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高二下期末模拟卷010—1306


连云港外国语学校 2012~2013 学年度 高二年级数学理科期末复习卷(十)
命题人:刘希团 2013 年 6 月 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置. Y 2 1.命题“ 存在 x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 . C 2 3 6 2 2.(1+x)+(1+x) +(1+x) +??+(1+x) 展开式中 x 项的系数为 . Y 3.将 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去,要求每个部门至少分配一人,则不同的 分配方案共有______种。 4.在极坐标系中,点 P ( 2 , ? ) 与点 Q 关于射线 ? ?
2? 3

对称,则 | P Q | =________. .

5. (1 ? 2 x ) 2004 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ...... ? a 2004 x 2004 , x ? R , 求 a 0 ? a 1 ) a 0 ? a 2 ) 若 ( + ( +??+ a 0 ? a 2004 ) ( 6.若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos ? ? ?
? ?

? ?

? ,它们相交于 A, B 3 ?

两点,则线段 AB 的

长为


?
2 ), B (6 2, 9? 4 ) 三点的圆的极坐标方程

7.求经过极点 O (0 , 0 ), A (6 , 8. ( x ?
1 x
6

.

) 展开式的常数项为



?x ? y ? 2 ? 0 ? 9.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,
2 2

记 ? A P B ? ? ,则当 ? 最小时 co s ? ? . 10.已知整数数对如下排列: (1,1), (1, 2 ), ( 2 ,1), (1, 3 ), ( 2 , 2 ), ( 3 ,1), (1, 4 ), ( 2 , 3 ), ( 3 , 2 ), ( 4 ,1) ? ,按此规律, 则第 60 个数对为__________. 11.将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校,每个学校至少分到一名老师,且甲、乙两名 老师不能分配到同一个学校,则不同分法的种数为 . 12. 已知曲线 C 的方程为 ?
? x ? 8t
2

? y ? 8t

( t 为参数) 过点 F ( 2, 0 ) 作一条倾斜角为 ,

?
4

的直线交曲线 C 于 A 、

B 两点,则 A B 的长度为



13. n 个正整数排列如下: 1,2,3,4,??,n 2,3,4,5,??,n+1 ??

2

n,n+1,n+2,n+3,??,2n-1
14.已知函数
f ( x ) ? x ? 1 ,关于 x

则这 n 个正整数的和 S ?
2



的方程

f

2

(x) ? f (x) ? k ? 0

,给出下列四个命题:

① 存在实数 k , 使得方程恰有 2 个不同的实根; 存在实数 k , ② 使得方程恰有 3 个不同的实根; ③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号为______ ______ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
数学试题 共 4 页,第 1 页

15. (本题满分 14 分) 已知二阶矩阵 M 属于特征值-1 的一个特征向量为 ? 求矩阵 M 及其逆矩阵 M 16.(本题满分 14 分) 已知直线 C 1 : ? (1)当 ?
?
?1

? 1 ? ? ??2?

,属于特征值 2 的一个特征向量为 ? ? , 1
? ?

?1 ?


? x ? cos ? :? (? ? y ? s in ?

? x ? 1 ? t co s ? ? y ? t sin ?

(t

为参数) C 2 ,

为参数) 。

?
3

时,求 C 1 被 C 2 截得的弦长;

(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点的轨迹的参数方程。 17. (本题满分 14 分) 已知二项式 ( x ?
2 x
2

) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的

n

*

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 18. (本题满分 16 分) 某中学从高中三个年级选派 2 名教师和 10 名学生去外校考察学习,学生的名额分配如下: 高一年级 高二年级 高三年级 3人 5人 2人 (1)若从 10 名学生中选出 2 人做组长,求他们中恰好有 1 人是高二年级学生的概率; (2)若将 2 名教师安排到三个年级 (假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相 互独立的) ,记安排到高二年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本题满分 16 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 A C 1 中, E 、 F 分别为 A1 D 1 和 A 1 B 1 的中点. (1)求异面直线 A F 和 B E 所成的角的余弦值; (2)求平面 A C C 1 与平面 BFC 1 所成的锐二面角; (3)若点 P 在正方形 A B C D 内部或其边界上,且 E P // 平面 B F C 1 , 求 E P 的取值范围. 20. (本题满分 16 分)
1
2 6 已知 f ( x ) ? ( x k ? x ) ,且正整数 n 满足 C n ? C n , A ? {0,1, 2, L , n } .

