tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

广州市真光中学数学:第二章《平面向量》测试(新人教A版必修4)


平面向量

单元检测

广州市真光中学高一数学组

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 A. a ? ( 0 , 0 ) C. a ? ( 3 , 5 )
? ?
? b ? (1 ,? 2 ) ? b

? ( 6 ,10 )





B. a ? ( ? 1 , 2 ) D. a ? ( 2 , ? 3 )
?

?

? b ? ( 2 ,? 4 ) ? b ? ( 6 ,9 )

2、若 ABCD 是正方形,E 是 CD 的中点,且 AB ? a , AD ? b ,则 BE = A. b ?
1 2 a

(

)

B. b ?

1 2

a

C. a ?

1 2

b

D. a ?

1 2

b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( a ? a )b 3、若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? ? ? ,则向量 a 与 c 的夹角为 a ?b





A.

π 2

B.

π 6

C.

π 3

D.0

4 、 设 i , j 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 向 量 a ? ( m ? 1) i ? 3 j , b ? i ? ( m ? 1) j ,
( a ? b ) ? ( a ? b ) ,则实数 m 为

( C. ?
1 2



A.-2

B.2

D.不存在

5、在四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2 b , BC ? ? 4 a ? b , CD ? ? 5 a ? 3 b ,则四边形 ABCD 的 形状是 A.长方形 ( B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 ( ) )

6、下列说法正确的个数为

(1) ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b ) ; (2) | a ? b |? | a | ? | b | ; (3) ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c (4) ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ; (5)设 a , b , c 为同一平面内三个向量,且 c 为非零向量, a , b

不共线,则 ( b ? c ) a ? ( c ? a ) b 与 c 垂直。 A.2 B. 3 C. 4 D. 5

7、在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a 的值为 A.
3 2

( B. ?
3 2

C.0

D.3

-1-

8、向量 a =(-1,1) ,且 a 与 a +2 b 方向相同,则 a ? b 的范围是 A. (1,+∞) B. (-1,1) C. (-1,+∞) D. (-∞,1)





9、在△OAB 中, OA =(2cosα ,2sinα ) OB =(5cosβ ,5sinβ ) , ,若 OA ? OB =-5, 则 S△OAB= A. 3 B.
3 2

( C. 5 3 D.
5 2 3



10、若非零向量 a 、 b 满足 | a ? b | ? | b | ,则 A.
| 2 b | ? | a ? 2 b | B. | 2 b |? | a ? 2 b |

( C.
| 2 a |? | 2 a ? b |



D. | 2 a |? | 2 a ? b |

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
11、若向量 a ? ( ? 3 , 4 ) ,则与 a 平行的单位向量为________________ , 与 a 垂直的单位向量为______________________。 12、已知 a ? ( 2 , 3 ) , b ? ( ? 3 , 4 ) ,则 ( a ? b ) 在 ( a ? b ) 上的投影等于___________ 。 13、已知三点 A (1, 2 ), B ( 2 , ? 1), C ( 2 , 2 ) , E , F 为线段 B C 的三等分点,则 A E ? A F =_____. 14.设向量 a 与 b 的夹角为θ ,定义 a 与 b 的“向量积”:
? ? ? ? ? a ? b 是一个向量,它的模 | a ? b | ? | a | ? | b | ? sin ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ???? ?

?

?

?

?

若 a ? ( ? 3 , ? 1 ), b ? (1 , 3 ) ,则 | a ? b | ?

?

?

?

?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。
15. (本小题满分 12 分) 设向量 OA =(3,1) OB =(-1,2) , ,向量 OC ? OB , BC ∥ OA ,又 OD + OA = OC , 求 OD 。

-2-

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 O A ? ( 3 , ? 4 ) , O B ? ( 6 , ? 3 ) , O C ? ( 5 ? x , ? 3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A , B , C 能构成三角形,求 x , y 满足的条件; (Ⅱ)若 ? A B C 为等腰直角三角形,且 ? B 为直角,求 x , y 的值.
??? ? ??? ? ????

