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空间几何体的表面积与体积


空间几何体的表面积与体积
一、选择题 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. 3B.4 C.4 3D.16 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 3 D. 2倍 ). ). ).

3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为(

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图) A. 142 284 280 140 B. C. D. 3 3 3 3 )

4.某几何体的三视图如下,则它的体积是(

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 D. 2π 3 )

5.已知某几何体的三视图如图,其中主视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为(

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)
-1-

3 A.24- π 2 C.24-π

π B. 24- 3 π D.24- 2 )

6.某品牌香水瓶的三视图如图 (单位:cm),则该几何体的表面积为(

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图) π? π? 2 ? ? 2 A.?95- ? cm B.?94- ? cm 2? 2? ? ? π? π? 2 ? ? 2 C.?94+ ? cm D.?95+ ? cm 2? 2? ? ?

7.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥

S-ABC 的体积为(

).

A.3 3B.2 3 C. 3 D.1 二、填空题 8.三棱锥 PABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 PABC 的体积等于________. 9.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这 个球的体积之比为________. 10.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正 三角形组成,则该多面体的体积是________.

11.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱

-2-

的侧面积之差是________.

12.如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发,沿 着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.

三、解答题 13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示,墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH,下 半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的主视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的左视图; (2)求该安全标识墩的体积.

14 .一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为 1 的平行四边形, 左视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的 矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)

-3-

15.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

16.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值; (2)当四面体的体积最大时,求其表面积.

空间几何体的表面积与体积
-4-

一、选择题 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. 3B.4 C.4 3D.16 1 3 解析 每个面的面积为: ×2×2× = 3.∴正四面体的表面积为:4 3. 2 2 答案 C 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 3 D. 2倍 ). ).

4 3 解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍, 则体积 V= π R , 知体积扩大到原来的 2 2倍. 3 答案 B 3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为( ).

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图) A. 142 284 280 140 B. C. D. 3 3 3 3

解析 根据三视图的知识及特点,可画出多面体 的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积

? ? V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×? ×2×2?×2=
1 1 3 ?2

?

284 . 3

答案 B 4.某几何体的三视图如下,则它的体积是( )

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)

-5-

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 D. 2π 3

解析由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半径为 1, 高为 2 的圆 1 2π 3 锥,所以 V=2 - ×π ×2=8- . 3 3 答案 A 5.已知某几何体的三视图如图,其中主视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为( )

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)

3 A.24- π 2 C.24-π

π B. 24- 3 π D.24- 2

解析 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱, 其中长方体的棱长分别为: 2,3,4, 1 3π 2 半圆柱的底面半径为 1,母线长为 3,故其体积 V=2×3×4- ×π ×1 ×3=24- . 2 2 答案 A 6.某品牌香水瓶的三视图如图 (单位:cm),则该几何体的表面积为( )

(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图) π? π? 2 ? ? 2 A.?95- ? cm B.?94- ? cm 2? 2? ? ? π π ? ? 2 ? ? 2 C.?94+ ? cm D.?95+ ? cm 2? 2? ? ?

-6-

解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱.上面四 π π 1 棱柱的表面积为 2×3×3+12×1- =30- ;中间部分的表面积为 2π × ×1=π ,下面 4 4 2 π π π 部分的表面积为 2×4×4+16×2- =64- .故其表面积是 94+ . 4 4 2 答案 C 7.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥

S-ABC 的体积为(

).

