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16~29届全国中学生物理竞赛热力学专题(含答案)


热力学专题 (16) 一、 (20 分)一汽缸的初始体积为 V0 ,其中盛有 2 mol 的空气和少量的水(水的体积可以忽略) 。平衡时 气体的总压强是 3.0 atm ,经做等温膨胀后使其体积加倍,在膨胀结束时,其中的水刚好全部消失,此时 的总压强为 2.0 atm 。若让其继续作等温膨胀,使体积再次加倍。试计算此时: 1.汽缸中气体的温度; 2.汽缸中水蒸气的摩尔数; 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。

(17) 一、在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管,管上端封闭,下端开口.已知槽中水银液面以上的那部分玻璃 管的长度l=76cm,管内封闭有n=1.0×10 mol的空气,保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻 璃管内空气的温度缓慢地降低 10℃,问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为 76 cmHg,每摩尔空气的内能U=CVT,其中T为绝对温度,常量CV=20.5J·(mol·K) ,普 适气体常量R=8.31J·(mol·K) ?
-1 -1 -3

(18) 二、(22 分)正确使用压力锅的方法是:将己盖好密封锅盖的压力锅(如图复 18-2-1)加热,当锅内水沸腾时再 加盖压力阀 S,此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气,空气己全部排除.然后继续加热,直到压力阀被锅 内的水蒸气顶起时,锅内即已达到预期温度(即设计时希望达到的温度),现有一压力锅,在海平面处加热 能达到的预期温度为 120℃.某人在海拔 5000m 的高山上使用此压力锅,锅内有足量的水. 1.若不加盖压力阀,锅内水的温度最高可达多少? 2.若按正确方法使用压力锅,锅内水的温度最高可达多少? 3.若未按正确方法使用压力锅,即盖好密封锅盖 一段时间后, 在点火前就加上压力阀。 此时水温为 27℃, 那么加热到压力阀刚被顶起时,锅内水的温度是多少? 若继续加热,锅内水的温度最高可达多少?假设空气不 溶于水. 已知:水的饱和蒸气压 pw (t ) 与温度 t 的关系图线如图 复 18-2-2 所示. 大气压强 p ( z ) 与高度 z 的关系的简化图线如图复 18-2-3 所示.

t ? 27 ℃时 t ? 27 pw (27?) ? 3.6 ? 103 Pa ; t ? 27 z ? 0 处 p(0) ? 1.013 ?105 Pa

(19) 一、 (20 分)某甲设计了 1 个如图复 19-1 所示的“自动喷泉”装置,其中 A、B、C 为 3 个容器,D、E、F 为 3 根细管,管栓 K 是关闭的.A、B、C 及细管 D、E 中均

盛有水,容器水面的高度差分别为 h1 和 h1 如图所示.A、B、C 的截面半径为 12cm,D 的半径为 0.2cm.甲 向同伴乙说: “我若拧开管栓 K,会有水从细管口喷出. ”乙认为不可能.理由是: “低处的水自动走向高外, 能量从哪儿来?”甲当即拧开 K,果然见到有水喷出,乙哑口无言,但不明白自己的错误所在.甲又进一 步演示.在拧开管栓 K 前,先将喷管 D 的上端加长到足够长,然后拧开 K,管中水面即上升,最后水面静 止于某个高度处. (1).论证拧开 K 后水柱上升的原因. (2).当 D 管上端足够长时,求拧开 K 后 D 中静止水面与 A 中水面的高度差. (3).论证水柱上升所需能量的来源.

(20) (初)三、(20 分)在野外施工中,需要使质量 m=4.20 kg 的铝合金构件升温。除了保温瓶中尚存有温度 t = 90.0℃的 1.200 kg 的热水外, 无其他热源. 试提出一个操作方案, 能利用这些热水使构件从温度 t0=10℃ 升温到 66.0℃以上 (含 66.0℃) 并通过计算验证你的方案. , 已知铝合金的比热容 c=0.880×l03J· (Kg· -1, ℃) 水的比热容 c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1,不计向周围环境散失的热量。

(复)二、 (15 分)U 形管的两支管 A、B 和水平管 C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的,它们的内径与 管长相比都可忽略不计.己知三部分的截面积分别为

SA ? 1.0 ?10?2 cm2 , SB ? 3.0 ?10?2 cm2 ,

SC ? 2.0 ?10?2 cm2,在 C 管中有一段空气柱,两侧被水银封闭.当温度为 t1 ? 27 ℃时,空气柱长为 l =
30 cm(如图所示) 中气柱两侧的水银柱长分别为 ,C 的水银柱高均为 h =12 cm.大气压强保持为

a =2.0cm, b =3.0cm,A、B 两支管都很长,其中

p0 =76 cmHg 不变.不考

虑温度变化时管和水银的热膨胀.试求气柱中空气温度缓慢升高到 97℃时空气的体积.

t=

(21) 一、(20 分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判.对于均匀薄膜材料,在一定温度下,某 种气体通过薄膜渗透过的气体分子数 N

?k

?PSt ,其中 t 为渗透持续时间,S 为薄膜的面积,d 为薄膜的 d

厚度, ?P 为薄膜两侧气体的压强差.k 称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数.透气系数愈小, 材料的气密性能愈好. 图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图.EFGI 为渗透室,U 形管左管上端与渗 透室相通,右管上端封闭;U 形管内横截面积 A=0.150cm2.实验中,首先测得薄膜的厚度 d =0.66mm,再 将薄膜固定于图中 CC? 处,从而把渗透室分为上下两部分,上面部分的容积 V0 相通,大气的压强 P1=1.00atm,此时 U 形管右管中气柱长度 H

