已知 0<a<1,0<b<1,如果 x 的取值范围为 19. (2005?天津)设 . ,则 的定义域为

<1,那么



20. (2008?天津)设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ] 满足方程 logax+logay=c,这时 a 的取值的集合为 . 21. (2002?上海)已知函数 y=f(x) (定义域为 D,值域为 A)有反函数 y=f (x) ,则方 ﹣1 程 f(x)=0 有解 x=a,且 f(x)>x(x∈D)的充要条件是 y=f (x)满足 .
第 3 页(共 27 页)
﹣1

2

22. (2013?上海)对区间 I 上有定义的函数 g(x) ,记 g(I)={y|y=g(x) ,x∈I}.已知定义 域为[0,3]的函数 y=f(x)有反函数 y=f (x) ,且 f ([0,1) )=[1,2) ,f ( (2,4]) =[0,1) .若方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,则 x0= . 23. (2004?湖南)若直线 y=2a 与函数 y=|a ﹣1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 .
x
﹣1 ﹣1 ﹣1

三.解答题(共 7 小题) 24. (2014 秋?沙河口区校级期中) 21、 设 的大小,并证明你的结论.

25.解不等式

26. (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 27.如果正实数 a,b 满足 a =b .且 a<1,证明 a=b. 28. (2011?上海模拟)已知 n 为自然数,实数 a>1,解关于 x 的不等式
b a



29. (2010?荔湾区校级模拟)f(x)=lg 是任意自然数且 n≥2. (Ⅰ)如果 f(x)当 x∈(﹣∞,1]时有意义,求 a 的取值范围; (Ⅱ)如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x)当 x≠0 时成立.

,其中 a 是实数,n

30. (2010?四川)设

,a>0 且 a≠1) ,g(x)是 f(x)的反函数.

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(Ⅰ)设关于 x 的方程求 求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a=e,e 为自然对数的底数)时,证明:

在区间[2,6]上有实数解,



(Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较|

|与 4 的大小,并说明理由.

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2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 11 小题) 1. (2014?湖南)若 0<x1<x2<1,则( A. C.x2 ﹣ >x1 >lnx2﹣lnx1 B. D.x2
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) <lnx2﹣lnx1

﹣ <x1

考点: 对数的运算性质. 专题: 导数的综合应用. 分析: x 分别设出两个辅助函数 f(x)=e +lnx,g(x)= 调性,结合已知条件 0<x1<x2<1 得答案. x 解答: 解:令 f(x)=e ﹣lnx, 则 f′(x)= ,
x x

,由导数判断其在(0,1)上的单

当 x 趋近于 0 时,xe ﹣1<0,当 x=1 时,xe ﹣1>0, 因此在(0,1)上必然存在 f′(x)=0, 因此函数 f(x)在(0,1)上先递减后递增,故 A、B 均错误; 令 g(x)= ,

, 当 0<x<1 时,g′(x)<0. ∴g(x)在(0,1)上为减函数, ∵0<x1<x2<1, ∴ ,





∴选项 C 正确而 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了函数构造法,解答此题的关键在于想到 构造两个函数,是中档题.

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2. (2005?天津)若函数 f(x)=loga(x ﹣ax) (a>0,a≠1)在区间 增,则 a 的取值范围是( A. B. ) C.
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3

内单调递

D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;压轴题. 3 分析: 将函数看作是复合函数,令 g(x)=x ﹣ax,且 g(x)>0,得 x∈(﹣ ,0)∪( , +∞) ,因为函数是高次函数,所以用导数来判断其单调性,再由复合函数“同增异减” 求得结果. 3 解答: 解:设 g(x)=x ﹣ax,g(x)>0,得 x∈(﹣ ,0)∪( ,+∞) ,? g′(x)=3x ﹣a,x∈(﹣ x∈(﹣ ,﹣
2

,0)时,g(x)递减,? ,+∞)时,g(x)递增.? ,0) ,?不合题意,

)或 x∈(

∴当 a>1 时,减区间为(﹣ 当 0<a<1 时, (﹣ ∴﹣ ≥﹣ ∴a∈[ ,1) .?