A.3 3B.2 3 C. 3 D.1 解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上,作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D,设 SD =x,则 DC=4-x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD,在△SAD 和△SBD 中, 由已知条件可得 AD=BD= 3 x,又因为 SC 为直径,所以∠SBC=∠SAC=90°,所以∠DCB= 3 3 x= 3(4-x), 所以 x=3, AD=BD= 3, 3

∠DCA=60°, 在△BDC 中 , BD= 3(4-x), 所以

1 所以三角形 ABD 为正三角形,所以 V= S△ABD×4= 3. 3 答案 C 二、填空题 8.三棱锥 PABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 PABC 的体积等于________. 1 1 3 2 解析 依题意有,三棱锥 PABC 的体积 V= S△ABC·|PA|= × ×2 ×3= 3. 3 3 4 答案 3

9.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这 个球的体积之比为________. 解析设圆柱的底面半径是 r,则该圆柱的母线长是 2r,圆柱的侧面积是 2π r·2r=4π r ,设 球的半径是 R,则球的表面积是 4π R ,根据已知 4π R =4π r ,所以 R=r.所以圆柱的体积是 4 2π r 3 π r ·2r=2π r ,球的体积是 π r ,所以圆柱的体积和球的体积的比是 =3∶2. 3 4 3 πr 3
2 3 3 2 2 2 2

答案 3∶2 10.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正 三角形组成,则该多面体的体积是________.

-7-

解析 由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高为 中心即为高,可求得高为 2 6 2 1 2 2 ,所以体积 V= ×1×1× = . 2 3 2 6

3 ,连接顶点和底面 2

答案

11.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱 的侧面积之差是________.

解析 由球的半径为 R,可知球的表面积为 4π R .设内接圆柱底面半径为 r,高为 2h,则 h +r =R .而圆柱的侧面积为 2π r·2h=4π rh≤4π
2 2 2

2

2

r2+h2
2

=2π R (当且仅当 r=h 时等号成立),
2

2

即内接圆柱的侧面积最大值为 2π R ,此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2π R . 答案 2π R
2

12.如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发,沿 着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.

解析

根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所
2 2

示的实线部分,则可知所求最短路线的长为 5 +12 =13 (cm).

答案 13 三、解答题

-8-

13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示,墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH,下 半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的主视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的左视图; (2)求该安全标识墩的体积. 解析 (1)左视图同主视图,如图所示: (2)该安全标识墩的体积为

V=VPEFGH+VABCDEFGH
1 2 2 = ×40 ×60+40 ×20 3 =64 000(cm ). 14 .一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为 1 的平行四边形, 左视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的 矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图) 解析 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为 1 的正方形, 高为 3, 所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中, A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面 BCC1B1, 所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3. 15.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.
3

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

-9-

解析 由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥, 其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相 对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、 右侧面均为底边长为 6,高为 h2 的等腰三角形,如右图所示. 1 1 (1)几何体的体积为:V= ·S 矩形·h= ×6×8×4=64. 3 3 (2)正侧面及相对侧面底边上的高为: h1= 4 +3 =5.左、 右侧面的底边上的高为: h2= 4 +4 =4 2. 故几何体的侧面面积为:
2 2 2 2

? ? S=2×? ×8×5+ ×6×4 2?=40+24 2.
1

?2

1 2

?

16.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值; (2)当四面体的体积最大时,求其表面积. 解析 (1)如图,在四面体 ABCD 中,设 AB=BC=

CD=AC=BD=a,AD=x,取 AD 的中点为 P, BC 的中点为 E,连接 BP、EP、CP.得到 AD⊥平面 BPC,
∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC 1 1 = ·S△BPC·AP+ S△BPC·PD 3 3 1 = ·S△BPC·AD 3 1 1 = · ·a 3 2 =

x2 a2 a2- - ·x
4 4
2 2 2

a
12

?3a -x ?x
2

a 3a 1 3 6 ≤ · = a (当且仅当 x= a 时取等号). 12 2 8 2
1 3 ∴该四面体的体积的最大值为 a . 8 (2)由(1)知, △ABC 和△BCD 都是边长为 a 的正三角形, △ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形, 其腰长为 a,底边长为 6 a, 2

∴S 表=2×

3 2 1 6 a +2× × a× 4 2 2

a2-?

? 6 ?2 a? ?4 ?

- 10 -



3 2 6 10a 3 2 15a a + a× = a+ 2 2 4 2 4 2 3+ 15 2 a. 4

2



- 11 -


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