? 25.00cm 3 ,下面部分

连同 U 形管左管水面以上部分的总容积为 V1,薄膜能够透气的面积 S =1.00cm2.打开开关 K1、K2 与大气

? 20.00cm ,V1 ? 5.00cm 3 .关闭 K1、 K2 后,打开开关 K3,对渗透室上部分迅速充气至气体压强 P0 ? 2.00atm ,关闭 K3 并开始计时.两小时 ? 后, U 形管左管中的水面高度下降了 ?H ? 2.00cm .实验过程中,始终保持温度为 0 C .求该薄膜材 ? 料在 0 C 时对空气的透气系数. (本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定,在压强差 变化不太大的情况下,可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值 ?P 来代替公式中的 . ?P .普适气体常量 R = 8.31Jmol-1K-1,1.00atm = 1.013×105Pa) E I
P0 V0 K3 C? G

C
F P1 V1 K2

K1

H

(22) 三、(22 分) 如图所示,水平放置的横截面积为 S 的带有活塞的圆筒形绝热容器 中盛有 1mol 的理想气体. 其内能 U C T 器 ? CT , 为已知常量, 为热力学温度. 壁和活塞之间不漏气且存在摩擦,最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为 F.图 中 r 为电阻丝,通电时可对气体缓慢加热.起始时,气体压强与外界大气压强 p0 相等,气体的温度为 T0.现开始对 r 通电,已知当活塞运动时克服摩擦力做功 所产生热量的一半被容器中的气体吸收.若用 Q 表示气体从电阻丝吸收的热量, T 表示气体的温度,试以 T 为纵坐标,Q 为横坐标,画出在 Q 不断增加的过程中 T 和 Q 的关系图线.并在图中用题给的已知量及普适气体常量 R 标出反映图线特征的各量(不要求写出推 导过程) .

r

p0

(23) 三、 (23 分)有一带活塞的气缸,如图 1 所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片, 转轴伸到气缸外,外界可使轴和叶片一起转动,叶片和轴以及气缸壁和活 塞都是绝热的,它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动,而令活塞缓慢移动,则在这种过程中,由实验测得, 气体的压强

p 和体积 V

遵从以下的过程方程式

图1

pV a ? k
其中 a , k 均为常量, 气体做的功为 。可以由上式导出,在此过程中外界对 a >1(其值已知)

W ?

k ? 1 1 ? ? a ?1 ? a ?1 ? a ? 1 ?V 2 V1 ?

式中 V 2 和 V1 ,分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动,而使叶片以角速度 ? 做匀角速转动,已知在这种过程 中,气体的压强的改变量 ?p 和经过的时间 ?t 遵从以 下的关系式 图2

?p a ? 1 ? L ?? ?t V 式中 V 为气体的体积, L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。
上面并没有说气体是理想气体,现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的 知识,求出图 2 中气体原来所处的状态 强

A 与另一已知状态 B 之间的内能之差(结果要用状态 A 、 B 的压

p A 、 p B 和体积 V A 、 V B 及常量 a 表示)

(24)
三、 (20 分)如图所示,一容器左侧装有活门 K 1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔板 M 将容器隔 成 a、b 两室,M 上装有活门 K 2 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定,拔掉 销钉即可在容器内左右平移, 移动时不受摩擦作用且不漏气。 整个容器置于压强为 P0、 温度为 T0 的大气中。 初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置,隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a、b 两室体积都等于 V0; K 1 、

,其 K 2 关闭。此时,b 室真空,a 室装有一定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) 压强为 4P0/5,温度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R。

1.现在打开 K 1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K 1 (假定此过程中处在容器内的气体与处在容器外 的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度。 2.接着打开 K 2 ,待 a、b 两室中气体达到平衡后,关闭 K 2 。拔掉所有销钉,缓慢推动活塞 B 直至到 过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功。已知在推动活塞过程中,气体的压 强 P 与体积 V 之间的关系为 PV
CV ? R CV

=恒量。

(25) 四、 (20 分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图,M 为指针压力表,以 VM 表示其中可以容纳气体的容积;B 为测温饱,处在待测温度的环境中,以 VB 表示其体积;E 为贮气容 器, VE 表示其体积; 为阀门。 E、 由体积可忽略的毛细血管连接。 M、 B 均处在室温 T0=300K 以 F M、 B 在 E、 时充以压强

p0 ? 5.2 ?105 Pa 的氢气。假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题:

1、关闭阀门 F,使 E 与温度计的其他部分隔断,于是 M、B 构成一简易的气体温度计,用它可测量 25K 以上的温度, 这时 B 中的氢气始终处在气态,M 处在室温中。试导出 B 处的温度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。 除题中给出的室温 T0 时 B 中氢气的压强 P0 外, 理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才 能定量确定 T 与 p 之间的关系? 2、开启阀门 F,使 M、E、B 连通,构成一用于测量 20~25K 温度区间的低温的蒸气压温度计,此时压力 表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系,知道了氢的饱和蒸气压与 温度的关系,通过测量氢的饱和蒸气压,就可相当准确地确定这一温区的温度。在设计温度计时,要保证 当 B 处于温度低于 TV

? 25K

时,B 中一定要有液态氢存在,而当温度高于 TV VB 间应满足怎样的关系?已知 TV

? 25K

时,B 中无液态

氢。到达到这一目的, VM

? VE 与

? 25K

时,液态氢的饱和蒸气压

pV ? 3.3 ?105 Pa 。

3、已知室温下压强

p1 ? 1.04 ?105 Pa 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍,试论证蒸气压温度

