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2010年全国高考文科数学试题及答案-新课标1


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ? x n 的标准差
1

(5)中心在远点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为 (A) 6
6 2

(B) 5
5 2

(C) 锥体体积公式

/>
(D)

? (6) 如图, 质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 p 0( 2 , 2 ) ,

s ?

?( x ? x )2 ? ( x ? x )2 ? ? ? ( x ? x )2 ? 1 2 n ? n ?

V

?

1 3

sh

角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式
S ? 4? R , V ?
2

3 4

?R

3

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x | (A) (0,2) (B)[0,2]
x ? 4, x ? Z | ,则 A ? B ?

(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 24 ? a2

(C)|0,2|

(D)|0,1,2|

(2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的余弦值等于 (A)
8 65

(8)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于 (A) (B)
5 4 4 5 6 5 5 6

(B) ?
3?i (1 ? 3i )
2

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

(3)已知复数 z ?
1 4
2

,则 i = (C)
1 2

(A)

(B)

(C)1

(D)2

(D)

(4)曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 (B) y ? ? x ? 1 (D) y ? ? 2 x ? 2

(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 ? x f ? x ? 2 ? ? 0 ? = (A) ? x x ? ? 2 或 x ? 4 ? (B) ? x x ? 0 或 x ? 4 ?

-1-

(C) ? x x ? 0 或 x ? 6 ? (D) ? x x ? ? 2 或 x ? 2 ? (10)若 sin a = 7 2

(16)在 ? A B C 中,D 为 BC 边上一点, B C ? 3 B D , A D ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
?
4

2 , ? A D B ? 1 3 5 .若 A C ?

?

2 A B ,则 BD=_____

4 5

,a 是第一象限的角,则 sin ( a ?
7 2 2 10

(17) (本小题满分 12 分)
)=

设等差数列 ? a n ? 满足 a 3 ? 5 , a1 0 ? ? 9 。 (D)
2 10

(A)-

(B)

(C) -

10

10

(Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ? a n ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? A B C D 的底面为等腰梯形, A B ∥ C D , A C ? B D ,垂足为 H , P H 是四棱锥的高。

(11)已知 ? ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) (3,4) ,B ,C(4,-2) ,点(x,y)在 ? ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20)

? lg x1 ,0 ? x ? 1 0 ? 1 ? x?6,x?0 (12)已知函数 f(x)= ? 2

(Ⅰ)证明:平面 P A C ? 平面 P B D ; 若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c),则 abc 的取值范围是 (Ⅱ)若 A B ?
6 , ? A P B ? ? A D B ? 60°,求四棱锥 P ? A B C D 的体积。

(A) (1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)圆心在原点上与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为-----------。 (14)设函数 y ? f ( x ) 为区间 ? 0,1 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ? f ? x ? ? 1 ,可以用随机模拟方 法计算由曲线 y ? f ( x ) 及直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 所围成部分的面积,先产生两组 i 每组 N 个,区间 ? 0,1 ? 上
i N . 的 均 匀 随 机 数 x1, x 2 ..... x n 和 y1, y 2 ..... y n , 由 此 得 到 V 个 点 ? x , y? ? ? 1 , 2 . .? . 。 再 数 出 其 中 满 足
y1 ? f ( x )( i ? 1, 2 ..... N ) 的点数 N 1 ,那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为___________

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅 、 、 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (19) (本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人,结果如下:

男 您是否需要志愿者 需要 不需要 40 160



30 270

(15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前 的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 (Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?

-2-

(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的 比例?说明理由。 附: P(K ≧k) k 2 n (ad-bc) K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)


(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
? A 如图:已知圆上的弧 ? C ? B D ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于

E 点,证明: 0.050 0.010 0.001 3.841 6.625 10.828 (Ⅰ) ? A C E = ? B C D 。 (Ⅱ) B C =BE x CD。
2

(20) (本小题满分 12 分)
y b
2 2

2 设 F1 , F 2 分别是椭圆 E: x +

=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 A F 2 ,

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C 1 :{ (Ⅰ)当 a=
?
3

A B , B F 2 成等差数列。

{t 为参数}。图 C 2 :{ X=1+tcosa

{ ? 为参数}

X= co s ? y= sin ?

时,求 C 1 与 C 2 的交点坐标: y=tsina

(Ⅰ)求 A B (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C 1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 a 变化时,求 P 点轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线。

(21)本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? e ? 1 ? ? a x
x 2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 ? ( x ) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= ? ( x ) 的图像: (Ⅱ)若不等式 ? ( x ) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围

(Ⅰ)若 a=

1 2

,求 f ? x ? 的单调区间;

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围

-3-

2010 年高校招生考试文数(新课标) 试题及答案
一:选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要 求的。

因为 ? APB= ? ADR=600 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 . 等腰梯形 ABCD 的面积为 S=
1 2

AC x BD = 2+ 3 .
3? 2 3 3

……..9 分

(1)D (7) B

(2) C (8) D

(3) D (9) B

(4) A (10) A

(5) D (11)B

(6) C (12)C 所以四棱锥的体积为 V= (19)解:
1 3

x(2+ 3 )x 3 =

……..12 分

二:填空题:本大题共 4 小题,每小题五分,共 20 分。 (13)x2+y2=2 (14)
N1 N

(15)①②③⑤

(16)2+ 5 (1) 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估 计值为
70 500 ? 14% .