A
1

E

D
1

C F B
1 1

1 D

1 C

1 A

1

n

(第 19 题 B 图)

(1)求 n; (2)若 i 、 j ? A ,是否存在 j ,当 i ? j 时, C n ? C n 恒成立?若存在,求出最小的 j ,若不存在,
i j

试说明理由; (3) k ? A , 若 f ( x ) 的展开式有且只有 6 个无理项,求 k .

数学试题

共 4 页,第 2 页

高二年级数学理科期末复习卷参考答案(十)
命题人:刘希团 2013 年 6 月 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置. Y 2 2 ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 1.命题“ 存在 x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 C 2 3 6 2 2.(1+x)+(1+x) +(1+x) +??+(1+x) 展开式中 x 项的系数为 .35 Y 3.将 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去,要求每个部门至少分配一人,则不同的 2 1 2 2 分配方案共有______种。解: C 53 ? 3 ? A 2 ? C 5 ? 3 ? C 4 ? C 2 ? 150 4.在极坐标系中,点 P ( 2 , ? ) 与点 Q 关于射线 ? ?
2? 3

对称,则 | P Q | =________ 2 3

5.若 (1 ? 2 x ) 2004 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ...... ? a 2004 x 2004 , x ? R , 求( a 0 ? a 1 )+( a 0 ? a 2 )+??+ ( a 0 ? a 2004 ) .2004
? ?

6.若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos ? ? ?
? 1? 3 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? 2? 2 ? ? ? ?
2 2

? ?

? ,它们相交于 A, B 3 ?

两点,则线段 AB 的

长为

.? A B ?

?

3

7 . 求 经 过 极 点 O (0 , 0 ), A (6 ,
? ? 6 2 cos ? ? ?
? ?

?
2

), B (6

2,

9? 4

) 三点的圆的极坐标方程

.

? ?
? 4 ?

8. ( x ?

1 x

) 展开式的常数项为

6

-20

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 9.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B , ?x ? y ? 2 ? 0 ?

记 ? A P B ? ? ,则当 ? 最小时 co s ? ?



9 10

10.已知整数数对如下排列: (1,1), (1, 2 ), ( 2 ,1), (1, 3 ), ( 2 , 2 ), ( 3 ,1), (1, 4 ), ( 2 , 3 ), ( 3 , 2 ), ( 4 ,1) ? ,按此规律, 则第 60 个数对为__________(5,7) 11.将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校,每个学校至少分到一名老师,且甲、乙两名 老师不能分配到同一个学校,则不同分法的种数为 30
? x ? 8t ? ( t 为参数) 过点 F ( 2, 0 ) 作一条倾斜角为 的直线交曲线 C 于 A 、 12. 已知曲线 C 的方程为 ? , 4 ? y ? 8t
2

B 两点,则 A B 的长度为

16
数学试题 共 4 页,第 3 页

13. n 个正整数排列如下: 1,2,3,4,??,n 2,3,4,5,??,n+1 3,4,5,6,??,n+2 ?? n,n+1,n+2,n+3,??,2n-1 则这 n 个正整数的和 S ?
2

2

.n 的方程

3

14.已知函数

f ( x ) ? x ? 1 ,关于 x

f

2

(x) ? f (x) ? k ? 0

,给出下列四个命题:

① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k ,使得方程恰有 3 个不同的实根; ③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号为______ ______ ①③④ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知二阶矩阵 M 属于特征值-1 的一个特征向量为 ? 求矩阵 M 及其逆矩阵 M 解:M= ?
?1 ?2
?1

? 1 ? ? ??2?

,属于特征值 2 的一个特征向量为 ? ? , 1
? ?

?1 ?


M
?1

1? ? ……………7 分 0?
? x ? 1 ? t co s ? ? y ? t sin ?

=?

?0 ?1

? ? .……………7 分 ? ?
1 2 1 2

16.(本题满分 14 分) 已知直线 C 1 : ? (1)当 ?
?
(t

为参数) C 2 ,

? x ? cos ? :? (? ? y ? s in ?

为参数) 。

?
3

时,求 C 1 被 C 2 截得的弦长;

(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点的轨迹的参数方程。 解: (1) C 1 的普通方程为 y
? 3 ( x ? 1)

, C 2 的普通方程为 x 2

? y ?1,
2

????2 分 ???? 4 分 ,???6 分 ????8 分

∴圆心 O 到直线 C 1 的距离 d (2) C 1 的普通方程为 x sin ? 由?
? x s in ? ? y c o s ? ? s in ? ? 0 ? cos ? x ?y ? ? s in ? ?

?