,0)为增区间.?

故选 B. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,结论是同增异减,解题时一定要注意定义域.

3. (2009?上海)函数

的反函数图象是(



A.

B.

C.

D. 考点: 反函数;函数的图象. 专题: 常规题型;压轴题.
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分析: 先画出条件中函数式 直线 y=x 对称的图象即得. 解答: 解:作出函数

的图象,再将其图象作关于

的图象,如图,

∵互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称, ∴函数 故选 C. 的反函数图象是:C.

点评: 本小题主要考查反函数、 反函数的应用、 函数的图象等基础知识, 考查数形结合思想、 化归与转化思想.属于基础题. 4. (2008?天津)设 a>1,若对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ]满足方程 logax+logay=3, 这时 a 的取值集合为( ) A.{a|1<a≤2} B.{a|a≥2} C.{a|2≤a≤3} D.{2,3} 考点: 幂函数的实际应用. 专题: 压轴题. 分析: 先由方程 logax+logay=3 解出 y,转化为函数的值域问题求解. 解答: 解:易得 ,在[a,2a]上单调递减,
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2

所以 故 ?a≥2



故选 B. 点评: 本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题,难度不大.注意函 数和方程思想的应用. 5. (2005?山东)0<a<1,下列不等式一定成立的是( )

A.|log(1+a) (1﹣a)|+|log(1﹣a) (1+a)|>2; B.|log(1+a) (1﹣a)|<|log(1﹣a) (1+a)|; C.|log(1+a) (1﹣a)+log(1﹣a) (1+a)|<|log(1+a) (1﹣a)|+|log(1﹣a) (1+a)|; D.|log(1+a) (1﹣a)﹣log(1﹣a) (1+a)|>|log(1+a) (1﹣a)|﹣|log(1﹣a) (1+a)| 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 用特殊值法,来排除不成立的选项即可.
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解答: 解:取满足题设的特殊数值 a= , log(1+a) (1﹣a)= < =﹣1,

0>log(1﹣a) (1+a)=



2=﹣1,

检验不等式(B) , (C) , (D)均不成立, 故选 A 点评: 本题主要考查客观题的解法,可灵活选择方法,如特殊法,验证法,数形结合法等, 解题不但灵活,而且效率很高.
﹣1

6. (2005?天津)设 f (x)是函数 f(x)= (a ﹣a ) (a>1)的反函数,则使 f (x) >1 成立的 x 的取值范围为( A. ( ,+∞) ) ) C. ( ,a) D.[a,+∞)

x

﹣x

﹣1

B. (﹣∞,

考点: 反函数. 专题: 压轴题. 分析: 本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点,有一定 的综合性;
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首先由函数 f(x)= (a ﹣a ) (a>1)求其反函数,要用到解指数方程,整体换元 的思想,将 a 看作整体解出,然后由 f (x)>1 构建不等式解出即可. 解答: ﹣x x 2x x 解:由题意设 y= (a ﹣a )整理化简得 a ﹣2ya ﹣1=0, 解得: ∵a >0,∴ ∴x=loga(y+ ∴f (x)=loga(x+
﹣1 ﹣1

x

﹣x

x

﹣1

x

, ) ) )>1

由使 f (x)>1 得 loga(x+ ∵a>1,∴x+ >a

由此解得:
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故选 A 点评: 本题虽为小题,看似简单,实际上综合性强,用到多方面的知识和方法,更需要一定 的运算能力; x 尤其在求 x 时难度大些,不仅要用换元思想把 a 看作整体求解,还要根据范围舍去

7. (2004?天津)函数 A. C.
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(﹣1≤x<0)的反函数是( B. D.



