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高考数学不等式解题方法技巧


不等式应试技巧总结
1、不等式的性质: ( 1 ) 同向不等式可以相加;异向不等式可以相减 :若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d (若 a ? b, c ? d ,则

a?c ? b?d) ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
( 2 ) 左右同正不等式:同向的不等式可以相乘 ,但不能相除; 异向不

等式可以相除 ,但不能相乘:若

a b ? ) ; c d n n (3) 左右同正不等式: 两边可以同时乘方或开方: 若a ? b ? 0, 则a ? b 或 n a ? n b ; (4) 若 ab ? 0 ,a ? b , 1 1 1 1 则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。 a b a b 【例】 ( 1 ) 对 于 实 数 a, b, c 中 , 给 出 下 列 命 题 : ① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; ② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; 1 1 b a 若a ? b ? 0, 则 ? ③ ; ⑤ ; 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ④ 若a ? b ? 0, 则 ? a b a b a b 1 1 ? ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ;⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ;⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。其中正确的 c?a c?b a b

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则

命题是______(答:②③⑥⑦⑧) ; (2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______(答: 1 ? 3x ? y ? 7 ) ; (3)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则

c 1? ? 的取值范围是______(答: ? ?2, ? ? ) a 2? ?

2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数 式) ; (3)分析法; (4)平方法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量或放缩法 ; (8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。

1 t ?1 1 t ?1 log a t和 log a 的大小 (答: 当 a ? 1 时, log a t ? log a (t ?1 2 2 2 2 1 t ?1 时取等号) ;当 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ) ; 2 2 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小(答: p ? q ) ; a?2 4 (3)比较 1+ log x 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小(答:当 0 ? x ? 1 或 x ? 时,1+ log x 3 > 2log x 2 ;当 3 4 4 1 ? x ? 时,1+ logx 3 < 2log x 2 ;当 x ? 时,1+ logx 3 = 2log x 2 ) 3 3
【例】 (1) 设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 , 比较 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这 17 字方 针。

1 x2 ? 3 【例】 ( 1 ) 下列命题中正确的是 A 、 y ? x ? 的最小值是 2 B、 y ? 的最小值是 2 x x2 ? 2 4 4 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 (答:C) ; x x x y (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______(答: 2 2 ) ; 1 1 (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) ; x y

C、

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2 2 1?1 a b 2 2 2 (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ; b b?m (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m 【例】如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________(答: ?9, ?? ? )
4.常用不等式有: (1)

5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配 方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。).

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 k ?1 ? k ? ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 2 2 2 2 2 2 【例】 (1)已知 a ? b ? c ,求证: a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca ;
常用的放缩技巧有:

(2) 已知 a, b, c ? R ,求证: a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ;

(3)已知 a, b, x, y ? R? ,且

1 1 x y ? , x ? y ,求证: ? ; a b x?a y ?b

(4)若 a、b、c 是不全相等的正数,求证: lg

a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c ; 2 2 2

(5)已知 a, b, c ? R ,求证: a b ? b c ?c2 a2 ? abc(a ? b ? c) ;
2 2 2 2

2 * (6)若 n ? N ,求证: (n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ?

n2 ?1 ? n ;

(7)已知 | a |?| b | ,求证:

|a|?|b| |a|?|b| ? ; | a ?b| | a?b|

(8)求证: 1 ?

1 1 ? ? 22 32

?

1 ?2。 n2

6.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最 高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇 穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x ) 的符号变化规律,写出不等式的解集。 【例】 (1)解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或 x ? ?2} ) ;

(2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____(答: {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; (3)设函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域都是 R,且 f ( x) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} , g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不 等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为______(答: (??,1)
2

[2, ??) ) ;
81 )) 8

( 4 ) 要 使 满 足 关 于 x 的 不 等 式 2x ? 9x ? a ? 0 ( 解 集 非 空 ) 的 每 一 个 x 的 值 至 少 满 足 不 等 式

x 2 ? 4 x ? 3 ? 0和x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个,则实数 a 的取值范围是______.(答: [7,

7.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使 每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为 负时可去分母。 【例】 (1)解不等式

5? x ? ?1 (答: (?1,1) (2,3) ) ; x ? 2x ? 3
2

(2)关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式

(??,?1) ? (2,??) ).
【例】解不等式 | 2 ?

ax ? b ? 0 的解集为____________(答: x?2

8.绝对值不等式的解法: (1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集) :

3 1 x |? 2? | x ? | (答: x ? R ) ; 4 2

(2)利用绝对值的定义; (3)数形结合; 【例】解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3 (答: (??, ?1)

(2, ??) )
4 3

(4)两边平方: 【例】若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 (答:{ } ) 9、含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键. ”注意解完之后 要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨 论,最后应求并集.

2 2 ? 1 ,则 a 的取值范围是__________(答: a ? 1 或 0 ? a ? ) ; 3 3 1 ax 2 ? x(a ? R) (答: a ? 0 时, { x | x ? 0} ; a ? 0 时, {x | x ? 或 x ? 0} ; a ? 0 时, ( 2 ) 解不等式 a ax ? 1 1 {x | ? x ? 0}或 x ? 0} ) a
【例】 (1)若 log a 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集的端点值往往是不等式 对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) , 则不等式 的解集为__________(答: (-1,2) ) 11.含绝对值不等式的性质: a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | .
2 【例】设 f ( x) ? x ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1)

x?2 ?0 ax ? b

12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题: 不等式恒成立问题的常规处理方式? (常应用函数方程思想和 “分 离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B

【例】 (1)设实数 x, y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ?c ? 0 时,c 的取值范围是______(答:? 2 ? 1, ?? ) ;

?

?

(2)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____(答: a ? 1 ) ; ( 3 ) 若 不 等 式 2 x ?1 ? m( x 2 ?1) 对 满 足 m ? 2 的 所 有 m 都 成 立 , 则 x 的 取 值 范 围 _____ ( 答 : (

7 ?1 3 ?1 , ) ) ; 2 2
(4)若不等式 (?1) a ? 2 ?
n

3 (?1) n ?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____(答: [ ?2, ) ) ; 2 n 1 2 (5)若不等式 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.(答: m ? ? ) 2
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; 2). 能成立问题

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . 【例】已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围______(答: a ? 1 ) 3). 恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D .


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