3 2

,∴ C 1 被 C 2 截得的弦长 2

1?

3 4

?1。

? y co s ? ? sin ? ? 0, ∴直线 O A : y ? ?

cos ? sin ?

x

得 A (sin 2 ? , ? sin ?
2

co s ? )

解∴A 点的轨迹的参数方程 ? 17. (本题满分 14 分) 已知二项式 ( x ? 比是 10:1,
2 x
2

? x ? sin ? ? y ? ? sin ? c o s ?

(?

为参数) 。

????10 分

) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的

n

*

数学试题

共 4 页,第 4 页

(1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解: (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1,

C ∴ C

4 n 2

? (?2)

4

? (?2) n

?
2

10 1

,解得 n=8
8

令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) =1 (2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为 C 8 ? 2 若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足:
r ?1 n?r

,C 8 ? 2 ,C
r

r

r ?1 8

?2

r ?1

,

C

r ?1 8

?2

n?r

≤C 8 ? 2

r

r

并且 C

r ?1 8

?2

r ?1

≤ C 8 ? 2 ,解得 5≤r≤6;
r

r

所以系数最大的项为 T 7 =1792 ? 变式训练 4:①已知(
x ? 1 3x
2

1 x
n
11

;二项式系数最大的项为 T 5 =1120 ?

1 x
6

) 的第 5 项的二项式系数与第三项的二项系数的比是 14:3,求展开式

中不含 x 的项. 2 3 4 5 2 ②求(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) +(x-1) 的展开式中 x 项的系数. 解: (1 ?
? ? Cn (1 ? 1 n ?? ? Cn ??
2? 1 n?
n

1 n 1

)

n

? 1? Cn
1

1

1 n

? Cn

2

1 n
2

?

n
n

n

? 1? Cn
1

1 n

? 2
2

)

? 1? Cn
n

1 n

? Cn

1 n
2

1 n
2

? 1?1?

n ( n ? 1) 2 ? ?n
2

?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 2 ? 1 n ? ?n
1 2? ? 1 3? 1 2 ?
n

?? 1 2
2

? 2?

?? ? 2

1
n ?1

? 3? 2

1
n ?1

? 3

18. (本题满分 16 分) 某中学从高中三个年级选派 2 名教师和 10 名学生去外校考察学习,学生的名额分配如下: 高一年级 高二年级 高三年级 3人 5人 2人 (1)若从 10 名学生中选出 2 人做组长,求他们中恰好有 1 人是高二年级学生的概率; (2)若将 2 名教师安排到三个年级 (假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相 互独立的) ,记安排到高二年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. .解: (1)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则
P ( A) ? C 5C 5 C 10
2 1 1

=

25 45

?

5 9

,故所求概率为

5 9



…………………6 分

数学试题

共 4 页,第 5 页

(2)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2.每位教师选择高二年级的概率均为 所以 P ? ? ? 0 ? ? C 2 ?
0

1 3

.

4 4 ?1? ?2? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? , P ?? ? 1? ? C 2 ? ? ? ? ? , 9 9 ?3? ?3? ?3? ?3?
2 0

0

2

1

1

1 ?1? ?2? P ?? ? 2 ? ? C 2 ? ? ? ? ? . 9 ?3? ?3?
2

……………………..10 分

随机变量 ? 的分布列为:
?
P

0
4 9 4 9 ? 1? 4 9 ? 2? 1 9 ?

1
4 9 2 3

2
1 9

所以 E ? ? 0 ?



……………………16 分
1 3
1

解法 2:由题意可知,每位教师选择高二年级的概率均为 则随机变量 ? 服从参数为 2, 随机变量 ? 的分布列为:
?
P
1 3

.

的二项分布,即 ? ~ B ( 2 , ) .
3

0
4 9 1 3 ? 2 3

1
4 9

2
1 9

所以 E ? ? n p ? 2 ?



19. (本题满分 16 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 A C 1 中, E 、 F 分别为 A1 D 1 和 A 1 B 1 的中点. (1)求异面直线 A F 和 B E 所成的角的余弦值; (2)求平面 A C C 1 与平面 BFC 1 所成的锐二面角; (3)若点 P 在正方形 A B C D 内部或其边界上,且 E P // 平面 B F C 1 ,求 E P 的取值范围. D1 E 1 C1 1 B1 1

A1 1

F

解: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为轴,建立如图所示的直角坐标系, 则 A (1, 0 , 0 ) , E ( , 0 ,1) , B (1,1, 0 ) , F (1,
2 1 1 2 ,1) .……………2 分

D (第 18 题图) B

C

AF ? ( 0 ,

1 2

,1 ) , BE ? ( ?