计中的液态气不会溢出测温泡 B。

(26) 四、 (20 分)火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度 T1、压强 p1 的炽热高压气体在燃烧室内源源不断生 成,并通过管道由狭窄的喷气口排入气压 p2 的环境。假设燃气可视为理想气体,其摩尔质量为 μ,每摩尔 燃气的内能为 u=cVT(cV 是常量,T 为燃气的绝对温度) 。在快速流动过程中,对管道内任意处的两个非常 靠近的横截面间的气体,可以认为它与周围没有热交换,但其内部则达到平衡状态,且有均匀的压强 p、 温度 T 和密度 ρ,它们的数值随着流动而不断变化,并满足绝热方程 适气体常量,求喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。
cV ? R cV

pV

,式中 R 为普 ? C (恒量)

(27) 七、 分)地球上的能量从源头上说来自太阳辐射。 (15 到达地面的太阳辐射(假定不计大气对太阳辐射的吸收) 一部分被地球表面反射到太空,其余部分被地球吸收。被吸收的部分最终转换成为地球热辐射(红外波段的 电磁波)。热辐射在向外传播过程中,其中一部分会被温室气体反射回地面,地球以此方式保持了总能量平 衡。作为一个简单的理想模型,假定地球表面的温度处处相同,且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃-玻尔兹 曼定律:单位面积的辐射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比,即 J 量。已知太阳表面温度 TS

? ? T 4 ,其中 ?

是一个常

? 5.78? 103 K

,太阳半径 RS

? 6.96? 105 km ,地球到太阳的平均距离

d ? 1.50 ?108 km 。假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层,并设它对热辐射能量的反射率
为?

? 0.38 。

1.如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 ? 表面的温度是多少?

? 0.30 ,试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后,地球
? 0.85 ,其余部分的反射率为

2.如果地球表面一部分被冰雪覆盖,覆盖部分对太阳辐射的反射率为 ?1

? 2 ? 0.25 。问冰雪覆盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K 。

(28) 六、 (20 分)图示为圆柱形气缸,气缸壁绝热,气缸的右端有一小孔和大气相通,大气的压强为 p0。用一 热容量可忽略的导热隔板 N 和一绝热活塞 M 将气缸分为 A、B、C 三室,隔板与气缸固连,活塞相对气缸 可以无摩擦地移动但不漏气,气缸的左端 A 室中有一电加热器Ω 。已知在 A、B 室中均盛有 1 摩尔同种理 想气体,电加热器加热前,系统处于平衡状态,A、B 两室中 气体的温度均为 T0,A、B、C 三室的体积均为 V0。现通过 电加热器对 A 室中气体缓慢加热,若提供的总热量为 Q0,试 求 B 室中气体末态体积和 A 室中气体的末态温度。设 A、B 两室中气体 1 摩尔的内能 U=5/2RT。R 为普适恒量,T 为热 力学温度。

答案
(16) 一、参考解答 1 只要有液态水存在,平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之和:

p总0 ? p空0 ? p饱 ? 3.0 atm
第一次膨胀后

(1)

V1 ? 2V0
p总1 ? p空1 ? p饱 ? 2.0 atm
(2)

由于第一次膨胀是等温过程,所以

p空0V0 ? p空1V1 ? 2 p空1V0
解(1)、(2)、(3)三式,得

(3)

p饱 ? 1.0 atm

(4) (5) (6)

p空0 ? 2.0 atm
p空1 ? 1.0 atm
由于

p饱 ? 1.0 atm ,可知汽缸中气体的温度

T0 ? 373 K
根据题意,经两次膨胀,气体温度未改变。 2 设水蒸气为 ? 气和空气分别有


(7)

mol .经第一次膨胀,水全部变成水蒸气,水蒸气的压强仍为 p饱 ,这时对于水蒸

p饱V1 ? ? 水 RT0 p空1V1 ? ? 空 RT0 ? 2RT0
由此二式及(5)(6)式可得 、

(8) (9)

? 水 ? 2 mol
3. 在第二次膨胀过程中,混合气体可按理想气体处理,有

(10)

p总2V2 ? p总1V1
由题意知, V2

(11)

? 4V0 , V1 ? 2V0 ,再将(2)式代入,得
p总2 ? 1.0 atm
(12)

(17)

?一、解:设玻璃管内空气柱的长度为h,大气压强为p0,管内空气的压强为p,水银密度为 ρ,重力加 速度为g,由图 4 知 ?p+(l-h)ρg=p0, ?p=ρgh, ?V=Sh, ?由②、③式,得 ?p=(V/S)ρg, ρg(V /S)=nRT,
2



?根据题给的数据,可知p0=lρg,得 ② ③ ④ ⑤ ?若玻璃管的横截面积为 S,则管内空气的体积为

?即管内空气的压强与其体积成正比,由克拉珀龙方程pV=nRT,得 由⑤式可知,随着温度降低,管内空气的体积变小,根据④式可知管内空气的压强也变小,压强随体积的 变化关系为p-V图上过原点的直线,如图 5 所示.在管内气体的温度由T1降到T2的过程中,气体的体 积由V1变到V2,体积缩小,外界对气体做正功,功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示,即有

图4 ⑥ ?管内空气内能的变化为 ? ΔU=nCV(T2-T1) , ?Q=ΔU-W, 由⑤、⑥、⑦、⑧式代入得 Q=n(T2-T1) V+(1/2)R) (C , ?代入有关数据得 ?Q=-0.247J, Q<0,表示管内空气放出热量,故空气放出的热量为 ?Q′=-Q=0.247J. (18) 二、参考解答 1.已知在海平面处,大气压强 压强为 (10)? ⑧ ⑦