考点: 反函数. 专题: 计算题;压轴题;方程思想. 分析: 解方程 ,根据 x 的范围,求出 x 的值,然后 x,y 互换,求出函数的反函 数. 解答: 解:函数
2

,可得 x ﹣1=log3y

2

x =1+log3y,∵﹣1≤x<0,∴ 所以函数 (﹣1≤x<0)的反函数是:

故选 D. 点评: 本题考查反函数的求法,考查就是能力,是基础题. 8. (2004?江苏)设 k>1,f(x)=k(x﹣1) (x∈R) .在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f (x)的图象与 x 轴交于 A 点,它的反函数 y=f (x)的图象与 y 轴交于 B 点,并且这两个 函数的图象交于 P 点.已知四边形 OAPB 的面积是 3,则 k 等于( ) A.3 B.
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﹣1

C.

D.

考点: 反函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据题意画出图形,由于互为反函数的两个函数的图象关于 y=x 对称,从而两个函 数的图象交于 P 点必在直线 y=x 上.且 A,B 两点关于 y=x 对称,利用四边形 OAPB 的面积= AB×OP,求得 P(3,3)从而求得 k 值. 解答: 解:根据题意画出图形,如图. 由于互为反函数的两个函数的图象关于 y=x 对称, 所以这两个函数的图象交于 P 点必在直线 y=x 上. 且 A,B 两点关于 y=x 对称, ∴AB⊥OP
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∴四边形 OAPB 的面积= AB×OP= × ∴OP=3 . ∴P(3,3)代入 f(x)=k(x﹣1)得: k= 故选 B.

OP=3,

点评: 本题主要考查反函数,反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研 究,我们应从函数的角度去理解反函数的概念,从中发现反函数的本质,并能顺利地 应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题. 9. (2006?天津)已知函数 y=f(x)的图象与函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象关于直线 y=x 对称,记 g(x)=f(x)[f(x)+f(2)﹣1].若 y=g(x)在区间 实数 a 的取值范围是( ) C.
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x

上是增函数,则

A.[2,+∞)B. (0,1)∪(1,2)

D.

考点: 指数式与对数式的互化;反函数. 专题: 压轴题. 分析: 先表述出函数 f(x)的解析式然后代入将函数 g(x)表述出来,然后对底数 a 进行讨 论即可得到答案. x 解答: 解:已知函数 y=f(x)的图象与函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象关于直线 y=x 对称, 2 则 f(x)=logax,记 g(x)=f(x)[f(x)+f(2)﹣1]=(logax) +(loga2﹣1)logax. 当 a>1 时, 若 y=g(x)在区间 上是增函数,y=logax 为增函数,

令 t=logax,t∈[

,loga2],要求对称轴

,矛盾;

当 0<a<1 时,若 y=g(x)在区间

上是增函数,y=logax 为减函数,

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令 t=logax,t∈[loga2, 解得 ,

],要求对称轴



所以实数 a 的取值范围是



故选 D. 点评: 本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数. 这里注意指数函数和对数函数的增减 性与底数的大小有关, 即当底数大于 1 时单调递增, 当底数大于 0 小于 1 时单调递减. 10. (2011?湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减 少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太 贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0 ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 )

的含量.已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是﹣10In2(太贝克/年) ,则 M(60)=( A.5 太贝克 B.75In2 太贝克 C.150In2 太贝克 D.150 太贝克 考点: 有理数指数幂的运算性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由 t=30 时,铯 137 含量的变化率是﹣10In2(太贝克/年) ,先求出 M'(t)
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=M0×

,再由 M'(30)=M0×

=﹣10ln2,求

出 M0,然后能求出 M(60)的值. 解答: 解:M'(t)=M0× M'(30)=M0× ∴M0=600. ∴ . , =﹣10ln2,

故选 D. 点评: 本题考查有理数指数幂的运算法则,解题时要注意导数的合理运用. 11. (2014?湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率 为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B.
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C.

D.

﹣1

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据增长率之间的关系,建立方程关系即可得到结论. 解答: 解:设原来的生产总值为 a,平均增长率为 x,
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则 a(1+p) (1+q)=a(1+x) , 解得 1+x= 即 x= , ﹣1,

2

故选:D. 点评: 本题主要考查指数幂的计算,根据条件建立条件关系是解决本题的关键,比较基础. 二.填空题(共 12 小题)

12. (2013?北京)函数

的值域为 (﹣∞,2) .