17、 (本小题满分 14 分) 已知 A(2,0),B(0,2),C(cosα ,sinα ),(0<α <π )。 (1)若 | OA ? OC |? ,求 OB 与 OC 的夹角; 7 (O 为坐标原点)

(2)若 AC ? BC ,求 tanα 的值。

18、 (本小题满分 14 分) 如图,O,A,B 三点不共线, OC ? 2 OA ,

D

N

OD ? 3 OB ,设 OA ? a , OB ? b 。
B E L M O A C

(1)试用 a , b 表示向量 OE ; (2)设线段 AB,OE,CD 的中点分别为 L,M, N, 试证明 L,M,N 三点共线。

-3-

19、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a ? ( ? 1, 2 ) , 又点 A (8 , 0 ), B ( n , t ), C ( k s in ? , t )( 0 ? ? ? (1)若 A B ? a , 且 | A B | ?
????
??? ? ??? ?

) 2 ??? ? ??? ? 5 | O A | ,求向量 O B ;

?

(2)若向量 A C 与向量 a 共线,当 ? 4 时,且 t s in ? 取最大值为 4 时,求 O A ? O C

??? ?

????

20、 (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (c o s
? 3 x , s in 3 2 x ), 2 ? ? ? ? (1) a ? b 及 | a ? b | ;
? ? ?

? x x ? b ? (c o s , ? s in ) ,且 x ? [ 0 , ] ,求: 2 2 2

(2)若 f ( x ) ? a ? b ? 2 ? | a ? b | 的最小值为 ?

?

3 2

,求实数 ? 的值。

-4-

平面向量测试题参考答案

一、选择题: (每小题 5 分) DBAAD

BBCDA
3 4 , ); 5 5
6 5 2

二、填空题: (每小题 5 分) 11、 ( ?

(

3 5

,?

4 5

)

(

4 3 , ); 5 5

(?

4 5

,?

3 5

)

12、 ?

13、

3

14、 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15.解: 设 OC =(x,y) , ∵ OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴2y – x =0,① 又∵ BC ∥ OA , BC =(x+1,y-2) ,∴3( y-2) – (x+1)=0,即:3y – x-7=0,② 由①、②解得,x=14,y=7,∴ OC =(14,7) ,则 OD = OC - OA =(11,6) 。

16、解: (Ⅰ) 若点 A , B , C 能构成三角形,则这三点不共线,? A B ? ( 3 , 1) ,
???? A C ? ( 2 ? x , 1 ? y ) , ∴ 3 (1 ? y ) ? 2 ? x ,∴ x , y 满足的条件为 3 y ? x ? 1

??? ?

(Ⅱ)? A B ? ( 3 , 1) , B C ? ( ? x ? 1, ? y ) , 若 ? B 为直角,则 A B ? B C , ∴ 3( ? x ? 1) ? y ? 0 ,
2 2 又 | A B | ? | B C | ,∴ ( x ? 1) ? y ? 1 0 ,再由 y ? 3 ( ? x ? 1) ,

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

解得 ?

?x ? 0 ? y ? ?3

或?

? x ? ?2 ?y ? 3



17、解:⑴∵ OA ? OC ? ( 2 ? cos ? , sin ? ) , | OA ? OC |? ∴ ( 2 ? cos ? ) ? sin ? ? 7 ,∴ cos ? ?
2 2

7 ,

1 2



又 ? ? ( 0 , ? ) ,∴ ? ?

?
3

,即 ? AOC ?

?
3



-5-

又 ? AOB ?

?
2

,∴ OB 与 OC 的夹角为

?
6



⑵ AC ? (cos ? ? 2 , sin ? ) , BC ? (cos ? , sin ? ? 2 ) , 由 AC ? BC ,∴ AC ? BC ? 0 , ∴ (cos ? ? sin ? ) ?
2

可得 cos ? ? sin ? ?
3 4

1 2





1 4

,∴ 2 sin ? cos ? ? ?
?
2 ,? ) , 7 4



∵ ? ? ( 0 , ? ) ,∴ ? ? (
2

又由 (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?
7 2 1? 4 7 1? 4

, cos ? ? sin ? <0,

∴ cos ? ? sin ? =-





由①、②得 cos ? ?

, sin ? ?

7

,从而 tan ? ? ?

4 ? 3

7



18、解:(1)∵B,E,C 三点共线,∴ OE =x OC +(1-x) OB =2 x a +(1-x) b ,① 同理,∵A,E,D 三点共线,可得, OE =y a +3(1-y) b ,② 比较①,②得, ?
?2 x ? y, ?1 ? x ? 3 (1 ? y )
1 2 6 a ? 12 b 10

?