图5
2 2

?W=(1/2)ρg( V1/S)+(V2/S) (V1-V2)=ρg(V1 -V2 )/2S, ( )

设Q为外界传给气体的热量,则由热力学第一定律W+Q=ΔU,有



p(0) ? 101.3 ?103 Pa .如图复解 18-2-1,在 z ? 5000 m 处,大气
(1)

p(5000) ? 53 ? 103 Pa 。

此处水沸腾时的饱和蒸气压 pw 应等于此值.由图复解 18-2-2 可知,对应的温度即沸点为 t1 ? 82 ?C (2) 达到此温度时锅内水开始沸腾,温度不再升高,故在 5000m高山上,若不加盖压力锅,锅内温度最高可达 82℃. 2.由图复解 18-2-2 可知,在 t 处,大气压强

? 120 ℃时,水的饱和蒸气压 pw (120?) ? 198 ?103 Pa ,而在海平面

p(0) ? 101?103 Pa .可见压力阀的附加压强为 pS ? pw (120?) ? p(0)
? 198 ? 103 ? 101.3 ? 103

? 96.7 ? 103 Pa
在 5000m高山上,大气压强与压力阀的附加压强之和为

(3)

p? ? pS ? p(5000) ? 96.7 ? 103 ? 53 ? 103 ? 149.7 ? 103 Pa
若在 t

(4)

? t2 时阀被顶起,则此时的 pw 应等于 p ? ,即 pw ? p ?
t2 ? 112 ℃

(5) (6)

由图复解 18-2-2 可知 此时锅内水开始沸腾,温度不再升高,故按正确方法使用此压力锅,在 5000m高山上锅内水的温度最高可 达 112℃. (19) 一、参考解答 实践证明,甲的设计是正确的,所以乙的结论肯定是错的。 (1)设大气压为 p0 ,水的密度为 ? 。拧开 K 前的情况如图复解19-l的(a)图所示。由流 体静力学可知, B 、 C 中气体的压强为

pB ? pC ? p0 ? ? g (h1 ? h2 )

(1)

K D A E B

H A h1

K

D 中气体的压强为
pD ? pB ? ? gh1
由(1)、(2)两式可得 (2)

B h2

pD ? p0 ? ? gh2
即 pD

F C
(a) (3) 图复解 19-1

C
(b)

? p0 ,当拧开 K 后, D 中气体压强降至 p0 ,此时

pB ? p0 ? ? gh1

即 D 管中容器 B 水面以上的那一段水柱所受合力向上,所以 D 管中水柱上升。 (2)拧开 K 后,水柱上升,因 D 管上端已足够长,故水不会从管口喷出.设到 D 中的水面静止时 D 中增加水量的体积为 ?V ,则 B 中减少水量的体积亦为 ?V ,其水面将略有降低,因而 B 及 C 中气体压

A 中的水将通过 E 管流入 C 中,当从 A 流入水量的体积等于 ?V 时, B 、 C 中气体压强 恢复原值。因为 A 、 B 、 C 的半径为 D 管半径的 60 倍,截面积比为 3600 倍,故 A 、 B 、 C 中少量水
强路有下降, 的增减( ??V )引起的

A 、 B 、 C 中水面高度的变化可忽略不计,即 h1 和 h2 的数值保持不变。 A 中水面的高度差为 H ,(见图复解19-1(b)),则有
(4) (5)

设 D 中水面静止时与

p0 ? ? g (h1 ? h2 ) ? p0 ? ? g ( H ? h1 )
由此可得

H ? h2

(3) 将图复解

19-l (a) 和(b)两图相比较可知, 其差别在于体积为 ?V 的水从 A 移至 C 中, ?V 另

的水又由 B 移入 D 中,前者重力势能减少,而后者重力势能增大,前者的重力势能减少量为

?E1 ? ? g ?V (h1 ? h2 )

(6)

D 中增加的水柱的重心离 A 中水面的高度为 h2 / 2 ,故后者的重力势能增量为
1 ?E2 ? ? g ?V (h1 ? h2 ) 2
即 ?E1 (7)

? ?E2 。

A 流入 C 中减少的势能的一部分转化为同体积的水由 B 进入 D 中所需 的势能,其余部分则转化为水柱的动能,故发生上下振动, D 中水面静止处为平衡点.由于水与管间有摩
擦等原因,动能逐步消耗,最后水面停留在距 (20) 二、参考解答 在温度为 T1 ? (27 ? 273)K=300K 时,气柱中的空气的压强和体积分别为

由此可知,体积为 ?V 的水由

A 中水面 h2 处。

p1 ? p0 ? h , V1 ? lSC

(1) (2)

当气柱中空气的温度升高时,气柱两侧的水银将被缓慢压入 A 管和 B 管。设温度升高到 T2 时,气柱 右侧水银刚好全部压到 B 管中,使管中水银高度增大

?h ?

bSC SB

(3)

由此造成气柱中空气体积的增大量为

?V ? ? bSC

(4)

与此同时,气柱左侧的水银也有一部分进入 A 管,进入 A 管的水银使 A 管中的水银高度也应增大 ?h ,使 两支管的压强平衡,由此造成气柱空气体积增大量为

?V ?? ? ?hSA
所以,当温度为 T2 时空气的体积和压强分别为

(5)

V2 ? V1 ? ?V ? ? ?V ??
p2 ? p1 ? ?h
由状态方程知

(6) (7)

p1V1 p2V2 ? T1 T2
由以上各式,代入数据可得

(8)

T2 ? 347.7 K
此值小于题给的最终温度 T 化。当温度到达 T 时,气柱体积为

(9)

? 273 ? t ? 370 K,所以温度将继续升高。从这时起,气柱中的空气作等压变

V?
代入数据可得

T V2 T2

(10)

V ? 0.72 cm3
评分标准:本题 15 分。 求得式(6)给 6 分,式(7)1 分,式(9)2 分,式(10)5 分,式(11)1 分。 (21) 一、开始时 U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA P2= P1 经过 2 小时,U 形管右管中空气的体积和压强分别为 (1)

(11)

V2? ? ( H ? ?H ) A

(2)

P2? ?