考点: 对数函数的值域与最值;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域, 然后取并集得到原函数 的值域. 解答: 解:当 x≥1 时,f(x)= ;
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当 x<1 时,0<f(x)=2 <2 =2.

x

1

所以函数

的值域为(﹣∞,2) .

故答案为(﹣∞,2) . 点评: 本题考查了函数值域的求法,分段函数的值域要分段求,最后取并集.是基础题. 13. (2011?湖北)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中 A 是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振 幅是 1000,此时标准地震的振幅 A0 为 0.001,则此次地震的震级为 6 级;9 级地震的最 大的振幅是 5 级地震最大振幅的 10000 倍. 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意中的假设,可得 M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6;设 9 级地震的最大的振 幅是 x,5 级地震最大振幅是 y,9=lgx+3,5=lgy+3,由此知 9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 10000 倍. 解答: 解:根据题意,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准地震的 振幅为 0.001, 则 M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣(﹣3)=6. 设 9 级地震的最大的振幅是 x,5 级地震最大振幅是 y, 6 2 9=lgx+3,5=lgy+3,解得 x=10 ,y=10 ,
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故答案为:6,10000. 点评: 本题考查对数的运算法则,解题时要注意公式的灵活运用.

14. (2007?上海)函数

的反函数是



考点: 反函数. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 由原函数的分段解析式分别解出自变量 x 的解析式, 再把 x 和 y 交换位置, 注明反函 数的定义域(即原函数的值域) ,最后再写成分段函数的形式即可. 2 解答: 解:∵y=x +1(x≥0) ,
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∴x=
2

,y≥1, (x≥1) ,

故 y=x +1(x≥0)的反函数为 y=

同样地,y= (x<0)的反函数为 y= (x<0) ,

∴函数

的反函数是



故答案为:



点评: 本题考查函数与反函数的定义,求反函数的方法和步骤,注意反函数的定义域是原函 数的值域.

15. (2006?江苏)不等式 .

的解集为

考点: 对数函数的单调性与特殊点;其他不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由不等式 =log28 知 0< 解答: 解: ,0<
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,由此可得到所求的解集.







解得 故答案: . 点评: 本题考查对数函数单调性和不等式的解法,解题时要注意公式的灵活运用.在数的比 较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部 分, 再去比较它们剩余部分, 就会很轻易啦. 一般在数的比较大小中有如下几种方法: (1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小; (2)找中间量, 往往是 1,在这些数中,有的比 1 大,有的比 1 小; , (3)计算所有数的值; (4)选用 数形结合的方法,画出相应的图形; (5)利用函数的单调性等等. 16. (2005?北京)设函数 f(x)=2 ,对于任意的 x1,x2(x1≠x2) ,有下列命题 ①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ;②f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ;③ ;
x

④ ①③④ .

.其中正确的命题序号是

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对①②③④进行逐一进行判 定即可. 解答: 解: = ,所以对于①成立,
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+


x

,所以对于②不成立,

函数 f(x)=2 ,在 R 上是单调递增函数, 若 x1>x2 则 f(x1)>f(x2) ,则 ,

若 x1<x2 则 f(x1)<f(x2) ,则

,故③正确

说明函数是凹函数,而函数 f(x)=2 是凹函 数,故④正确 故答案为:①③④ 点评: 本题考查指数函数的性质,指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主
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x

要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质.
﹣1

17. (2004?广东)函数 (x∈R) . 考点: 反函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 欲求原函数的反函数,即从原函数式 x,后再进行 x,y 互换,即得反函数的解析式. 解答: 解:∵ ,
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的反函数 f (x)= e +2e

2x

x

中反解出

∴x=e +2e , 2x x ∴x,y 互换,得 y=e +2e (x∈R) . 2x x 故填:e +2e (x∈R) . 点评: 本题考查反函数的求法,要会求一些简单函数的反函数,掌握互为反函数的函数图象 间的关系.