?

解得 x=

2 5

, y=

4 5

,∴ OE =

4 5

a ?

3 ? b 。 5
2 a ? 3b 2

(2)∵ OL ?

a ? b 2

, OM ?

OE ?

4 a ? 3b 10

, ON ?

1 2

( OC ? OD ) ?



MN

? ON ? OM

?

, ML ? OL ? OM ?

a ? 2b 10



∴ MN ? 6 ML ,∴L,M,N 三点共线。
??? ? ??? ?

19、解: (1) A B ? ( n ? 8 , t ) ,? A B ? a ? 8 ? n ? 2 t ? 0 又?
???? ? ??? ? 2 2 2 5 | O B | ? | A B |, ? 5 ? 6 4 ? ( n ? 3 ) ? t ? 5 t

,得 t ? ? 8

??? ? ? O B ? (24,8)

或O B ? (? 8, ? 8)

??? ?

???? ( 2 ) A C ? ( k s in ? ? 8, t )

???? ? A C 与 a 向量共线, ? t ? ? 2 k sin ? ? 1 6
-6-

? t s in ? ? ( ? 2 k s in ? ? 1 6 ) s in ? ? ? 2 k (s in ? ?
? k ? 4 ,? 1 ? k 4 ? 0 ,? 当 s in ? ? k 4

k 4

) ?
2

32 k
32 k

时, t s in ? 取最大值为

32 ? ???? 由 ? 4 ,得 k ? 8 ,此时 ? ? , O C ? (4, 8) k 6 ??? ???? ? ? O A ? O C ? (8 , 0 ) ? ( 4 , 8 ) ? 3 2

20、解: (1) a ? b ? c o s
? ? | a ? b |?

? ?

3x 2

cos

x 2
x 2

? s in

3x 2

s in

x 2

? cos 2 x

(c o s

3x 2

? cos

) ? ( s in
2

3x 2

? s in

x 2

)

2

?

2 ? 2 cos 2 x ? 2

cos x ? 2 | cos x |
2

又 x ? [0,

?
2

]? cos x ? 0

从而 | a ? b | ? 2 c o s x
2

?

?

(2) f ( x ) ? c o s 2 x ? 4 ? c o s x ? 2 c o s x ? 4 ? c o s x ? 1
? 2 (cos x ? ? )
2

? 2?

2

?1

由于 x ? [ 0 ,

?
2

]

故 0 ? cos x ? 1

①当 ? ? 0 时,当且仅当 c o s x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ? 1 ,这与题设矛盾 ②当 0 ? ? ? 1 时, 当且仅当 c o s x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? 2 ? ? 1 , ? 2 ? ? 1 ? ? 由
2

2

3 2

及0 ? ? ? 1得? ?

1 2

③当 ? ? 1 时, 当且仅当 c o s x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 1 ? 4 ? , 1 ? 4 ? ? ? 由 与 ? ? 1 矛盾 综上所述, ? ?
1 2

3 2

, ? ? 得

5 8

即为所求。

-7-


推荐相关:

2011年广东省广州市真光中学高考数学模拟试卷(理科)

2011 年 2011 年广东省广州市真光中学高考数学模拟...第二小组选《数学运算》的有 2 人,选《数学解题...4 考点:向量的模;平面向量数量积的性质及其运算律...


2012年广州市普通高中毕业班综合测试分析新

《普通高中数学课程标准(实验)(以下简称《课程标准...平面向量与三角函数 16 4 概率与统计 17 5 立体...广州市真光中学 广州市第七中学 社会青年 广州市...


2015年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学学科分析报告

2015年广州市普通高中毕业班综合测试()数学学科分析...(含指定选考内 容) ,数列、推理与证明,平面向量...广州市真光中学 郭薇 广东广雅中学 张弛斌 华南师范...


2015年广东省广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学学科分析报告

数学(文、理科) (以下简称《考试说明 ). 2...推理与证明 13 19 2 平面向量与三角函数 9 16 3...广州市真光中学 郭薇 广东广雅中学 张弛斌 华南师范...


2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)即广州高考一模分析报告--数学 (2)

数学(文、理科)(以下简称《考试说明.》) 2....平面向量与三角函数 8 16 概率与统计 4 17 题型 ...广州市真光中学 广州市第七中学 社会青年 广州市...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com