P2V2 V2?

(3)

渗透室下部连同 U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为

V1? ? V1 ? ?HA P? ? P2? ? 2 ?gΔH 1
式中??为水的密度,g 为重力加速度.由理想气体状态方程 PV 的空气的摩尔数

(4) (5)

? nRT 可知,经过 2 小时,薄膜下部增加

?n ?
在 2 个小时内,通过薄膜渗透过去的分子数

P1? 1? P1V1 V ? RT RT

(6)

N ? ?nN A
式中 NA 为阿伏伽德罗常量. 渗透室上部空气的摩尔数减少,压强下降.下降了?P

(7)

?P ?
经过 2 小时渗透室上部分中空气的压强为

ΔnRT V0

(8)

P0? ? P0 ? ?P
测试过程的平均压强差

(9)

?P ?

1 ?( P0 ? P1 ) ? (P0? ? P1?)? 2
? 2.4 ? 1011 Pa ?1 m ?1s ?1

(10)

根据定义,由以上各式和有关数据,可求得该薄膜材料在 0℃时对空气的透气系数

k?
评分标准:

Nd ?PtS

(11)

本题 20 分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各 1 分,(6)式 3 分,(7)、(8)、(9)、(10) 式各 2 分,(11) 式 4 分. (22) 三、答案如图所示.

T
T1 ?

? p0 S ? F ?
p0 S

T0

d

b

?2
tan?2=

2? p 0 S ? F ? 2Cp0 S ? 2CF ? 2 Rp 0 S ? FR

?1
T0 a

tan?1 ?

1 C
CFT0 p0 S

Q1 ?

Q

附计算过程: 电阻通电后对气体缓慢加热,气体的温度升高,压强增大,活塞开始有向外运动的趋势,但在气体对

活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前,活塞不动,即该过 程为等容过程.因气体对外不做功,根据热力学第一定律可知,在气体温度从 T0 升高到 T 的过程中,气体 从电阻丝吸收的热量,

Q ? C ?T ? T0 ?

(1)

此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之 和.若用 T1 表示此过程达到末态的温度,p 表示末态的压强,Q1 表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量, 由等容过程方程有

p T1 ? p 0 T0

(2)

由力的平衡可知

pS ? p0 S ? F

(3)

由(2)(3)两式可得 、

T1 ?

? p0 S ? F ?T0
p0 S

(4)

代入(1)式得

Q1 ?

CFT0 p0 S

(5)

由以上讨论可知,当 Q ? Q1 时,T 与 Q 的关系为

T?

Q ? T0 C

(6)

在T

~ Q 图中为一直线如图中 ab 所示,其斜率

K ab ?

1 C

(7)

直线在 T 轴上的截距等于 T0,直线 ab 的终点 b 的坐标为(T1,Q1) .

当电阻丝继续加热,活塞开始向外运动以后,因为过程是缓慢的,外界大气压及摩擦力皆不变,所以 气体的压强不变,仍是 p,气体经历的过程为等压过程.在气体的体积从初始体积 V0 增大到 V,温度由 T1 升高到 T 的过程中,设气体从电阻丝吸收的热量为 Q ? ,活塞运动过程中与器壁摩擦生热的一半热量为 q, 由热力学第一定律可知

Q? ? q ? C ?T ? T1 ? ? p?V ? V0 ?

(8)

q 可由摩擦力做功求得,即

q?

1 ? V ? V0 ? F? ? 2 ? S ?

(9)

代入(8)式得

Q? ?

F ?V ? V0 ? ? C ?T ? T1 ? ? p?V ? V0 ? 2S

(10)

由状态方程式可知

p?V ? V0 ? ? R?T ? T1 ?

(11)

将(11)式和(4)式代入(10)式,得

? ? FR ??T ? T1 ? Q? ? ? C ? R ? ? 2? p 0 S ? F ? ? ? ?


T?

2? p0 S ? F ? Q ? ? T1 2Cp0 S ? 2CF ? 2 Rp 0 S ? FR

(12)

从开始对气体加热到气体温度升高到 T( >T1)的过程中,气体从电阻丝吸收的总热量

Q ? Q1 ? Q ?

(13)

把(13)式代入到(12)式,并注意到(4)式和(5) ,得

T?

? 2? p 0 S ? F ? CFT0 ?Q ? ? 2Cp0 S ? 2CF ? 2 Rp 0 S ? FR ? p0 S

? ? p 0 S ? F ?T0 ?? ? p0 S ?

? CFT0 ? Q ? Q1 ? ? p0 S ?

? ? ? ?

(14)

由此可知,当 Q ? Q1

?

CFT0 CFT0 时,T 与 Q 的关系仍为一直线,此直线起点的坐标为 Q ? Q1 ? , p0 S p0 S

T ? T1 ;斜率为
2? p 0 S ? F ? 2Cp0 S ? 2CF ? 2 Rp 0 S ? FR

(15)

在T

~ Q 图中,就是直线 bd,当热量 Q 从零开始逐渐增大,气体温度 T 将从起始温度 T0 沿着斜率为 Kab

的直线 ab 上升到温度为 T1 的 b 点,然后沿着斜率为 Kbd 的直线 bd 上升,如图所示.