2y

y

18. (2011 秋?岳阳楼区校级期末)已知 0<a<1,0<b<1,如果 x 的取值范围为 (3,4) .

<1,那么

考点: 指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: 根据条件 0<a<1,0<b<1,以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点,把不等式 进行等价转化,从而得到 x 的取值范围. 解答: (x﹣3) 解:∵0<a<1,0<b<1,如果 <1,∴logb >0,
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∴0<x﹣3<1,∴3<x<4, 故答案为: (3,4) . 点评: 本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,体现了等价转化的数学思想. 19. (2005?天津)设 (1,4) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对数的真数大于 0,求出定义域,然后使
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,则

的定义域为 (﹣4,﹣1)∪

有意义建立方程组,解答

即可. 解答: 解:要使函数有意义,则

解得 x∈(﹣2,2)

第 16 页(共 27 页)

要确保两个式子都要有意义,则

?x∈(﹣4,﹣1)

∪(1,4) 故答案为: (﹣4,﹣1)∪(1,4) 点评: 本题考查对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题. 20. (2008?天津)设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ] 满足方程 logax+logay=c,这时 a 的取值的集合为 {2} . 考点: 对数的运算性质;函数单调性的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由 logax+logay=c 可以用 x 表达出 y,转化为函数的值域问题求解. 解答: 解:∵logax+logay=c,
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2

∴ ∴xy=a 得
c

=c

,单调递减,所以当 x∈[a,2a]时,

所以

,因为有且只有一个常数 c 符合题意,所以

2+loga2=3,解得 a=2,所以 a 的取值的集合为{2}. 故答案为:{2} 点评: 本题考查函数与方程思想,需要有较强的转化问题的能力. 21. (2002?上海)已知函数 y=f(x) (定义域为 D,值域为 A)有反函数 y=f (x) ,则方 ﹣1 ﹣﹣1 程 f(x)=0 有解 x=a,且 f(x)>x(x∈D)的充要条件是 y=f (x)满足 f (0)=a, ﹣﹣1 ﹣﹣1 且 f (x) <x (x∈A) /y=f (x) 的图象在直线 y=x 的下方, 且与 y 轴的交点为 (0, a) … . 考点: 反函数;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 综合题;压轴题. ﹣﹣1 分析: 利用函数与反函数图象关于直线 y=x 对称,由 f(a)=0 可得 f (0)=a;由 f(x) ﹣﹣1 >x(x∈D)可得 f (x)<x,x∈A. ﹣﹣1 解答: 解:因为函数与反函数图象关于直线 y=x 对称,f(x)=0 有解 x=a,故 f (0)=a. ﹣﹣1 ∵f(x)>x(x∈D) ,∴f (x)<x,x∈A. ﹣﹣1 即 y=f (x)的图象在直线 y=x 的下方,且与 y 轴交与点(0,a) , ﹣﹣1 ﹣﹣1 ﹣﹣1 故答案为:f (0)=a,f (x)<x,x∈A.或 y=f (x)的图象在直线 y=x 的 下方,且与 y 轴交与点(0,a) . 点评: 本题考查函数与反函数的图象间的关系,反函数的定义.
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﹣1

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22. (2013?上海)对区间 I 上有定义的函数 g(x) ,记 g(I)={y|y=g(x) ,x∈I}.已知定义 域为[0,3]的函数 y=f(x)有反函数 y=f (x) ,且 f ([0,1) )=[1,2) ,f ( (2,4]) =[0,1) .若方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,则 x0= 2 . 考点: 反函数;函数的零点. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断:当 x∈[0,1)时,x∈[1,2)时 f (x)的值域,进而可判断此时 f(x)=x 无解;由 f(x)在定义域[0,3]上存在反函 数可知:x∈[2,3]时,f(x)的取值集合,再根据方程 f(x)=x 有解即可得到 x0 的 值. ﹣1 ﹣1 解答: 解:因为 g(I)={y|y=g(x) ,x∈I},f ([0,1) )=[1,2) ,f (2,4])=[0,1) , 所以对于函数 f(x) , 当 x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4],所以方程 f(x)﹣x=0 即 f(x)=x 无解; 当 x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1) ,所以方程 f(x)﹣x=0 即 f(x)=x 无解; 所以当 x∈[0,2)时方程 f(x)﹣x=0 即 f(x)=x 无解,
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﹣1