1 2

, ? 1,1 ) ,

A

数学试题

共 4 页,第 6 页

1 uuu uur r ? co s( A F , B E ) ? 5 4 2 9 4 ? 2 5 15
uuu r



………………4 分

(2)平面 A C C 1 的一个法向量为 D B ? (1,1, 0 ) , 设平面 BFC 1 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
1 ? ? x ? z, ? n ? BF ? ? y ? z ? 0 , 2 ∴? ? ? y ? 2 z. ? n ? BC ? ( x , y , z ) ? ( ? 1, 0 ,1 ) ? ? x ? z ? 0 , 1 ?

取 z ? 1 得平面 BFC 1 的一个法向量 n ? (1, 2 ,1) ……………7 分
uuu r r cos ? D B , n ? ? uuu r r DB ? n uuu r ? r | D B || n | 1? 2 2 ? 6 ? 3 2

,因为 ? D B , n ? 为锐角,

uuu r r

∴所求的锐二面角为

?



……………….9 分

6 (3)设 P ( x , y , 0 ) ( 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ) . uur uur r 1 1 3 E P ? ( x ? , y , ? 1) ,由 E P ? n ? 0 得 ( x ? ) ? 2 y ? 1 ? 0 ,即 x ? ? 2 y ? . 2 2 2
Q 0 ? x ? 1, ? 0 ? ? 2 y ? 3 2 ? 1 ,? 1 4
2

? y ?

3 4
2


5y ? 4y ? 2 ?
2

uur ?| E P | ?
1 4 ? y ?

(x ?
3 4

1 2

) ? y ?1 ?
2 2

( 2 y ? 1) ? y ? 1 ?
uur 30 5

5( y ?
?
max

2 5

) ?
2

6 5

…….12 分

Q

,? 当 y ?
? ?

2 5

时,?| E P | m in ?
, 29 ? ? . 4 ?

;当 y ?

3 4

时,∴ EP

29 4



故 EP 的取值范围为 ?

30 5

…………..……14 分

20. (本题满分 16 分)
1
2 6 已知 f ( x ) ? ( x k ? x ) ,且正整数 n 满足 C n ? C n , A ? {0,1, 2, L , n } .

n

(1)求 n; (2)若 i 、 j ? A ,是否存在 j ,当 i ? j 时, C n ? C n 恒成立?若存在,求出最小的 j ,若不存在,
i j

试说明理由; (3) k ? A , 若 f ( x ) 的展开式有且只有 6 个无理项,求 k . 解:(1)由 C n ? C n 可知 n=8.
2 6

…………..……3 分
4

(2)存在.展开式中最大二项式系数满足条件, 又展开式中最大二项式系数为 C 8 ,∴j=4.
1 8?r 8?r

…………..……9 分
?r k

(3)展开式通项为 T r ? 1 ? C 8 ( x k )
r

· =C8 x x

r

r

,分别令 k=1,2,3,…,8,
共 4 页,第 7 页

数学试题

检验得 k=3 或 4 时 8 ? r 是 k 的整数倍的 r 有且只有三个.故 k=3 或 4……16 分 19.解:(1) e ?
3 2 ,?
2

c a

?
2

3 2

,又 c ?

3 ,? a ? 2 , b ? 1 .

故椭圆的方程为

x

? y ? 1.

………………………4 分

4

圆 O 与直线 y ? x ? 4 2 相切,设圆 O 的半径为 R , 则有 R ?
4 2 2 ? 4 ,? e O 的方程为 x ? y ? 1 6 ………………………8 分
2 2

? y ? kx, ? (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ,由 ? x 2 解得 2 ? y ?1 ? ? 4

A(

4 4k ? 1
2

,k

4 4k ? 1
2

) , B (?

4 4k ? 1
2

,?k

4 4k ? 1
2
2

),

? AB ?

(2

4 4k ? 1
2

) ? (2k
2

4 4k ? 1
2

)

2

?

4 (1 ? k ) ?

4 4k ? 1
2

. …………12 分 ……….14 分
35 7 x .…..……16 分

? C D 恰好被椭圆三等分,?

4 (1 ? k ) ?
2
2

4 4k ? 1
2

= ? 2R ?
3

1

8 3



?

1? k
2

4k ? 1

?

2 3

,? k ? ?

35 7

,? 直线 l 的方程为 y ? ?

数学试题

共 4 页,第 8 页


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