(23) 三、参考解答: 由

p

pV ? ? k , ? ? 1

(1)

B
可知,当 V 增大时,p 将随之减小(当 V 减小时,p 将随之增大) , 在

p ? V 图上所对应的曲线(过状态 A)大致如图所示.在曲线上

A

取体积与状态 B 的体积相同的状态 C. 现在设想气体从状态 A 出发,保持叶片不动,而令活塞缓慢地 向右移动,使气体膨胀,由状态 A 到达状态 C,在此过程中,外界 对气体做功

C 0 V

W?

k ? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 1 ?VC VA ?

(2)

用 UA、UC 分别表示气体处于状态 A、C 时的内能,因为是绝热过程,所以内能的增量等于外界对气体做的功, 即

UC ? U A ?

k ? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 1 ?VC VA ?

(3)

再设想气体处于状态 C 时,保持其体积不变,即保持活塞不动,令叶片以角速度??

做匀速转动,这

样叶片就要克服气体阻力而做功,因为缸壁及活塞都是绝热的,题设缸内其它物体热容量不计,活塞又不 动(即活塞不做功) ,所以此功完全用来增加气体的内能.因为气体体积不变,所以它的温度和压强都会升 高,最后令它到达状态 B.在这过程中叶片转动的时间用? t 表示,则在气体的状态从 C 到 B 的过程中, 叶片克服气体阻力做功

W ? ? L??t

(4)

令 UB 表示气体处于状态 B 时的内能,由热力学第一定律得

U B ? U C ? L??t
由题知

(5)

?p ? ? 1 ? L ?? ?t V
由(4)(5)(6)式得 、 、

(6)

U B ? UC ?

VB ? pB ? pC ? ? ?1

(7)

(7)式加(3)式,得

UB ?U A ?

VB k ? 1 1 ? ? pB ? pC ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? 1 ?VC VA ?

(8)

利用

pV ? ? k 和 VC ? VB 得

UB ?U A ?
评分标准: 本题 23 分. (24) 三、参考解答:

1 ? pBVB ? pAVA ? ?1

?

(9)

1.设 a 室中原有气体为?

mol ,打开 K1 后,有一部分空气进入 a 室,直到 K1 关闭时,a 室中气体增

加到? ? mol ,设 a 室中增加的 ?? ? ? ? ? mol 气体在进入容器前的体积为 ?V ,气体进入 a 室的过程中, 大气对这部分气体所作的功为

A ? p0 ?V ?U ? ? ?CV ?T ?T0 ?
由热力学第一定律可知 (2) (3)

(1)

用 T 表示 K1 关闭后 a 室中气体达到平衡时的温度,则 a 室中气体内能增加量为

?U ? A

由理想气体状态方程,有

4 p0V0 ? ? RT0 (4) p0 ?V ? ?? ? ?? ? RT0 (5) p0V0 ? ? ?RT 5
由以上各式解出

(6)

T?

5 ? CV ? R ? 5CV ? 4 R

T0

(7)

2.K2 打开后,a 室中的气体向 b 室自由膨胀,因系统绝热又无外界做功,气体内能不变,所以温度 不变(仍为 T ) ,而体积增大为原来的 2 倍.由状态方程知,气体压强变为

p?

1 p0 2

(8)

关闭 K2,两室中的气体状态相同,即

1 pa ? pb ? p , Ta ? Tb ? T , Va ? Vb ? V0 ,且? a ? ? b ? ? ? 2
? ? pa 、 pb 、 Va? 、 Vb? 、 Ta? 、 Tb? ,则有

(9)

拔掉销钉后,缓慢推动活塞 B,压缩气体的过程为绝热过程,达到最终状态时,设两室气体的压强、体积 和温度分别为
CV ? R CV

paVa

? ? paVa?

CV ? R CV

(10)

pbVb

CV ? R CV

? ? pbVb?

CV ? R CV

(11)

由于隔板与容器内壁无摩擦,故有 由理想气体状态方程,则有 因

? ? pa ? pb

(12) (13)

? paVa? ? ? a RTa?

? pb Vb?? ? b R T? b

(14)

Va? ? V? ? V0 b

(15)

由(8)~(15)式可得

1 Va? ? Vb? ? V0 2

R

(16)

Ta? ? Tb? ? 2CV T

(17)

在推动活塞压缩气体这一绝热过程中,隔板对 a 室气体作的功 W 等于 a 室中气体内能的增加,即

1 W ? ? ?CV ?Ta? ? T ? 2

(18)

R ? CV ? CV 由(6)(17)和(18)式得 W ? 、 ? 2 ? 1? p0V0 ? 2R ? ? ?