﹣1

﹣1

又因为方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,且定义域为[0,3], 故当 x∈[2,3]时,f(x)的取值应属于集合(﹣∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞) , 故若 f(x0)=x0,只有 x0=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查函数的零点及反函数,考查学生分析解决问题的能力,属中档题. 23. (2004?湖南)若直线 y=2a 与函数 y=|a ﹣1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 0<a< .
x

考点: 指数函数的图像与性质;指数函数综合题. 专题: 作图题;压轴题;数形结合. x 分析: 先分:①0<a<1 和 a>1 时两种情况,作出函数 y=|a ﹣1|图象,再由直线 y=2a 与函 x 数 y=|a ﹣1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,作出直线,移动直线,用数形结合 求解. x 解答: 解:①当 0<a<1 时,作出函数 y=|a ﹣1|图象:
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若直线 y=2a 与函数 y=|a ﹣1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点 由图象可知 0<2a<1, ∴0<a< . ②:当 a>1 时,作出函数 y=|a ﹣1|图象: x 若直线 y=2a 与函数 y=|a ﹣1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点 由图象可知 0<2a<1, 此时无解. 综上:a 的取值范围是 0<a< .
x

x

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故答案为:0<a<

点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性, 同时,还考查了数形结合的思想方法. 三.解答题(共 7 小题) 24. (2014 秋?沙河口区校级期中) 21、 设 的大小,并证明你的结论. 考点: 对数的运算性质;对数值大小的比较. 专题: 压轴题. 分析: 先判断 与 的大小,再由对数函数的单调性可得到答案.
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解答: 解:当 t>0 时,由基本不等式可得 ∴ t≠1 时, 当 0<a<1 时,y=logax 是单调减函数,∴

,当且仅当 t=1 时取“=”号

,即

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当 a>1 时, y=logax 是单调增函数, ∴



, 即



点评: 本题主要考查对数函数的单调性,即当底数大于 1 时函数单调递增,当底数大于 0 小 于 1 时函数单调递减. 25.解不等式

考点: 对数函数的单调性与特殊点;其他不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 等式 可以转化为 一步可转化为

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根据指数函数的单调性进

但为了保证式子有意义,对数式的真数部分必须大于 0,即

故原不等式可转化为不等式组



解答: 解:原不等式等价于

当 x>0 时,上述不等式组变成

解得:

当 x<0 时,上述不等式组变成

解得 所以原不等式解集为 点评: 对数不等式,其解法是将不等号两边化为同底的指数式,然后根据相应的指数函数的 性质解答,但在解答过程中要注意,要始终保证真数部分的式子大于 0,即让真数式 有意义.

第 20 页(共 27 页)

26. (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 指数函数单调性的应用;奇函数. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ)利用奇函数定义,在 f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求 a,b 的值; 2 (Ⅱ)首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f 2 (2t ﹣k)<0 转化为关于 t 的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,
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又由 f(1)=﹣f(﹣1)知 所以 a=2,b=1. 经检验 a=2,b=1 时,



是奇函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 易知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)是奇函数,



所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用; 同时考查一元二次不等式恒成立问题 的解决策略. 27.如果正实数 a,b 满足 a =b .且 a<1,证明 a=b. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 证明题;压轴题.
b a

2

2



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第 21 页(共 27 页)

b a 分析: 这道题可以有三种不同的证明方法.证法一的思路:由 a =b ,得 blna=alnb,从而

,考虑函数 函数的单调性用反证法进行证明.

