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北京市2015届高三综合能力测试(二)(东城区示范校零模)数学(理)试题


北京市 2014-2015 学年高三年级综合能力测试(二) (东城区普通高中示范校 2015 届高三 3 月零模) 数学(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1 1、复数 z ? 在复平面内对应的点的坐标为( i A. ? 0, ?1? B. ? 0,1? )
? 2 ? ? C. ? ? 2 ,0? ? ? ? ? 2? ? 1, ? D. ? ? ? 2 ? ? ?

) C. ? ?1,0? D. ?1,0 ?

2、 sin 3 的取值所在的范围是(
? 2 ? A. ? ? 2 ,1? ? ? ? ? 2? 0, B. ? ? 2 ? ? ? ?

3、在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的半径为(
1 A. 2
1 B.

) D.4

C.2

4、执行如图所示的程序框图,那么输出的 n 的值为 ( A.1 ) B.2 C.3 D.4 )

5、已知直线 l1 : ax ? y ? 1 和直线 l2 : 4 x ? ay ? 2 ,则“ a ? 2 ? 0 ”是“ l1 //l2 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an an?1 ? 2n ,则数列 ?an ? 的前 20 项的和为( A. 3 ? 211 ? 3 B. 3 ? 211 ? 1 C. 3 ? 210 ? 2

D. 3 ? 210 ? 3

7、已知向量 a ,b 是夹角为 60 的单位向量.当实数 ? ? ?1 时,向量 a 与向量 a ? ?b 的夹 角范围是( A. ? ? 0 , 60 ) B. ? ? 60 ,120

?
?


?
?


C. ? ?120 ,180

D. ? ? 60 ,180

8、某几何体的三视图如图所示,该几何体的各面中互相垂直 面的对数是(

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9、双曲线 C : x 2 ?
5

y2 ? 1的离心率为 3

. .

10、已知 ? 2 x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则 a0 ? a1 ? 11 、 如 图 , ?? 是 半 圆 ? 的 直 径 , ?D 与 ? C 相 交 于 点 ? , 且
?? ? ? C .若 ?? ? 3D? ? 3 ,则 ? C 的长为



12、某门选修课共有 9 名学生参加,其中男生 3 人,教师上课时想 把 9 人平均分成三个小组进行讨论.若要求每个小组中既有男生也有女生,则符合要求 的分组方案共有 种.

?x ? 0 13、已知函数 y ? aex (其中 a ? 0 )经过不等式组 ? 所表示的平面区域,则实 ?x ? y ?1 ? 0
数 a 的取值范围是 . 14 、 已 知 两 个 电 流 瞬 时 值 的 函 数 表 达 式 唯 爱 ?1 ?t ? ? sin t ,

?2 ?t ? ? sin ?t ? ? ? , ? ?

? ,它们合成后的电流瞬时值的函数 2


? ?t ? ? ?1 ?t ? ? ?2 ?t ? 的部分图象如图所示,则 ? ?t ? ?
??


三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. ) 15、 (本小题满分 13 分)如图,在锐角三角形 ?? C 中, ?? ? 2 ,点 D 在 ? C 边上,且 ?D ? 6 , ??DC ? 135 . ? ? ? 求角 ? 的大小;

? ?? ? 若 ?C ?

7 ,求边 ? C 的长.

16、 (本小题满分 13 分)在某地区的足球比赛中,记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支 队伍,比赛采用单循环制(每两个队比赛一场) ,并规定小组积分前两名的队出线,其中

胜一场积 3 分,平一场积 1 分,负一场积 0 分.由于某些特殊原因,在经过三场比赛后, 目前的积分状况如下:甲队积 7 分,乙队积 1 分,丙和丁队各积 0 分.根据以往的比赛情 1 1 况统计,乙队胜或平丙队的概率均为 ,乙队胜、平、负丁队的概率均为 ,且四个队 4 3 之间比赛结果相互独立. ? ? ? 求在整个小组赛中,乙队最后积 4 分的概率;

? ?? ? 设随机变量 ? 为整个小组比赛结束后乙队的积分,求随机变量 ? 的分布列与数学期
望; ? ??? ? 在目前的积分情况下, ? 同学认为:乙队至少积 4 分才能确保出线, ? 同学认为: 乙队至少积 5 分才能确保出线.你认为谁的观点对?或是两者都不对?(直接写结果, 不需证明)

17、 (本小题满分 14 分)已知三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, ??? C 是以 ? C 为斜边的等腰直 角三角形,且 ?1? ? ?1C ? ?1? ? ?C ? 2 .

? ? ? 求证:平面 ?1?C ? 底面 ?? C ; ? ?? ? 求 ?1C 与平面 ???1?1 所成角的正弦值; ? ??? ? 若 ? , F 分别是线段 ?1C1 , C1C 的中点,问在线段 ?1F



是否存在点 ? ,使得 ?? // 平面 ???1?1 .

18、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ln x .

? ? ? 若直线 y ? x ? b 与 f ? x ? 在 x ? 1 处相切,求实数 a , b 的值; ? ?? ? 若 a ? 0 ,求证: f ? x ? 存在唯一极小值.

? 2 ? 2 2 19、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 过点 ? ? 2 ,1? ? ,且其右顶点与椭圆 C2 : x ? 2 y ? 4 的 ? ? 右焦点重合. ? ? ? 求椭圆 C1 的标准方程;

? ?? ? 设 ? 为原点,若点 ? 在椭圆 C1 上,点 ? 在椭圆 C2 上,且 ?? ? ?? ,试判断直线 ??
与圆 x2 ? y 2 ? 1的位置关系,并证明你的结论.

20 、( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 无 穷 整 数 数 集 ? ? ?a1, a2 , a3 , ???, an , ???? ( a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ??? )具有性质 ? :对任意互不相等的正整数 i , j , k ,总有
ai ? ak ? a j ? ? .

? ? ? 若 ?1,21? ? ? 且 5 ? ? ,判断 13 是否属于 ? ,并说明理由; ? ?? ? 求证: a1 , a2 , a3 , ??? , an , ??? 是等差数列; ? ??? ? 已知 x , y ? ? 且 y ? x ? 0 ,记 ? 是满足 ?0, x, y? ? ? 的数集 ? 中的一个,且是满足 ?0, x, y? ? ? 的所有数集 ? 的子集,求证: x , y 互质是 ? ? ? 的充要条件.

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