(19)

(25) 四、参考解答: 1. 当阀门F关闭时,设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1,当B处的温度为T 时,压力表显示的压强 为 p,由理想气体状态方程,可知B和M中氢气的摩尔数分别为

n1B ?

pVB RT

(1)

n1M ?

pVM RT0

(2)

式中R为普适气体恒量.因

n1B ? n1M ? n1
解(1)、(2)、(3)式得

(3)

1 n1R 1 VM ? ? T VB p VBT0


(4)

T?

p n1R V M ? p VB VBT0

(5)

(4)式表明,

1 T
1 p



1 p

成线性关系,式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压

强,作

1 T



的图线,就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0,故至少还要测定另一己知温度

下的压强,才能定量确定T与p之间的关系式. 2. 若蒸气压温度计测量上限温度 Tv 时有氢气液化,则当B处的温度 T

? Tv 时,B、M

和E中气态氢的

总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数

n2 ?

p0 ?VB ? VM ? VE ? RT0

(6)

假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体,则B中气态氢的摩尔数为

n2B ?

p vVB RTv

(7)

在(7)式中,已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中,其中氢 气的摩尔数为

n2M ? n2E ?
根据要求有

pν ?VM ? VE ? RT0

(8)

n2B ? n2M ? n2E ? n2
解(6)、(7)、(8)、(9)各式得

(9)

VM ? VE ?
代入有关数据得

p vT0 ? p 0Tv V ? p0 ? p v ?Tv B

(10)

VM ? VE ? 18VB

(11)

(26) 四、参考解答: 于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面 A1 与 A 2 ,它 们的面积分别为 S 1 和 S 2 ,由题意, S1
?V1 p1 A1 B1 p2 A2 B2 ?V2

?? S 2 ,以其

间管道内的气体为研究对象,如图所示.设经过很短时间 ?t ,这部分气体流至截面 B1 与 B 2 之间,A1B1 间、 A 2 B2 间的微小体积分别为 ?V1 、 ? V2 ,两处气体密度为 ?1 、 ? 2 ,流速为 v 1 、 v 2 .气流达到稳 恒时,内部一切物理量分布只依赖于位置,与时间无关.由此可知,尽管 B1A 2 间气体更换,但总的质量 与能量不变. 先按绝热近似求喷气口的气体温度 T2 .质量守恒给出

?1?V1 ? ?2 ?V2 ,

(1)

即 A 2 B2 气体可视为由 A1B1 气体绝热移动所得.事实上,因气流稳恒, A1B1 气体流出喷口时将再现

A 2 B2 气体状态.对质量 ?m ? ?1?V1 ? ?2 ?V2 的气体,利用理想气体的状态方程

p?V ?
和绝热过程方程

?m

?

RT

(2)

p1 ? ?V1 ?
可得

cV ? R cV

? p2 ? ?V2 ?
R

cV ? R cV



(3)

? p ? cV ? R T2 ? ? 2 ? T1 . ? p1 ?
再通过能量守恒求气体的喷射速率 v 2 .由(1)式及 ?V

(4)

? Sv ?t ,可得
(5)

?1 S1 v1 ? ? 2 S 2 v 2 ,

?2 S2 S ? p ?c 再利用(1)、(3)式,知 v1 ? v2 ? 2 ? 2 ? ? 1 S1 S1 ? p1 ? ? ?

V

cV ?R

v 2 ,因 S 2 ?? S1 , p2 ?? p1 ,故
(6)

v 1 ?? v 2 .

整个体系经 ?t 时间的总能量 (包括宏观流动机械能与微观热运动内能) 增量 ?E 为 A 2 B2 部分与 A1B1 部 分的能量差.由于重力势能变化可忽略,在理想气体近似下并考虑到(6)式,有

?E ?
体系移动过程中,外界做的总功为

1 ?m 2 ?mv 2 ? cV ?T2 ? T1 ? . 2 ?

(7)

W ? p1?V1 ? p2?V2 .
根据能量守恒定律,绝热过程满足

(8)

?E ? W ,

R ? ? 2?cV ? R ?T1 ? ? p 2 ? cV ? R ? 1? ? ? ? ? p1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(9)

v2 ?
其中利用了(2)、(4)两式. 评分标准:本题 20 分.



(10)

(2)式 1 分,(3)式 2 分,(4)式 3 分,(6)式 1 分,(7)式 6 分,(8)式 4 分,(9)式 1 分,(10)式 2 分. (27) 七、参考解答:1.根据题意,太阳辐射的总功率 P S 地球半径为
2 ? 4πRS ? TS4 .太阳辐射各向同性地向外传播.设

rE

,可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的,故地球接收太阳辐射的总功率为
2

?R ? PI ? ? T ? S ? πrE2 ? d ?
4 S

(1)

地 球 表 面 反 射 太 阳 辐 射 的 总 功 率 为 ? P . 设 地 球 表 面 的 温 度 为 TE , 则 地 球 的 热 辐 射 总 功 率 为 I

PE ? 4πrE2? TE4

(2)

考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射,则输入地球表面的总功率为 P I 入的能量与输出的能量相等,有 P I

? ? PE .当达到热平衡时,输

? ? PE ? ? PI ? PE
1/ 4

(3)

2 ?1?? ? 由以上各式得 TE ? TS ? ? 2 ?1? ? ?

? RS ? ? d ? ? ?

1/ 2

(4)代入数值,有 TE

? 287K

(5)

2.当地球表面一部分被冰雪覆盖后,以 ? ? 表示地球表面对太阳辐射的平均反射率,根据题意这时地球表 面的平均温度为 TE

? 273K .利用(4)式,可求得 ? ? ? 0.43 (6)

设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为 x,则 ? ? ? ?1 x ? ? 2 (1 ? x) (7) 由(6)(7)两式并代入数据得 x 、

? 30% (8)

评分标准:本题 15 分.第 1 小问 11 分. (1)式 3 分, (2)式 1 分, (3)式 4 分, (4)式 2 分, (5)式 1 分.第 2 小问 4 分. (6)式 2 分, (8)式 2 分.