,它的导数是

然后根据

证法二的思路是因为 0<a<1,a =b ,所以 blogaa=alogab,即

b

a

.然后根据

对数函数的性质用反证法进行证明. 证法三的思路是假如 a<b,则可设 b=a+ε,其中 ε>0 由于 0<a<1,ε>0,根据幂函 数或指数函数的性质用反证法进行证明. 解答: b a 证一:由 a =b ,得 blna=alnb,从而

考虑函数

,它的导数是

因为在(0,1)内 f'(x)>0,所以 f(x)在(0,1)内是增函数 b a b a 由于 0<a<1,b>0,所以 a <1,从而 b =a <1.由 b <1 及 a>0, 可推出 b<1. 由 0<a<1,0<b<1,假如 a≠b, 则根据 f(x)在(0,1)内是增函数, 得 f(a)≠f(b) ,即 从而 a ≠b 这与 a =b 矛盾 所以 a=b b a 证二:因为 0<a<1,a =b , 所以 blogaa=alogab,即 假如 a<b,则 ,但因 a<1,
b a b a



根据对数函数的性质, 得 所以 a 不能小于 b 假如 a>b,则 ,而 logab>1,这也与 矛盾 矛盾

所以 a 不能大于 b,因此 a=b 证三:假如 a<b,则可设 b=a+ε,其中 ε>0 由于 0<a<1,ε>0, 根据幂函数或指数函数的性质,得 a <1 和 所以 即 a <b .这与 a =b 矛盾,所以 a 不能小于 b
第 22 页(共 27 页)
b a b a ε

, ,

假如 b<a,则 b<a<1,可设 a=b+ε,其中 ε>0,同上可证得 a <b . b a 这于 a =b 矛盾,所以 a 不能大于 b 因此 a=b 点评: 反证法是证明的一种重要方法, 一题多证、 举一反三能够有效地提高我们的证明能力. 28. (2011?上海模拟)已知 n 为自然数,实数 a>1,解关于 x 的不等式

b

a

. 考点: 对数的运算性质;换底公式的应用;其他不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: 利用对数换底公式,原不等式左端化简,对 n 是偶数,奇数分类解不等式,即可. 解答: 解:利用对数换底公式,原不等式左端化为
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logax﹣4?

+12?
n﹣1

++n(﹣2)

n﹣1

?

=[1﹣2+4++(﹣2) =

]logax

logax

故原不等式可化为

logax>

loga(x ﹣a) .①

2

当 n 为奇数时, logax>loga(x ﹣a) .② 因为 a>1,②式等价于
2

>0,不等式①等价于

因为

<0,

> <x<

=

, }.

所以,不等式②的解集为{x|

当 n 为偶数时, logax>loga(x ﹣a) .③
2

<0,不等式①等价于

第 23 页(共 27 页)

因为 a>1,③式等价于



因为 所以,不等式③的解集为{x|x>

, }. }; }

综合得:当 n 为奇数时,原不等式的解集是{x| 当 n 为偶数时,原不等式的解集是{x|

点评: 本题考查换底公式,对数的运算性质,对数不等式的解法,考查分类讨论思想,是中 档题.

29. (2010?荔湾区校级模拟)f(x)=lg 是任意自然数且 n≥2. (Ⅰ)如果 f(x)当 x∈(﹣∞,1]时有意义,求 a 的取值范围; (Ⅱ)如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x)当 x≠0 时成立.

,其中 a 是实数,n

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;压轴题. x x x 分析: (Ⅰ) 、f(x)当 x∈(﹣∞,1]时有意义的条件是 1+2 +…+(n﹣1) +n a>0,x∈(﹣
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∞,1],n≥2,即



然后由函数的单调性求实数 a 的取值范围. (Ⅱ) 、欲证如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x)当 x≠0 时成立,只需证明 n≥2 时, x x x 2 2x 2x 2x [1+2 +…+(n﹣1) +n a] <n[1+2 +…+(n﹣1) +n a],a∈(0,1],x≠0 即可得证. x x x 解答: 解: (Ⅰ)f(x)当 x∈(﹣∞,1]时有意义的条件是 1+2 +…+(n﹣1) +n a>0,x∈ (﹣∞,1],n≥2, 即 ,



上都是增函数,

第 24 页(共 27 页)

∴ 从而它在 x=1 时取得最大值

在(﹣∞,1]上也是增函数,



所以



∵ 故 a 的取值范围是{a|a>﹣ }.