三,解答题:接答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)解: (1)由 am = a1 +(n-1)d 及 a1=5,aw=-9 得

……4 分
2

(2) k ?
2

500 ? (40 ? 270 ? 30 ? 160) 200 ? 300 ? 70 ? 430

? 9 .9 6 7

{

a1 ? 2 d ? 5 a1 ? 9 d ? ? 9

由于 9.967 ? 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

……8 分

解得

{ d ? ?2
……..6 分


a1 ? 9

(3)由于(2)的结论知,该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老 年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例,再把老年人 分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12 分 (20)解: (1)由椭圆定义知 ? ? F2 ? + ? ? ? ? ? ? ? F2 ?? ? ……12 分 又 2 ? A B ? = ? A F? ? ? ? ? F? ?? 得 ? A B ?? (2)L 的方程式为 y=x+c,其中 c ?
1? b
2

数列{am}的通项公式为 an=11-2n。 (2)由(1) 知 Sm=na1+
2

n ( n ? 1) 2

d=10n-n2

因为 Sm=-(n-5) +25. 所以 n=5 时,Sm 取得最大值。 (18)解: (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 AC ? PH,又 AC ? BD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PH ? BD=H. 所以 AC ? 平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. (2)因为 ABCD 为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,AB= 6 . 所以 HA=HB= 3 . ……..6 分

? ?

设 A ( x1, y 1 ),B ( x1, y 1 ) ,则 A,B 两点坐标满足方程组

? ? y= x +2c
x2?

y ?1 b2
2 2 2

化简得 (1 ? b ) x ? 2 cx ? 1 ? 2 b ? 0 .
?2c 1? b
2

则 x1 ? x 2 ?

, x1 x 2 ?

1 ? 2b 1? b
2

2

.

-4-

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 ? ? ? ??

? ? x 2 ? x1 ?

所以 ? B D C ? ? E C B ,故 即
BC ? BE ?
2

BC BE

?

CD BC

. ……10 分

C .D


8 9

4 3

?

2 ? x 2 ? x1 ? .



? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

4 (1 ? b )
2

(1 ? b )
2

2

?

4 (1 ? 2 b )
2

1? b

2

?

8b

4 2

1? b

(23)解: (I)当 ? ?

解得

b ?

2 2

.

?
3

时,C1 的普通方程为 y ?
3 ( x ? 1),
2

3 ( x ? 1) ,C2 的普通方程为 x ? y ? 1 .
2 2

联立方程组 (21)解:
a (Ⅰ) ? 1 2

?

y?

2 , x ? x ? y ? 1, 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) (

1 2

,?

3 2

)

(II)C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 . 时,f ( x ) ? x ( e ? 1) ?
x

1 2

x ,f '( x ) ? e ? 1 ? xe ? x ? ( e ? 1)( x ? 1) 。 x ? ? ? ? , ? 1 ? 时 f '( x ) ? ? ; 当
2

x

x

x

A 点坐标为 (sin a , ? co s a sin a ) ,故当 a 变化时,P 点轨迹的参数方程为
2

当 x ? ? ? 1, 0 ? 时, f '( x ) ? 0 ;当 x ? ? 0, ? ? ? 时, f '( x ) ? 0 。故 f ( x ) 在 ? ? ? , ? 1 ? , ? 0, ? ? ? 单调增加,在(-1, 0)单调减少。 (Ⅱ)f ( x ) ? x ( x ? 1 ? a x ) 。 g ( ) ? 令 x x
a a

? ?a 1 x

, g (' x 则 )

? e

x

a ?

。 a ?1, 若 则当 x ? ? 0, ? ? ? 时,g '( x ) ? ? ,

? x ? 1 sin 2 a 2 ? 1 y ? ? sin a c o s a ? 2

( a 为参数)
1 4 1 16
1 4

g ( x ) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x≥0 时 g ( x ) ≥0,即 f ( x ) ≥0.

P 点轨迹的普通方程为 ( x ?
1

) ? y ?
2 2

若a ? ?, 则当 x ? ? 0, ln a ? 时,g '( x ) ? ? ,g ( x ) 为减函数, g (0) ? 0 , 而 从而当 x ? ? 0, ln a ? 时 g ( x ) <0, f ( x ) 即 <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ? ? ,1 ?

故 P 点是圆心为 ( , 0 ) ,半径为
4

的圆

(24)解:

(Ⅰ)由于 f ? x ? =
? A (22)解: (Ⅰ)因为 ? C ? B D ,

?

?2 x ? 5 , x ? ?? 2 x ? 3, x ? 2.

则函数 y ? f ? x ? 的图像如图所示。 ……5 分

所以 ? B C D ? ? A B C . 又因为 E C 与圆相切于点 C ,故 ? A C E ? ? A B C 所以 ? A C E ? ? B C D . (Ⅱ)因为 ? E C B ? ? C D B , ? E B C ? ? B C D , ……5 分

(Ⅱ) 由函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? ax 的图像可知, 当且仅当 a ? ? 2 时, 函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? ax 的图像有交点。故不等式 f ? x ? ? ax 的解集非空时,a 的取值范围为

? ?? , ?2 ? ? ?

?1

? ,?? ? 。 ?2 ?

……10 分

-5-


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