(28)六、参考解答: 在电加热器对 A 室中气体加热的过程中,由于隔板 N 是导热的,B 室中气体的温度要升高,活塞 M 将 向右移动.当加热停止时,活塞 M 有可能刚移到气缸最右端,亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞 已移到气缸最右端但加热过程尚未停止. 1. 设加热恰好能使活塞 M 移到气缸的最右端,则 B 室气体末态的体积

VB ? 2V0

(1)

根据题意,活塞 M 向右移动过程中,B 中气体压强不变,用 TB 表示 B 室中气体末态的温度,有

V0 VB ? T0 TB
由(1)、(2)式得

(2)

TB ? 2T0
由于隔板 N 是导热的,故 A 室中气体末态的温度

(3)

TA ? 2T0
下面计算此过程中的热量 Qm .

(4)

在加热过程中,A 室中气体经历的是等容过程,根据热力学第一定律,气体吸收的热量等于其内能的 增加量,即

QA ?
由(4)、(5)两式得

5 R(TA ? T0 ) 2
5 RT0 2

(5)

QA ?

(6)

B 室中气体经历的是等压过程,在过程中 B 室气体对外做功为

WB ? p0 (VB ? V0 )
由(1)、(7)式及理想气体状态方程得

(7)

WB ? RT0
内能改变为

(8)

?U B ?
由(4)、(9)两式得

5 R(TB ? T0 ) 2 5 RT0 2 7 RT0 2

(9)

?U B ?

(10)

根据热力学第一定律和(8)、(10)两式, B 室气体吸收的热量为

QB ? ?U B ? WB ?
由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为

(11)

Qm ? QA ? QB ? 6 RT0
若 Q0

(12)

? Qm , B 室中气体末态体积为 2V0 , A 室中气体的末态温度 2T0 . ? Qm ,则当加热器供应的热量达到 Qm 时,活塞刚好到达气缸最右端,但这时加热尚未停 ? Qm 是 A 、 B 中气体在等容升温过程中

2.若 Q0

止,只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变,故热量 Q0

? 吸收的热量.由于等容过程中气体不做功,根据热力学第一定律,若 A 室中气体末态的温度为 TA ,有

Q0 ? Qm ?
由(12)、(13)两式可求得

5 5 ? ? R(TA ? 2T0 ) ? R(TA ? 2T0 ) 2 2 ? TA ? Q0 4 ? T0 5R 5

(13)

(14)

B 中气体的末态的体积

? VB = 2V0
3. 若 Q0

(15)

? Qm ,则隔板尚未移到气缸最右端,加热停止,故

?? B 室中气体末态的体积 VB 小于 2V0 ,

?? 即 VB ?

?? 2V0 .设 A、B 两室中气体末态的温度为 TA ,根据热力学第一定律,注意到 A 室中气体经历的是

等容过程,其吸收的热量

QA ?
B 室中气体经历的是等压过程,吸收热量

5 ?? R(TA ? T0 ) 2

(16)

QB ?
利用理想气体状态方程,上式变为

5 ?? ?? R(TA ? T0 ) ? p0 (VB ? V0 ) 2

(17)

QB ?
由上可知

7 ?? R ?TA ? T0 ? 2

(18)

?? Q0 ? QA ? QB ? 6 R(TA ? T0 )
所以 A 室中气体的末态温度

(19)

?? TA ?
B 室中气体的末态体积

Q0 ? T0 6R

(20)

?? VB ?
评分标准: 本题 20 分. 得到 Q0

V0 Q ?? TA ? ( 0 ? 1)V0 T0 6 RT0

(21)

? Qm 的条件下(1)(4)式各 1 分; 、 (12)式 6 分,得到 Q0 ? Qm 的条件下的(14)式 4 ? Qm 的条件下的(20)式 4 分, (21)式 2 分.

分, (15)式 2 分;得到 Q0 (29)六、参 考 解 答 :

设重新关闭阀门后容器 A 中气体的摩尔数为 总摩尔数为

n1 , B

中气体的摩尔数为

n2 , 则 气 体

n ? n1 ? n2
把两容器中的气体作为整体考虑,设重新关闭阀门后容器 A 中气体温度为 中气体温度为

( 1)

T1? , B

T2 ,重 新 关 闭 阀 门 之 后 与 打 开 阀 门 之 前 气 体 内 能 的 变 化 可 表 示 为
?U ? n1C ?T1? ? T1 ? ? n2C ?T2 ? T1 ?
( 2)

由于容器是刚性绝热的,按热力学第一定律有

?U ? 0


( 3)

V1 表 示 容 器

A 的体积, 初始时 A 中气体的压强为

p1 , 关闭阀门后 A 中气体压强为 ? p1 ,

由理想气体状态方程可知

n?

p1V1 RT1

( 4)

n1 ?
由以上各式可解得

(? p1 )V1 RT1?

( 5)

T2 ?

?1 ? ? ? T1T1?
T1? ? ? T1

由于进入容器 B 中的气体与仍留在容器 A 中的气体之间没有热量交换,因而在阀 门打开到重新关闭的过程中留在容器 A 中的那部分气体经历了一个绝热过程, 这部分 设 气体初始时体积为

V10 ( 压 强 为 p1 时), 则 有

p1V10 C ? (? p1 )V1
利用状态方程可得

C?R

C?R C

(6 )

p1V 1 0 (? p1 )V1 ? T1 T1?

( 7)

由 ( 1) 至 ( 7) 式 得 , 阀 门 重 新 关 闭 后 容 器 B 中 气 体 质 量 与 气 体 总 质 量 之 比

n2 2 ? ? ?? ? R n C?R 2 ?? ??

R C?R

C C?R

( 8)

评分标准: 本题 15 分. (1)式 1 分, (2)式 3 分, (3)式 2 分, 、 (4)(5)式各 1 分, (6)式 3 分, (7)式 1 分, (8)式 3 分.



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