等价于



(Ⅱ)证明:只需证明 n≥2 时,[1+2 +…+(n﹣1) +n a] 2x 2x 2x <n[1+2 +…+(n﹣1) +n a],a∈(0,1],x≠0. 2 2 2 2 ∵(a1+a2+…+an) =(a1 +a2 +…an )+2(a1a2+a2a3+…+an﹣1an) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤(a1 +a2 +…an )+[(a1 +a2 )+…+(a1 +an )]+[(a2 +a3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 +…+(a2 +an )]+…+[(an﹣2 +an﹣1 )+(an﹣2 +an )]+(an﹣1 +an ) 2 2 2 =n(a1 +a2 +…+an ) . 2 2 2 2 于是(a1+a2+…+an) ≤n(a1 +a2 +…+an )当 a1=a2=…=an 时成立. x 利用上面结果知,当 a=1,x≠0 时,因 1≠2 , x x x 2 2x 2x 2x 所以有[1+2 +…+(n﹣1) +n a] <n[1+2 +…+(n﹣1) +n a],a∈(0,1], 2 当 0<a<1,x≠0 时,因 a <a, x x x 2 2x 2x 2x 所以有[1+2 +…+(n﹣1) +n a] <n[1+2 +…+(n﹣1) +n a], 即有 2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0. 点评: 本题是比较难的对数函数的综合题,在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用, 并且细心运算,避免不必要的错误.

x

x

x

2

30. (2010?四川)设

,a>0 且 a≠1) ,g(x)是 f(x)的反函数.

(Ⅰ)设关于 x 的方程求 求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a=e,e 为自然对数的底数)时,证明:

在区间[2,6]上有实数解,



(Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较|

|与 4 的大小,并说明理由.

第 25 页(共 27 页)

考点: 反函数;函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的极值;不等式. 专题: 计算题;综合题;压轴题;转化思想. 分析: (Ⅰ)求出 g(x) , 在[2,6]上有实数解,求
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出 t 的表达式,利用导数确定 t 的范围; (Ⅱ)a=e 求出 ,利用导数推出是增函数,求出最小值,即可证明



(Ⅲ)利用放缩法,求出| 解答: x 解: (1)由题意,得 a = 故 g(x)= 由

|的取值范围,最后推出小于 4 即可.

>0

,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 得 t=(x﹣1) (7﹣x) ,x∈[2,6]
2

则 t′=﹣3x +18x﹣15=﹣3(x﹣1) (x﹣5) 列表如下: x 2(2,5) 5 (5,6)6 t' + ﹣ t 5 递增 25 递减 极大值 32 所以 t 最小值=5,t 最大值=32 所以 t 的取值范围为[5,32](5 分)

2

(Ⅱ)

=ln( =﹣ln
2



令 u(z)=﹣lnz ﹣ 则 u′(z)=﹣

=﹣2lnz+z﹣ ,z>0 =(1﹣ ) ≥0
第 26 页(共 27 页)
2

所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数 又因为 >1>0,所以 u( )>u(1)=0

即 ln

>0



(9 分)

(3)设 a=

,则 p≥1,1<f(1)=

≤ 3,

当 n=1 时,|f(1)﹣1|= ≤2<4, 当 n≥2 时, 设 k≥2,k∈N 时,则 f(k)=
*



=1+

所以 1<f(k)≤1+



从而 n﹣1<

≤n﹣1+

=n+1﹣

<n+1,

所以 n<

<f(1)+n+1≤n+4,

综上所述,总有|

﹣n|<4.

点评: 本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考查化归、分 类整合等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力.

第 27 页(共 27 页)


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